الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

46الأعداد السالبة

درجات الحرارة تحت الصفر، والطوابق تحت الأرض، والمال المستدان: مقادير كثيرة تنزل تحت $0$ . والأعداد السالبة تمدّ مستقيم الأعداد إلى يسار الصفر. ويعلّم هذا الفصل كيف تُقارَن وكيف تُجمع وتُطرح — أما ضربها فينتظر الفصل 54.

46.1 الأعداد النسبية

تعريف 46.1 (الأعداد النسبية)

العدد النسبي مكوّن من إشارة ( $+$ أو $-$ ) ومسافة إلى الصفر: فالعددان $+3$ و $-3$ كلاهما على مسافة $3$ من $0$ ، في جهتين متقابلتين. والأعداد الموجبة تُكتب عادةً دون إشارتها: $+3 = 3$ . والعددان $+3$ و $-3$ متعاكسان.

مستقيم الأعداد ممدودًا إلى اليسار: فالعددان -3 و +3 متعاكسان، على المسافة نفسها من 0. — مستقيم الأعداد ممدودًا إلى اليسار: فالعددان $-3$ و $+3$ متعاكسان، على المسافة نفسها من $0$ .

طريقة 46.2 (مقارنة الأعداد النسبية)

على مستقيم الأعداد، الأصغر هو الأبعد نحو اليسار. وعمليًّا:

العدد السالب أصغر دائمًا من العدد الموجب: $-7 < 2$ ؛
وبين موجبين، الترتيب المعتاد؛
وبين سالبين، الذي مسافته إلى الصفر أكبر هو الأصغر: $-7 < -2$ .

مثال 46.3

رتّب من الأصغر إلى الأكبر: $3$ ؛ و $-5$ ؛ و $0$ ؛ و $-1.5$ ؛ و $2.8$ . السوالب أولًا، وأشدّها سلبًا في المقدمة:

-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .

46.2 جمع الأعداد النسبية

تصوّر العدد النسبي حركةً على المستقيم: فالعدد $+5$ يعني «اِمشِ $5$ خطوات يمينًا»، و $-3$ يعني «اِمشِ $3$ خطوات يسارًا». وجمع الأعداد يعني ربط المشيات.

طريقة 46.4 (جمع عددين نسبيين)

الإشارة نفسها: اِجمع المسافتين، واِحتفظ بالإشارة المشتركة: $(-3) + (-4) = -7$ .
إشارتان متعاكستان: اِطرح المسافة الأصغر من الأكبر، وخذ إشارة الأكبر: $(-7) + (+2) = -5$ و $(+7) + (-2) = +5$ .
والمتعاكسان يتلاشيان: $(+4) + (-4) = 0$ .

الجمع مشيًا: اِنطلاقًا من 0، المشية -3.5 ثم المشية +2 تنتهيان عند (-3.5) + 2 = -1.5. — الجمع مشيًا: اِنطلاقًا من $0$ ، المشية $-3.5$ ثم المشية $+2$ تنتهيان عند $(-3.5) + 2 = -1.5$ .

مثال 46.5

خطوة خطوة، بالتجميع كما يناسب:

\begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(إشارتان متعاكستان: } 8 - 3 = 5, \text{ وإشارة } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(الإشارة نفسها: اِجمع المسافتين)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*}

46.3 طرح الأعداد النسبية

مبرهنة 46.6 (قاعدة الطرح)

طرح عدد نسبي هو نفسه جمع معاكسه:

a - b = a + (-b) .

لماذا تعمل. $a - b$ هو العدد الذي إذا جُمع إلى $b$ أعطى $a$ . وتحقّق من أن $a + (-b)$ يقوم بالمهمة: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$ . ∎

مثال 46.7

كل طرح يصير جمعًا، ثم تنطبق الطريقة 46.4:

\begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*}

والسطر الأخير هو المشهور: فطرح عدد سالب يعني الجمع. فإسقاط دَين يجعلك أغنى!

مثال 46.8 (فروق درجات الحرارة)

في يوم واحد اِنتقلت درجة الحرارة من $-6$ درجة إلى $+9$ درجة. والارتفاع هو الفرق

9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ درجة}.

وعلى مستقيم الأعداد: من $-6$ صعودًا إلى $0$ هو $6$ درجات، ومن $0$ إلى $9$ هو $9$ درجات أخرى.

46.4 الإحداثيات في المستوي كله

تعريف 46.9 (إحداثيات بإشارات)

بمحورين مدرّجين متعامدين يتقاطعان في المبدأ $O$ ، تأخذ كل نقطة من المستوي إحداثيين نسبيين $(x, y)$ : فالإحداثي $x$ السالب يعني يسار المحور العمودي، والإحداثي $y$ السالب يعني تحت المحور الأفقي.

نقطة في كل رُبع من المستوي. واِقرأ دائمًا الإحداثي الأفقي أولًا.

46.5 تمارين

تمرين 46.1 ★

أعطِ معاكس كل من: $7$ ؛ و $-3.5$ ؛ و $0$ ؛ و $+12$ . ثم أكمل: «يكون عددان متعاكسين حين يكون مجموعهما ؟».

حل

حل التمرين 46.1.

المعاكسات: $-7$ ؛ و $+3.5$ ؛ و $0$ (وهو معاكس نفسه)؛ و $-12$ . ويكون عددان متعاكسين حين يكون مجموعهما $0$ .

تمرين 46.2 ★

اِنسخ وأكمل بالرمز $<$ أو $>$ :

-4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 .

حل

حل التمرين 46.2.

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$ .

تمرين 46.3 ★

رتّب من الأصغر إلى الأكبر: $-3$ ؛ و $2.5$ ؛ و $-0.5$ ؛ و $-3.1$ ؛ و $0$ ؛ و $1$ .

حل

حل التمرين 46.3.

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$ .

تمرين 46.4 ★

اِحسب:

(-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6).

حل

حل التمرين 46.4.

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$ .

تمرين 46.5 ★

حوّل إلى جموع، ثم اِحسب:

4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8).

حل

حل التمرين 46.5.

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$ .

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$ .

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$ .

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$ .

تمرين 46.6 ★

اِحسب بتجميع ذكيّ (المتعاكسان أولًا):

(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).

حل

حل التمرين 46.6.

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (الموجبات معًا، والسوالب معًا).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$ .

تمرين 46.7 ★

كانت درجة الحرارة $-3$ درجة هذا الصباح؛ ثم اِرتفعت $8$ درجات خلال النهار، ثم اِنخفضت $12$ درجة في الليل. اُكتب حسابًا واحدًا يعطي درجة الحرارة النهائية، واحسبه.

حل

حل التمرين 46.7.

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : فهي $-7$ درجة في الليل.

تمرين 46.8 ★

ضع في نظام إحداثيات: $A(2, 3)$ ؛ و $B(-3, 1)$ ؛ و $C(-2, -2)$ ؛ و $D(3, -1)$ ؛ و $E(0, -3)$ . فأيّ نقطة تقع على محور؟

حل

حل التمرين 46.8.

وضع حرّ؛ والنقطة $E(0, -3)$ تقع على المحور العمودي (فإحداثيها الأول هو $0$ ).

تمرين 46.9 ★★

اِحسب الفرق بين أعلى درجة حرارة وأدناها: موسكو في يناير، العليا $-4$ درجة، والدنيا $-13$ درجة؛ وهلسنكي، العليا $2$ ، والدنيا $-9$ .

حل

حل التمرين 46.9.

موسكو: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ درجات فرقًا. وهلسنكي: $2 - (-9) = 11$ درجة.

تمرين 46.10 ★★

غوّاصة على اِرتفاع $-12$ م (أي اِثني عشر مترًا تحت السطح). فترتفع $7$ م، ثم تنزل $4$ م. فعلى أيّ اِرتفاع تصير؟ وكم يلزمها أن ترتفع بعدُ لتبلغ السطح؟

حل

حل التمرين 46.10.

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : فهي عند $-9$ م. ولتبلغ السطح (الارتفاع $0$ ) عليها أن ترتفع $0 - (-9) = 9$ م.

تمرين 46.11 ★★

ضع النقط $A(-2, 1)$ و $B(2, 1)$ و $C(2, -2)$ . وجِد إحداثيَي النقطة $D$ بحيث يكون $ABCD$ مستطيلًا، واِحسب محيطه (عُدّ مربعات الشبكة لأطوال الأضلاع).

حل

حل التمرين 46.11.

$D(-2, -2)$ : فإحداثيها الأول كإحداثي $A$ ، وإحداثيها الثاني كإحداثي $C$ . والأضلاع: $AB = 4$ (من $-2$ إلى $2$ ) و $BC = 3$ (من $1$ نزولًا إلى $-2$ )، إذن المحيط $2 \times (4 + 3) = 14$ .

تمرين 46.12 ★★★

في المربع السحري أدناه، يجب أن يكون لكل سطر وعمود وقطر المجموع نفسه. اِنسخه وأكمله:

$?$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$?$
$-4$	$?$	$?$

(اِبدأ بإيجاد المجموع السحري مستعملًا القطر الذي يكاد يكتمل.)

حل

حل التمرين 46.12.

القطر الكامل $0, -2, -4$ يعطي المجموع السحري $0 + (-2) + (-4) = -6$ . ثم، خلية خلية: أعلى اليسار $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ؛ ووسط اليمين $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ؛ وأسفل اليمين $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ؛ وأسفل الوسط $= -6 - (-7) - (-2) = 3$ .

$1$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$-1$
$-4$	$3$	$-5$

وكل سطر وعمود وقطر مجموعه $-6$ .

46.6 مسألة: سنة الصفر التي لم توجد قطّ

مسألة 46.1

مسألة نهاية الأسبوع — الأعداد النسبية على خطّ زمن التاريخ: المدد عبر حدّ الحقبتين، وحيلة الفلكيين، ومبدأ التغيّر الصافي

لمستقيم الأعداد في هذا الفصل توأم مشهور في الواقع: وهو خطّ زمن التاريخ، حيث تمتدّ سنوات ما قبل الميلاد يسارًا وسنوات ما بعده يمينًا. لكن خطّ المؤرّخين يخفي فخًّا أفسد حسابات كثيرة: فليست هناك سنة صفر — إذ تلي سنةَ 1 قبل الميلاد مباشرةً سنةُ 1 بعد الميلاد. وتحسب هذه المسألة بدرجات الحرارة والمصاعد والحسابات المصرفية، ثم تصلح صفر التاريخ المكسور كما يفعل الفلكيون: بالأعداد النسبية.

الجزء الأول — تمارين إحماء، وفخّ أول.

قمّة مون بلان على اِرتفاع $+4\,808$ م؛ وشاطئ البحر الميت على $-430$ م. اِحسب الفرق في الارتفاع بينهما.
حساب مصرفي فيه $-45$ يورو (أي كشف). فيودع صاحبه $120$ يورو، ويدفع فاتورة $60$ يورو، ثم يودع $15$ يورو. اُكتب الرصيد سلسلة جموع واحدة واحسبه. وأيّ إيداع واحد كان يعيد المبلغ الأصلي $-45$ إلى $0$ بالضبط؟
وُلد يوليوس قيصر سنة $100$ قبل الميلاد ومات سنة $44$ قبل الميلاد. وبعدّ سنوات ما قبل الميلاد أعدادًا سالبة (فسنة $100$ قبل الميلاد هي $-100$ ، وسنة $44$ قبل الميلاد هي $-44$ )، اِحسب $(-44) - (-100)$ : فكم سنة عاش قيصر؟
وُلد الإمبراطور أغسطس سنة $63$ قبل الميلاد ومات سنة $14$ بعد الميلاد. والوصفة نفسها تعطي $14 - (-63) = 77$ سنة — لكن المؤرّخين يصرّون على أنه مات عن $76$ . واِعتراضهم: أن العدّ $77$ يمرّ بسنة لم توجد قطّ. فأيّ سنة هي؟
يصلح الفلكيون خطّ الزمن بإعادة التسمية: فسنوات ما بعد الميلاد تحتفظ بعددها ( $+14$ تبقى $+14$ )، لكن سنة $1$ قبل الميلاد تصير $0$ ، وسنة $2$ قبل الميلاد تصير $-1$ ، وعمومًا السنة $n$ قبل الميلاد تصير $-(n - 1)$ . حوّل سنة $63$ قبل الميلاد، وأعِد حساب السؤال 4 بأعداد الفلكيين. فهل يرضي الجوابُ المؤرّخين الآن؟

الجزء الثاني — الحساب عبر الحقبتين. من الآن فصاعدًا، اِستعمل إعادة تسمية الفلكيين في كل حساب، مع التحويل إلى ما قبل الميلاد وما بعده في النهاية (فالسنة التي تحمل الاسم $0$ أو السالب $-m$ هي سنة المؤرّخين $m + 1$ قبل الميلاد).

حوّل إلى أعداد الفلكيين: $1$ قبل الميلاد؛ و $10$ قبل الميلاد؛ و $476$ بعد الميلاد؛ و $753$ قبل الميلاد، وهي السنة الأسطورية لتأسيس روما.
كم سنة مرّت من تأسيس روما (سنة $753$ قبل الميلاد) إلى سقوط الإمبراطورية الغربية (سنة $476$ بعد الميلاد)؟
مذنّب يعود كل $76$ سنة وظهر سنة $12$ قبل الميلاد. أعطِ سنوات المؤرّخين لظهوراته الثلاثة التالية، وللظهور الذي سبق سنة $12$ قبل الميلاد مباشرةً.
كم سنة مرّت من سنة $5$ قبل الميلاد إلى سنة $5$ بعد الميلاد؟ (والجواب المغري هو $10$ ؛ لكن خطّ الزمن يقول غير ذلك.)
طفل وُلد سنة $3$ قبل الميلاد بلغ عشر سنوات في أيّ سنة (قبل الميلاد أم بعده)؟

الجزء الثالث — مبدأ التغيّر الصافي.

المسافة بين عددين على المستقيم هي الأكبر ناقص الأصغر — وهي موجبة دائمًا. اِحسب المسافة بين $-7$ و $-2$ ، ثم بين $-3.5$ و $4.5$ .
مصعد ينطلق من الطابق $0$ ويقوم بالحركات $+3$ و $-5$ و $+2$ و $-1$ و $+4$ . اِحسب الطابق النهائي بتجميع ذكيّ (الطريقة 46.4، والمتعاكسات أولًا حيث أمكن). وهل يغيّر إنجاز الحركات بترتيب مختلف الوجهةَ؟ ولماذا؟
يومًا بعد يوم، تتغيّر درجة الحرارة بمقدار $+2$ و $-4$ و $+1$ و $0$ و $-3$ و $+5$ و $-2$ درجة على مدى أسبوع. اِحسب التغيّر الصافي. وإذا بدأ الأسبوع عند $-2$ درجة، فأين اِنتهى؟ واُذكر المبدأ: القيمة النهائية $=$ القيمة الابتدائية $+$ (مجموع كل التغيّرات).
مشية متجوّلة تعيدها بالضبط إلى اِرتفاع اِنطلاقها. فما الذي يجب أن يكون عليه مجموع كل تغيّرات اِرتفاعها، ولماذا؟ ومن تغيّراتها الستة المسجّلة، خمسة هي $+4$ و $-7$ و $+2$ و $+3$ و $-5$ (بمئات الأمتار): فجِد السادس.
الخاتمة، عودًا إلى روما. يحسب مؤرّخ: «اِمتدّت الجمهورية من سنة $509$ قبل الميلاد إلى سنة $27$ قبل الميلاد، ثم الإمبراطورية إلى سنة $476$ بعد الميلاد؛ فمن سنة $509$ قبل الميلاد إلى سنة $476$ بعد الميلاد، أي $509 + 476 = 985$ سنة من الدولة الرومانية». أعِد الحساب بأعداد الفلكيين. فما المجموع الصحيح — وأيّ سنة، مرة أخرى، سبّبت الخطأ؟

حل

حل المسألة 46.1.

1. $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ م (المبرهنة 46.6: فطرح عدد سالب يعني الجمع).

2. الرصيد:

(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30 \text{ يورو}.

ولإعادة المبلغ الابتدائي $-45$ إلى $0$ ، أودِع معاكسه: $45$ يورو.

3. $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$ : فقد عاش قيصر $56$ سنة. (ولا فخّ هنا: فالسنتان في الجهة نفسها من حدّ الحقبتين.)

4. إنها السنة $0$ : فالعدّ من $-63$ صعودًا إلى $+14$ يمرّ بالسنة $0$ ، لكن تقويم المؤرّخين يقفز مباشرةً من سنة $1$ قبل الميلاد إلى سنة $1$ بعد الميلاد — فالسنة $0$ لم توجد قطّ، ومنه فالعدّ الساذج أطول بسنة واحدة.

5. سنة $63$ قبل الميلاد تصير $-(63 - 1) = -62$ . ثم $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ سنة: أي بالضبط رقم المؤرّخين. وعلى خطّ الفلكيين المعاد تسميته لا فجوات، فيعطي الطرح العادي المددَ الحقيقية.

6. $1$ قبل الميلاد $\to 0$ ؛ و $10$ قبل الميلاد $\to -9$ ؛ وبعد الميلاد $476 \to +476$ ؛ و $753$ قبل الميلاد $\to -752$ .

7. $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ سنة.

8. سنة $12$ قبل الميلاد هي $-11$ . والظهورات التالية: $-11 + 76 = 65$ ، ثم $141$ ، ثم $217$ : أي السنوات $65$ و $141$ و $217$ بعد الميلاد. وقبلها: $-11 - 76 = -87$ ، وهي سنة المؤرّخين $87 + 1 = 88$ قبل الميلاد.

9. سنة $5$ قبل الميلاد هي $-4$ ، إذن $5 - (-4) = 9$ سنوات — لا $10$ . فسنة الصفر المفقودة تضرب كلما عبرت مدّة حدّ الحقبتين.

10. سنة $3$ قبل الميلاد هي $-2$ ؛ وبعد عشر سنوات $-2 + 10 = +8$ : فقد بلغ الطفل العاشرة سنة $8$ بعد الميلاد.

11. بين $-7$ و $-2$ : $(-2) - (-7) = 5$ . وبين $-3.5$ و $4.5$ : $4.5 - (-3.5) = 8$ .

12. بتجميع المتعاكسات والأصدقاء:

3 + (-5) + 2 + (-1) + 4 = \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4 = 0 + (-1) + 4 = +3 :

فينتهي المصعد عند الطابق $3$ . والترتيب لا يهمّ: فمجموع الأعداد النسبية يمكن إعادة تنظيمه بحرّية (فكل حركة تُمشى على المستقيم نفسه، والمشية الكلية هي نفسها).

13. التغيّر الصافي: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ درجة. واِنطلاقًا من $-2$ : تكون درجة الحرارة النهائية $-2 + (-1) = -3$ درجة. وعمومًا، القيمة النهائية هي القيمة الابتدائية زائد مجموع كل التغيّرات — ولا حاجة إلى تتبّع الصعود والنزول واحدًا واحدًا.

14. العودة إلى البداية تعني تغيّرًا صافيًا $0$ : فالصعود والنزول يجب أن يتلاشيا بالضبط. ومجموع التغيّرات الخمسة المعلومة $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$ ، إذن التغيّر السادس هو المعاكس: $+3$ (أي ثلاثمئة متر صعودًا).

15. عند الفلكيين: سنة $509$ قبل الميلاد $\to -508$ ، و $476 - (-508) = 984$ سنة. وحساب المؤرّخ $509 + 476 = 985$ يعدّ سنة زائدة — ومرة أخرى إنها سنة الصفر الشبح، المدرجة صامتةً في الجمع والغائبة عن التاريخ. (وللتحقّق، الحقبتان: الجمهورية من $-508$ إلى $-26$ ، أي $482$ سنة؛ والإمبراطورية من $-26$ إلى $+476$ ، أي $502$ سنة؛ و $482 + 502 = 984$ .)

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد