54ضرب الأعداد السالبة

حل المسألة 54.1.

1. بما أن $0 = 0 + 0$، تعطي التوزيعية (المبرهنة 45.6)

إذن جمع $0 \times a$ إلى نفسه لا يغيّر شيئًا — والعدد الوحيد الذي يمكن جمعه دون تغيير شيء هو $0$. (ومباشرةً: اِطرح $0 \times a$ من الطرفين.) ومنه $0 \times a = 0$.

2. بالنشر، ثم باستعمال $1 + (-1) = 0$ والسؤال 1:

إذن $(-1) \times a$ هو العدد الذي، إذا جُمع إلى $a$، أعطى $0$: وذلك بالضبط معاكس $a$، ومنه $(-1) \times a = -a$. وتمثّل التمرين 54.11 الحالة الخاصّة $a = -1$: فهناك $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$.

3. اُكتب $-a = (-1) \times a$ (السؤال 2) وأعِد تجميع العوامل:

4. طبّق السؤال 3 مرتين (مرة على كل عامل):

لأن معاكس معاكس عدد هو العدد نفسه.

5. اُكتب $a = +d$ أو $a = -d$ و $b = +e$ أو $b = -e$، حيث $d$ و $e$ المسافتان إلى الصفر. والحالات الأربع:

والاثنتان الوسطيان بالسؤال 3، والأخيرة بالسؤال 4. وفي كل حالة تكون مسافة النتيجة $d \times e$، أي جداء المسافتين، والإشارة هي المعلنة في جدول المبرهنة 54.1: الإشارتان نفسهما موجب، وإشارتان متعاكستان سالب.

6. $(-1)^2 = +1$، و $(-1)^3 = -1$، و $(-1)^4 = +1$، و $(-1)^5 = -1$. وعمومًا $(-1)^n$ جداء $n$ عاملًا سالبًا، مسافة كل منها $1$: وحسب القضية 54.3 يكون $+1$ حين يكون $n$ زوجيًّا و $-1$ حين يكون $n$ فرديًّا.

7. هناك عشرة عوامل سالبة — وهو عدد زوجي — إذن الجداء موجب (القضية 54.3). ومسافته $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$.

8. بالسؤال 4، $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a = a^2$. ثم بالسؤال 3،

فتختفي إشارة الناقص من أجل الأُسُس الزوجية وتصمد من أجل الفردية، بموافقة المثال 54.5.

9. إذا كان $a = 0$ فإن $a^2 = 0$. وإلا كان للعددين $a$ و $a$ الإشارة نفسها، إذن $a^2 = a \times a$ موجب (المبرهنة 54.1). فالمربع إذن ليس سالبًا أبدًا؛ وبما أن $-4$ سالب، فلا يوجد عدد نسبي $x$ يحقّق $x^2 = -4$.

10. زينة على صواب. فالأُسّان $2026$ و $2027$ لهما زوجيتان متعاكستان، إذن $(-1)^{2026} = +1$ و $(-1)^{2027} = -1$، ومجموعهما $0$. وعمومًا، من بين أُسّين متتاليين واحد زوجي وواحد فردي، إذن القوّتان $+1$ و $-1$ بترتيب ما: عددان متعاكسان مجموعهما $0$ دائمًا.

11. $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$، ثم $A_4 = A_3 - 4 = -2$، و $A_5 = A_4 + 5 = 3$، و $A_6 = A_5 - 6 = -3$، و $A_7 = A_6 + 7 = 4$. والتخمين: $A_n = -\frac{n}{2}$ من أجل $n$ الزوجي، و $A_n = \frac{n+1}{2}$ من أجل $n$ الفردي.

12. من أجل $n$ الزوجي تتزاوج الحدود تزاوجًا كاملًا:

وكل زوج يساوي $-1$. وعدد الأزواج $\frac{n}{2}$ (حدّان في كل زوج، و $n$ حدًّا في المجموع)، إذن $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$.

13. من أجل $n$ الفردي، يكون المجموع $A_n$ هو المجموع $A_{n-1}$ للحدود $n - 1$ الأولى، زائد الحدّ الأخير، وهو $+n$ لأن $n$ فردي. وبما أن $n - 1$ زوجي، يعطي السؤال 12

14. $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$، و $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$، و $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$.

15. لا مفاجأة: فالانتقال من $A_{100}$ إلى $A_{101}$ يضيف حدًّا واحدًا بالضبط، هو $+101$، إذن كان الفرق لا بدّ أن يكون $101$. وللسبب نفسه، $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — دون حساب $A_{2027}$ البتة.