الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

67الدوال الخطية والتآلفية

«ثلاثة كيلوغرامات تكلّف ثلاثة أمثال ما يكلّفه واحد»: وهذا هو التناسب، أبسط علاقة تربط مقدارين. والدوال الخطية هي التناسب بلغة الدوال؛ والدوال التآلفية تضيف مقدارًا اِبتدائيًّا ثابتًا. وتمثيلاتها البيانية مستقيمات، وقراءة هذه المستقيمات هي المهارة التي يبنيها هذا الفصل.

67.1 التناسب والدوال الخطية

تعريف 67.1 (الدالة الخطية)

الدالة الخطية تضرب كل عدد في عدد ثابت $a$ :

f(x) = a x .

والعدد $a$ هو معامل الدالة $f$ . ويكون مقداران متناسبين بالضبط حين يكون أحدهما دالة خطية للآخر.

مثال 67.2

إذا كان ثمن التفاح $3$ للكيلوغرام، فثمن $x$ كيلوغرامًا هو $f(x) = 3x$ : فشراء الضِّعف يكلّف الضِّعف، وثمن $2.5$ كغ هو $f(2.5) = 7.5$ .

وبالعكس، إذا حقّقت دالة خطية $f(4) = 10$ ، كان $a = \frac{10}{4} = 2.5$ و $f(x) = 2.5x$ : فقيمة واحدة تعيّن الدالة الخطية تعيينًا تامًّا.

قضية 67.3 (التمثيل البياني لدالة خطية)

التمثيل البياني للدالة $f(x) = ax$ مستقيم يمرّ بالمبدأ. وبالعكس، كل مستقيم غير عمودي يمرّ بالمبدأ هو التمثيل البياني لدالة خطية.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

دالّتان خطيّتان: كلا التمثيلين يمرّ بالمبدأ؛ والمعامل a هو الاِرتفاع المبلوغ عند x = 1. — دالّتان خطيّتان: كلا التمثيلين يمرّ بالمبدأ؛ والمعامل $a$ هو الاِرتفاع المبلوغ عند $x = 1$ .

67.2 الدوال التآلفية

تعريف 67.4 (الدالة التآلفية)

الدالة التآلفية على الصورة

f(x) = a x + b ,

حيث $a$ و $b$ عددان ثابتان. والدوال الخطية هي الحالة الخاصّة $b = 0$ ؛ والدوال الثابتة هي الحالة $a = 0$ .

مثال 67.5

تأخذ قاعة رياضية رسم اِنخراط قدره $20$ ، ثم $5$ لكل زيارة: فتكلفة $x$ زيارة كلّها هي $f(x) = 5x + 20$ . والتكلفة ليست متناسبة مع عدد الزيارات (فعشر زيارات لا تكلّف ضِعف ما تكلّفه خمس)، لكن كل زيارة إضافية تضيف المقدار نفسه، $5$ .

قضية 67.6 (التمثيل البياني لدالة تآلفية)

التمثيل البياني للدالة $f(x) = ax + b$ مستقيم:

$b = f(0)$ هو الترتيب عند مبدأ محور $y$ : فالمستقيم يقطع المحور العمودي عند $(0, b)$ ؛
و $a$ هو الميل: فالتقدّم وحدةً واحدة نحو اليمين يرفع $a$ وحدة (ويخفض إذا كان $a < 0$ )؛ والدالة متزايدة حين $a > 0$ ، ومتناقصة حين $a < 0$ ؛
ومن أجل أيّ مدخلين $u \neq v$ ، $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

برهان النقطة الأخيرة. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ؛ فاِقسم على $v - u$ . وما تبقّى مقبول في هذا المستوى (ويعالج مجلّد الثانوية المستقيمات ومعادلاتها معالجةً كاملة). ∎

قراءة y = ax + b على تمثيلها البياني: يقطع المستقيم محور y عند الاِرتفاع b، ويصعد a في كل خطوة وحدة نحو اليمين (وهنا a = 1، و b = 1). — قراءة $y = ax + b$ على تمثيلها البياني: يقطع المستقيم محور $y$ عند الاِرتفاع $b$ ، ويصعد $a$ في كل خطوة وحدة نحو اليمين (وهنا $a = 1$ ، و $b = 1$ ).

طريقة 67.7 (إيجاد دالة تآلفية من قيمتين)

بمعرفة $f(u)$ و $f(v)$ حيث $u \neq v$ :

اِحسب الميل $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ؛
وعوّض بإحدى القيمتين المعلومتين في $f(x) = ax + b$ لإيجاد $b$ ؛
وتحقّق بالقيمة الأخرى.

مثال 67.8

أوجِد الدالة التآلفية التي $f(2) = 7$ و $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

ثم $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ يعطي $b = 1$ : أي $f(x) = 3x + 1$ . والتحقّق: $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 النسب المئوية

قضية 67.9 (التغيّر بنسبة مئوية)

زيادة مقدار بنسبة $t\,\%$ تضربه في $1 + \dfrac{t}{100}$ ؛ وإنقاصه بنسبة $t\,\%$ يضربه في $1 - \dfrac{t}{100}$ . والتغيّرات بالنسب المئوية دوال خطية.

برهان. زيادة $x$ بنسبة $t\,\%$ تعني إضافة $\frac{t}{100}\,x$ :

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

والحساب نفسه بإشارة الطرح من أجل الإنقاص. ∎

مثال 67.10

ثمن قدره $80$ يزيد بنسبة $15\%$ : فالثمن الجديد $80 \times 1.15 = 92$ . وثمن قدره $60$ ينقص بنسبة $30\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

وتتابع التغيّرات يضرب العوامل بعضها في بعض. فزيادة $20\%$ يتبعها نقصان $20\%$ تعطي $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : أي نقصانًا إجماليًّا قدره $4\%$ ، لا عودةً إلى البداية!

67.4 تمارين

تمرين 67.1 ★

أيّ هذه الدوال خطية؟ وأيّها تآلفية؟ وأيّها ليست هذه ولا تلك؟

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

حل

حل التمرين 67.1.

الخطية: $f$ و $k$ (على الصورة $ax$ ). والتآلفية غير الخطية: $g$ (الميل $3$ ، والترتيب عند المبدأ $-5$ ) و $m$ (ثابتة، وميلها $0$ ). ولا هذه ولا تلك: $h$ ، بسبب المربّع.

تمرين 67.2 ★

لتكن $f(x) = 2x - 3$ . اِحسب $f(0)$ و $f(4)$ و $f(-1)$ ، وجِد العدد $x$ الذي يحقّق $f(x) = 9$ .

حل

حل التمرين 67.2.

$f(0) = -3$ ؛ و $f(4) = 5$ ؛ و $f(-1) = -5$ . و $f(x) = 9$ تعني $2x - 3 = 9$ ، إذن $2x = 12$ و $x = 6$ .

تمرين 67.3 ★

دالة خطية تحقّق $f(6) = 15$ . أوجِد معاملها، ثم اِحسب $f(10)$ و $f(-2)$ .

حل

حل التمرين 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ ، إذن $f(x) = 2.5x$ . ومنه $f(10) = 25$ و $f(-2) = -5$ .

تمرين 67.4 ★

اُرسم في المعلم نفسه التمثيلات البيانية للدوال $f(x) = 2x$ و $g(x) = 2x + 3$ و $h(x) = -x + 4$ . فماذا يمكن أن يقال عن تمثيلَي $f$ و $g$ ؟

حل

حل التمرين 67.4.

تمرّ $f$ بالمبدأ وميلها $2$ ؛ و $g$ لها الميل نفسه لكنّها تقطع محور $y$ عند $3$ ؛ و $h$ متناقصة من $(0, 4)$ وميلها $-1$ . وتمثيلا $f$ و $g$ مستقيمان متوازيان (فالميل نفسه، والترتيبان عند المبدأ مختلفان).

تمرين 67.5 ★

أوجِد الدالة التآلفية التي $f(1) = 5$ و $f(3) = 11$ ؛ ثم تلك التي $g(0) = 4$ و $g(2) = 0$ .

حل

حل التمرين 67.5.

من أجل $f$ : الميل $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ ، ثم $5 = 3 \times 1 + b$ يعطي $b = 2$ : أي $f(x) = 3x + 2$ .

ومن أجل $g$ : الميل $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ ، والقيمة $g(0) = 4$ هي الترتيب عند المبدأ أصلًا: أي $g(x) = -2x + 4$ .

تمرين 67.6 ★★

اِحسب: الثمن بعد زيادة $25\%$ على $120$ ؛ والثمن بعد تخفيض $40\%$ على $65$ ؛ والثمن الأصلي إذا صار ثمن سلعة $69$ بعد تخفيض $25\%$ .

حل

حل التمرين 67.6.

زيادة $25\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

وتخفيض $40\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

والثمن الأصلي $p$ حيث $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

تمرين 67.7 ★★

اِشتراك هاتف A يكلّف $10$ في الشهر مضافًا إليها $0.05$ لكل دقيقة مكالمة؛ والاِشتراك B يكلّف $25$ في الشهر بمكالمات غير محدودة.

عبّر عن التكلفة الشهرية للاِشتراك A بدلالة عدد الدقائق $x$ .
واِبتداءً من كم دقيقة في الشهر يصير الاِشتراك B أرخص؟

حل

حل التمرين 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. الاِشتراك B أرخص حين $25 < 0.05x + 10$ ، أي $15 < 0.05x$ ، أي $x > 300$ . فاِبتداءً من $301$ دقيقة ( $5$ ساعات) في الشهر، يفوز الاِشتراك B.

تمرين 67.8 ★★

مستعمرة من $2000$ بكتيريا تزيد بنسبة $10\%$ كل ساعة.

كم بكتيريا فيها بعد ساعة؟ وبعد ساعتين؟
وفسّر لماذا ليس الجواب بعد ساعتين $2400$ .

حل

حل التمرين 67.8.

1. بعد ساعة: $2000 \times 1.1 = 2200$ . وبعد ساعتين: $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. تنطبق الزيادة الثانية على $2200$ لا على $2000$ : فالنمو بنسبة $10\%$ مرّتين يضرب في $1.1^2 = 1.21$ ، أي زيادة $21\%$ ، لا $20\%$ .

تمرين 67.9 ★★

التمثيل البياني لدالة تآلفية يمرّ بالنقطتين $(2, 3)$ و $(6, 1)$ .

اِحسب ميلها. فهل الدالة متزايدة أم متناقصة؟
وأعطِ عبارتها، واِحسب المدخل الذي يكون المخرج عنده $0$ .

حل

حل التمرين 67.9.

1. الميل: $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : فالدالة متناقصة.

2. $f(x) = -0.5x + b$ مع $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ ، إذن $b = 4$ و $f(x) = -0.5x + 4$ . والمخرج $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ يعطي $x = 8$ .

تمرين 67.10 ★★★

يرفع متجر ثمنًا بنسبة $t\,\%$ أولًا، ثم يخفض الثمن الجديد بنسبة $t\,\%$ .

بيّن أنّ الثمن النهائي يساوي الثمن الأصلي مضروبًا في $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
واِستنتج أنّ الثمن النهائي أصغر دائمًا من الأصلي (من أجل $0 < t \leq 100$ )، وجِد التغيّر الإجمالي بالنسبة المئوية من أجل $t = 10$ .

حل

حل التمرين 67.10.

1. يضرب التغيّران الثمن في

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(المتطابقة الثالثة مع $a = 1$ و $b = \frac{t}{100}$ ).

2. من أجل $0 < t \leq 100$ ، يكون $\frac{t^2}{10000} > 0$ ، فالعامل أصغر من $1$ : أي أنّ الثمن النهائي أصغر من الأصلي. ومن أجل $t = 10$ : العامل $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ ، أي نقصان إجمالي قدره $1\%$ .

67.5 مسألة: الميزانان الحراريان

مسألة 67.1

مسألة نهاية الأسبوع — سيلسيوس وفهرنهايت والدوال التآلفية في الحياة اليومية: درجة حرارة واحدة تُقرأ العدد نفسه على السلّمين، وثبات الميل هو توقيع الاِستقامة

يسمع الأمريكيون « $68$ درجة» فيلبسون خفيفًا؛ ويسمعها الأوروبيون فيمسكون معاطفهم. وميزانا الحرارة في العالم تربطهما دالة تآلفية — وبناؤها من واقعتين هو بالضبط مهارة الطريقة 67.7. وتبني هذه المسألة التحويل، وتجد درجة الحرارة الغريبة التي يتّفق عندها السلّمان، ثم تقرأ سيارات الأجرة والصراصير والشموع بالنظّارتين نفسيهما، وتنتهي بالاِختبار الذي يتعرّف على الاِستقامة نفسها.

الجزء الأول — بناء التحويل. واقعتان تثبّتان سلّم فهرنهايت: يتجمّد الماء عند $32\,^\circ$ F ويغلي عند $212\,^\circ$ F (أي عند $0\,^\circ$ C و $100\,^\circ$ C).

أوجِد الدالة التآلفية $F = f(C)$ التي تحوّل سيلسيوس إلى فهرنهايت (الطريقة 67.7 بالقيمتين $f(0) = 32$ و $f(100) = 212$ ).
وحوّل إلى فهرنهايت: يومًا معتدلًا عند $20\,^\circ$ C؛ وحرارة الجسم $37\,^\circ$ C؛ وصقيعًا عند $-10\,^\circ$ C.
وحُلّ من أجل $C$ لتبني التحويل العكسي، واِستعمله على $50\,^\circ$ F وعلى $98.6\,^\circ$ F.
فهل $f$ دالة خطية (التعريف 67.1)؟ اِختبر العلامات الفارقة: ما $f(0)$ ، وهل مضاعفة قراءة سيلسيوس تضاعف قراءة فهرنهايت؟ اِستنتج بالكلمة الصحيحة (التعريف 67.4).
واللغز الكلاسيكي: هل توجد درجة حرارة تُقرأ العدد نفسه على السلّمين؟ حُلّ $f(x) = x$ ، وصِف ماذا يعني حلّك على التمثيل البياني للدالة $f$ (أيّ مستقيم يقطعه التمثيل هناك؟).

الجزء الثاني — الدوال التآلفية في البرّية.

سيارة أجرة A تأخذ $3$ يورو مضافًا إليها $1.50$ لكل كلم؛ وسيارة B تأخذ $2$ يورو لكل كلم من غير رسم ثابت. اُكتب دالّتَي الثمن وقارن بينهما من أجل رحلة $4$ كلم ورحلة $8$ كلم.
وجِد مسافة التعادل التي تتساوى عندها تكلفة السيارتين، وصِف الوضع على تمثيل بياني (مستقيمان — ماذا يحدث عند نقطة التقاطع، وقبلها، وبعدها؟).
وقاعدة الطبيعيين التقريبية: يصرّ الصرصور نحو $N = 7T - 30$ مرّة في الدقيقة عند درجة الحرارة $T\,^\circ$ C. فكم صريرًا في مساء عند $20\,^\circ$ C؟ وإذا عددت $82$ صريرًا في دقيقة: فأيّ درجة حرارة يعلنها الصرصور؟
وهاتف ثمنه $600$ يورو تنقص قيمته $15$ يورو كل شهر: اُكتب دالة القيمة $v(t)$ ، وجِد متى تصير قيمة الهاتف $240$ يورو، ومتى يقول النموذج إنّها معدومة. فهل تبقى للصيغة دلالة بعد ذلك التاريخ؟
والتغيّرات بالنسب المئوية دوال خطية: فالزيادة $+25\,\%$ هي الضرب في $1.25$ ، والنقصان $-20\,\%$ هو الضرب في $0.8$ (القضية 67.9). ركّبهما: فماذا تفعل زيادة $+25\,\%$ يتبعها خفض $-20\,\%$ بثمنٍ ما؟ فسّر المعجزة الصغيرة، وقارن مع التمرين 67.10.

الجزء الثالث — الميل هو كل شيء.

شمعة طولها $20$ سم حين تُشعل و $17$ سم بعد نصف ساعة. بافتراض ذوبان تآلفي، أوجِد $h(t)$ (الاِرتفاع بالسنتيمتر، و $t$ بالدقائق)، وتنبّأ متى تموت الشمعة.
ودرّاجان يسيران على الطريق نفسه: مسافة الأول $d_1(t) = 24t$ (بالكيلومترات بعد $t$ ساعة)، ومسافة الثاني $d_2(t) = 10 + 18t$ . فمن اِنطلق بتقدّم، ومن يسير أسرع، وفي أيّ لحظة وعند أيّ كيلومتر يلحق الأول الثاني؟
ولتكن $f(x) = 2x + 3$ و $g(x) = -0.5x + 7$ . اِحسب $f(x) + g(x)$ وتحقّق أنّها تآلفية من جديد. فما ميل المجموع وترتيبه عند المبدأ، في العموم؟
وناقش المعادلة $mx + p = 0$ مناقشة كاملة: كم حلًّا حين $m \neq 0$ (وما هو)؟ وحين $m = 0$ و $p \neq 0$ ؟ وحين $m = 0$ و $p = 0$ ؟ (ولكل حالة حكاية على التمثيل البياني: أين يقطع مستقيم ميله $m$ المحور الأفقي؟)
واِختبار الاِستقامة: هل النقاط $(1, 5)$ و $(3, 9)$ و $(7, 17)$ على مستقيم واحد؟ وهل النقاط $(1, 5)$ و $(3, 9)$ و $(6, 16)$ كذلك؟ اِحسب معدّلات التغيّر بين الأزواج وقرّر. واُذكر العبرة: ثبات معدّل التغيّر هو توقيع الدوال التآلفية — أمّا التمثيلات المنحنية فتغيّر معدّلها، وقياس ذلك حكاية لمجلّد الثانوية.

حل

حل المسألة 67.1.

1. الميل: $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$ ؛ والترتيب عند المبدأ $f(0) = 32$ . ومنه

f(C) = 1.8\,C + 32 .

2. $f(20) = 68\,^\circ$ F (اليوم المعتدل الشهير)؛ و $f(37) = 98.6\,^\circ$ F؛ و $f(-10) = 14\,^\circ$ F.

3. من $F = 1.8C + 32$ : $C = \frac{F - 32}{1.8}$ . ومنه $50\,^\circ$ F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$ C، و $98.6\,^\circ$ F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$ C.

4. $f(0) = 32 \neq 0$ ، والقيمة $f(20) = 68$ ليست ضِعف $f(10) = 50$ : فليست خطية. والتمثيل البياني مستقيم لا يمرّ بالمبدأ: أي أنّ $f$ تآلفية لا خطية.

5. $1.8x + 32 = x$ يعطي $0.8x = -32$ ، إذن $x = -40$ : فعند أربعين تحت الصفر، يقرأ الميزانان $-40$ كلاهما. وعلى التمثيل البياني، يقطع مستقيم $f$ المستقيم القطري $y = x$ هناك بالضبط.

6. $p_A(k) = 1.5k + 3$ و $p_B(k) = 2k$ . ومن أجل $4$ كلم: $9$ يورو مقابل $8$ : فالسيارة B أرخص. ومن أجل $8$ كلم: $15$ مقابل $16$ : فالسيارة A أرخص.

7. $1.5k + 3 = 2k$ يعطي $k = 6$ : فعند ستة كيلومترات تكلّف السيارتان $12$ يورو. وبيانيًّا، يبدأ مستقيم B (المارّ بالمبدأ، والأشدّ اِنحدارًا) تحت مستقيم A ويقطعه عند $(6, 12)$ : فتفوز B في الرحلات القصيرة، وتفوز A في الطويلة.

8. $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ صريرًا في الدقيقة. ومن $82 = 7T - 30$ : $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$ C.

9. $v(t) = 600 - 15t$ . والقيمة $240$ : $600 - 15t = 240$ ، أي $t = 24$ شهرًا. والقيمة $0$ : أي $t = 40$ شهرًا. وبعد $40$ شهرًا تصير الصيغة سالبة — لكنّ قيمة الهاتف تقف عند الصفر: فلكل نموذج تآلفي نطاق يكون فيه ذا معنًى.

10. بالتركيب: $\times 1.25$ ثم $\times 0.8$ يضرب في $1.25 \times 0.8 = 1$ : فيعود الثمن إلى بدايته بالضبط. ولا معجزة: فالنسب المئوية تعمل على مرجعين مختلفين (إذ ينطبق الخفض على الثمن المرفوع)، وقد تصادف هنا أن تلاشى المضروبان — وأمّا الحكاية العامّة، بخسارتها المضمّنة $1 - \frac{t^2}{10\,000}$ ، فهي التمرين 67.10.

11. الميل: $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ سم في الدقيقة؛ و $h(t) = 20 - 0.1t$ . وتموت عند $h(t) = 0$ : أي $t = 200$ دقيقة — ثلاث ساعات وعشرون دقيقة من الضوء.

12. اِنطلق الثاني بتقدّم $10$ كلم (الترتيب عند المبدأ)؛ والأول أسرع ( $24 > 18$ كلم/سا). واللحاق: $24t = 10 + 18t$ يعطي $6t = 10$ ، أي $t = \frac53$ سا $= 1$ سا $40$ دق، عند الكيلومتر $24 \times \frac53 = 40$ .

13. $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$ : فهي تآلفية، وميلها مجموع الميلين، وترتيبها عند المبدأ مجموع الترتيبين — وهذا واضح بجمع الحدود المتشابهة في $(mx + p) + (m'x + p')$ .

14. إذا كان $m \neq 0$ : فحلّ واحد بالضبط، $x = -\frac pm$ — إذ يقطع المستقيم غير الأفقي المحور مرّة واحدة. وإذا كان $m = 0$ و $p \neq 0$ : فلا حلّ — إذ لا يلمس المستقيمُ الأفقي فوق المحور أو تحته المحورَ أبدًا. وإذا كان $m = 0$ و $p = 0$ : فكل $x$ حلّ — إذ يكون المستقيم هو المحور.

15. الثلاثية الأولى: المعدّلان $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ و $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$ : متساويان، فالنقاط على اِستقامة واحدة (على $y = 2x + 3$ ). والثلاثية الثانية: $\frac{9-5}{2} = 2$ لكنّ $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$ : فليست على اِستقامة واحدة. والدوال التآلفية هي بالضبط ذوات معدّل التغيّر الثابت — فعدد واحد، هو الميل، يروي الحكاية كلّها؛ أمّا المنحنيات فيتغيّر معدّلها من نقطة إلى أخرى، ومطاردته تقود إلى المشتقّة، في مجلّد الثانوية.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد