Mathematics · الكتاب 1 · Grades 1–9

الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية

الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

25الأعشار والأجزاء من مئة

بين 33 و 44 تصمت الأعداد الصحيحة — لكن عدّاءً قد يتقدّم 33 أمتار وشيئًا. وقطع الوحدة إلى عشرة، ثم إلى مئة، يعطي الكسور العشرية، ويعطي لها اختصارًا بديعًا: النقطة العشرية. (وللأعداد العشرية فصلها الكامل في الفصل 29.)

25.1 الكسور العشرية

تعريف 25.1 (الأعشار والأجزاء من مئة)

قطع الوحدة إلى 1010 أجزاء متساوية يعطي الأعشار، أي 110\frac{1}{10}؛ وقطع كل عُشر إلى 1010 من جديد يعطي الأجزاء من مئة، أي 1100\frac{1}{100}. إذن

1=1010=100100,110=10100.1 = \frac{10}{10} = \frac{100}{100}, \qquad \frac{1}{10} = \frac{10}{100}.
مربع المئة: عشرة أعمدة من عشر خانات. فالعمود الواحد عُشر، والخانة الواحدة جزء من مئة.
مربع المئة: عشرة أعمدة من عشر خانات. فالعمود الواحد عُشر، والخانة الواحدة جزء من مئة.

مثال 25.2

تلوين 33 أعمدة و 77 خانات زائدة من مربع المئة يلوّن

310+7100=30100+7100=37100\frac{3}{10} + \frac{7}{100} = \frac{30}{100} + \frac{7}{100} = \frac{37}{100}

منه — أي سبعة وثلاثين جزءًا من مئة.

25.2 النقطة العشرية

تعريف 25.3 (الكتابة العشرية)

العدد 2+310+71002 + \frac{3}{10} + \frac{7}{100} يُكتب

2.372.37

— والنقطة العشرية تفصل الجزء الصحيح (22) عن الجزء العشري؛ والرقم الأول بعد النقطة يعدّ الأعشار، والثاني يعدّ الأجزاء من مئة. والقراءة: «اثنان نقطة ثلاثة سبعة»، أو «اثنان وسبعة وثلاثون جزءًا من مئة».

مثال 25.4

710=0.7,43100=0.43,5100=0.05,3+410=3.4.\frac{7}{10} = 0.7, \qquad \frac{43}{100} = 0.43, \qquad \frac{5}{100} = 0.05, \qquad 3 + \frac{4}{10} = 3.4 .

واِنتبه إلى 5100\frac{5}{100}: فخمسة أجزاء من مئة تحتاج إلى 00 في مرتبة الأعشار — 0.050.05، لا 0.50.5.

تكبير ما بين 2 و 2.8: علامات كبيرة كل عُشر، وعلامات صغيرة كل جزء من مئة. والعدد 2.37 يقع بين 2.3 و 2.4، عند العلامة الصغيرة رقم 7.
تكبير ما بين 22 و 2.82.8: علامات كبيرة كل عُشر، وعلامات صغيرة كل جزء من مئة. والعدد 2.372.37 يقع بين 2.32.3 و 2.42.4، عند العلامة الصغيرة رقم 77.

مثال 25.5 (النقود أجزاء من مئة)

القرش جزء من مئة من الوحدة النقدية: فثمن قدره 4.854.85 يعني 44 وحدات كاملة و 8585 جزءًا من مئة. والنقود هي النقطة العشرية التي تستعملها كل يوم: 1010 قروش =0.10= 0.10؛ ووحدتان وخمسون قرشًا =2.50= 2.50؛ و 0.050.05 قطعة من خمسة قروش، لا خمسين!

25.3 المقارنة بالأعشار

طريقة 25.6 (مقارنة الأعداد العشرية (لقاء أول))

  1. قارن الأجزاء الصحيحة أولًا: 3.2>2.93.2 > 2.9.
  2. وعند تساوي الأجزاء الصحيحة: قارن الأعشار، ثم الأجزاء من مئة: 2.37<2.52.37 < 2.5 لأن 33 أعشار <5< 5 أعشار.
  3. وكتابة العددين برقمين عشريين تساعد: 2.5=2.502.5 = 2.50، و 37<5037 < 50 جزءًا من مئة.

والفخّ: في 2.372.37 أرقام أكثر مما في 2.52.5، لكنه أصغر — فالأرقام الأكثر لا تعني الأكبر!

مثال 25.7

رتّب 0.40.4 و 0.350.35 و 0.090.09: بالأجزاء من مئة، 0.400.40 و 0.350.35 و 0.090.09؛ إذن

0.09<0.35<0.4.0.09 < 0.35 < 0.4 .

25.4 تمارين

تمرين 25.1

على مربع المئة، كم يُلوَّن إذا لوّنا: 55 أعمدة؛ و 22 من الأعمدة و 33 خانات؛ و 4545 خانة؟ أجب بالكسور.

حل

حل التمرين 25.1.

55 أعمدة: 510\frac{5}{10} (أي 50100\frac{50}{100}). و 22 من الأعمدة و 33 خانات: 23100\frac{23}{100}. و 4545 خانة: 45100\frac{45}{100}.

تمرين 25.2

اُكتب بنقطة عشرية: 910\frac{9}{10}؛ 27100\frac{27}{100}؛ 3100\frac{3}{100}؛ 5+6105 + \frac{6}{10}؛ 60100\frac{60}{100}.

حل

حل التمرين 25.2.

0.90.9؛ 0.270.27؛ 0.030.03؛ 5.65.6؛ 0.60=0.60.60 = 0.6.

تمرين 25.3

اُكتب على صورة كسر (أعشار أو أجزاء من مئة): 0.30.3؛ 0.510.51؛ 0.070.07؛ 1.91.9.

حل

حل التمرين 25.3.

0.3=3100.3 = \frac{3}{10}؛ 0.51=511000.51 = \frac{51}{100}؛ 0.07=71000.07 = \frac{7}{100}؛ 1.9=1+910=19101.9 = 1 + \frac{9}{10} = \frac{19}{10}.

تمرين 25.4

في 6.586.58: ماذا يعدّ الرقم 55؟ والرقم 88؟ وفكّك العدد كما في التعريف 25.3.

حل

حل التمرين 25.4.

الرقم 55 يعدّ الأعشار، والرقم 88 يعدّ الأجزاء من مئة:

6.58=6+510+8100.6.58 = 6 + \frac{5}{10} + \frac{8}{100}.

تمرين 25.5

ضع على مستقيم مدرَّج بالأعشار من 44 إلى 55: 4.24.2؛ 4.754.75 (بين أي علامتين؟)؛ 4.94.9.

حل

حل التمرين 25.5.

4.24.2: عند العلامة الثانية بعد 44. و 4.754.75: بين العلامتين 4.74.7 و 4.84.8، في المنتصف. و 4.94.9: علامة واحدة قبل 55.

تمرين 25.6

اُنقل وأكمل بالإشارة << أو >> أو ==:

0.6  ?  0.60,2.8  ?  2.75,0.09  ?  0.1,5.3  ?  5.13.0.6 \;?\; 0.60, \qquad 2.8 \;?\; 2.75, \qquad 0.09 \;?\; 0.1, \qquad 5.3 \;?\; 5.13 .
حل

حل التمرين 25.6.

0.6=0.600.6 = 0.60؛ 2.8>2.752.8 > 2.75 (قارن 2.802.800.09<0.10.09 < 0.1 (99 أجزاء من مئة مقابل 10105.3>5.135.3 > 5.13.

تمرين 25.7

رتّب من الأصغر إلى الأكبر: 1.051.05؛ 1.51.5؛ 0.950.95؛ 1.451.45.

حل

حل التمرين 25.7.

0.95<1.05<1.45<1.50.95 < 1.05 < 1.45 < 1.5.

تمرين 25.8

اُكتب بالكتابة العشرية: ثلاث وحدات وخمسة قروش؛ واثنتا عشرة وحدة وخمسون قرشًا؛ وتسعة وتسعون قرشًا. ثم رتّب الأثمان الثلاثة.

حل

حل التمرين 25.8.

3.053.05؛ 12.5012.50؛ 0.990.99. والترتيب: 0.99<3.05<12.500.99 < 3.05 < 12.50.

تمرين 25.9

ما الأعداد العشرية ذات الرقم العشري الواحد الواقعة تمامًا بين 33 و 44؟ اُذكرها كلها. وكم عددها؟

حل

حل التمرين 25.9.

3.13.1، 3.23.2، 3.33.3، 3.43.4، 3.53.5، 3.63.6، 3.73.7، 3.83.8، 3.93.9 — تسعة أعداد.

تمرين 25.10 ★★

يقول عمر: «0.250.25 أكبر من 0.50.5 لأن 2525 أكبر من 55». بيّن له خطأه بمربع المئة (كم خانة يلوّن كل منهما؟).

حل

حل التمرين 25.10.

على مربع المئة، يلوّن 0.250.25 عدد 2525 خانة، أما 0.5=0.500.5 = 0.50 فيلوّن 5050 خانة: فالعدد 0.50.5 هو الأكبر. وقد قارن عمر 2525 و 55 كعددين صحيحين؛ وكان عليه أن يقارن 2525 و 5050 جزءًا من مئة.

تمرين 25.11 ★★

قفزات عدّاء الثلاث قِيست 3.63.6 م و 3.583.58 م و 3.653.65 م. رتّب القفزات من الأقصر إلى الأطول. وأي قفزتين يفرق بينهما 5100\frac{5}{100} من المتر بالضبط؟

حل

حل التمرين 25.11.

الترتيب: 3.58<3.6<3.653.58 < 3.6 < 3.65. والقفزتان 3.63.6 و 3.653.65 يفرق بينهما 0.05=51000.05 = \frac{5}{100} من المتر (أي خمسة سنتيمترات).

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد