Mathematics · الكتاب 1 · Grades 1–9

الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية

الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

36المسائل والمخططات

آخر فصول السنة يشغّل كل شيء: مسائل متعددة الخطوات بالنقود والكميات والمدد، والمخططات التي تعرض المعلومة بنظرة واحدة. والفكرة النجمة هي «لكل واحد» — إيجاد ثمن شيء واحد — وستكبر لتصير التناسب في الفصل 44.

36.1 المسائل المتعددة الخطوات

طريقة 36.1 (ترويض مسألة طويلة)

  1. اقرأ إلى النهاية؛ وقل ما السؤال الأخير؛
  2. وخطّط بالعكس: ماذا أحتاج أولًا لأجيب عنه؟
  3. وحُلّ الخطوات بالترتيب، كاتبًا عملية واحدة وجملة قصيرة لكل خطوة؛
  4. وتحقّق من الجواب الأخير بالحسّ السليم وبتقدير.

مثال 36.2

«تطلب مدرسة 44 علب من 2525 كتابًا ثمن الواحد 66، وتدفع 180180 للتوصيل فوق ذلك. فما الكلفة الكلية؟»

  1. الكتب: 4×25=1004 \times 25 = 100 كتاب.
  2. وثمن الكتب: 100×6=600100 \times 6 = 600.
  3. والمجموع: 600+180=780600 + 180 = 780.

والتحقّق بالتقدير: نحو مئة كتاب ثمن الواحد 66 يقارب 600600، زائد نحو 200200: أي نحو 800800 — فالجواب 780780 معقول.

مثال 36.3 (لكل واحد)

«55 أكواب متماثلة ثمنها 12.5012.50؛ فكم يكلّف 88 أكواب؟» جِد ثمن كوب واحد أولًا:

12.50÷5=2.50,ثم8×2.50=20.12.50 \div 5 = 2.50, \qquad\text{ثم}\qquad 8 \times 2.50 = 20 .

فمن خلال الواحد يصير كل شيء في المتناول — وهذا النمط ذو الخطوتين يحلّ عائلة كاملة من المسائل (الوصفات، والسرعات، والأثمان)، وهو بذرة الفصل 44.

مثال 36.4 (الباقي والميزانية)

عند زينة 3030. وتشتري كتابًا ثمنه 12.4012.40 وقلمين ثمن الواحد 2.302.30. فهل تستطيع أيضًا أن تشتري لعبة لوحية ثمنها 1313؟

  1. الأقلام: 2×2.30=4.602 \times 2.30 = 4.60.
  2. والمصروف حتى الآن: 12.40+4.60=1712.40 + 4.60 = 17.
  3. والباقي: 3017=1330 - 17 = 13 — وهو يكفي اللعبة بالضبط، ولا يبقى شيء.

36.2 قراءة المخططات

طريقة 36.5 (قراءة أي مخطط)

  1. اقرأ العنوان: ما الذي يُعدّ؟
  2. واقرأ المحاور أو المفتاح: ماذا يمثّل التدريج الواحد، أو العمود الواحد، أو الرمز الواحد؟
  3. وعندئذٍ فقط أجب عن الأسئلة — والإشارة إلى المخطط بمسطرة تساعد على قراءة الارتفاعات بدقة.

مثال 36.6

تساقط المطر في مدينة، شهرًا شهرًا:

مخطط بالأعمدة لتساقط المطر. التدريج الواحد = 20 مم.
مخطط بالأعمدة لتساقط المطر. التدريج الواحد =20= 20 مم.

القراءات: أمطر الشهور هو مايو (8080 مم)؛ ونال يونيو نصف مطر أبريل (3030 مقابل 7070؟ لا — فنصف 7070 هو 3535، إذن ليس نصفه تمامًا: فالقراءة الدقيقة تهمّ!)؛ والمجموع في الشهور الستة: 60+45+55+70+80+30=34060 + 45 + 55 + 70 + 80 + 30 = 340 مم.

مثال 36.7 (كمية متغيرة)

ارتفاع نبتة، مقيسًا كل أسبوع:

وصل نقاط القياس يُظهر النمو: فكلما اشتدّ ميل القطعة كان نمو النبتة في ذلك الأسبوع أسرع.
وصل نقاط القياس يُظهر النمو: فكلما اشتدّ ميل القطعة كان نمو النبتة في ذلك الأسبوع أسرع.

نمت النبتة أسرع ما نمت بين الأسبوعين 33 و 44 (+5+5 سم) وتباطأت في النهاية (+2+2 سم في الأسبوع 66).

36.3 تمارين

تمرين 36.1

حُلّ بالخطوات: «يستأجر نادٍ حافلة بمبلغ 240240 ويشتري 3232 تذكرة متحف ثمن الواحدة 77. فما الكلفة الكلية للرحلة؟»

حل

حل التمرين 36.1.

التذاكر: 32×7=22432 \times 7 = 224. والمجموع: 240+224=464240 + 224 = 464.

تمرين 36.2

حُلّ بطريقة «لكل واحد»: «33 كغ من التفاح ثمنها 7.507.50. فكم يكلّف 55 كغ؟»

حل

حل التمرين 36.2.

لكل كيلوغرام واحد: 7.50÷3=2.507.50 \div 3 = 2.50. وخمسة كيلوغرامات: 5×2.50=12.505 \times 2.50 = 12.50.

تمرين 36.3

حُلّ: «يتقاسم ستة أصدقاء بالتساوي كلفة نزهة قدرها 8787. فكم يدفع كل واحد؟»

حل

حل التمرين 36.3.

87÷6=14.587 \div 6 = 14.5: يدفع كل واحد 14.5014.50.

تمرين 36.4

عند سامي 2525. ويشتري قميصًا ثمنه 13.9013.90 وقبعة ثمنها 8.508.50. فكم من المال بقي له؟

حل

حل التمرين 36.4.

المصروف: 13.90+8.50=22.4013.90 + 8.50 = 22.40. والباقي: 2522.40=2.6025 - 22.40 = 2.60.

تمرين 36.5

بالاستعانة بمخطط المطر في المثال 36.6: أي الشهور نالت أكثر من 5050 مم؟ وبكم يزيد المطر في مايو على مطر يونيو؟

حل

حل التمرين 36.5.

أكثر من 5050 مم: يناير (6060)، ومارس (5555)، وأبريل (7070)، ومايو (8080). ومايو ناقص يونيو: 8030=5080 - 30 = 50 مم.

تمرين 36.6

بالاستعانة بمخطط النبتة في المثال 36.7: كم كان ارتفاع النبتة في الأسبوع 22؟ وبين أي أسبوعين نمت 44 سم بالضبط؟

حل

حل التمرين 36.6.

الأسبوع 22: 66 سم. ونمو 44 سم: بين الأسبوعين 22 و 33 (6106 \to 10)، وبين الأسبوعين 44 و 55 (151915 \to 19).

تمرين 36.7

اُرسم مخططًا بالأعمدة لعدد الأهداف التي سجّلها فريق: سبتمبر 44، وأكتوبر 77، ونوفمبر 33، وديسمبر 66. واختر التدريج، وأعطِ المجموع.

حل

حل التمرين 36.7.

أربعة أعمدة بارتفاعات 44 و 77 و 33 و 66 (والتدريج كل 11 أو 22 من الأهداف). والمجموع: 4+7+3+6=204 + 7 + 3 + 6 = 20 هدفًا.

تمرين 36.8

رزمة من 88 علب لبن ثمنها 3.203.20؛ وتُباع العلبة وحدها بثمن 0.500.50. احسب ثمن «الواحدة» في الرزمة، وكم يوفّر المرء في كل علبة بشراء الرزمة.

حل

حل التمرين 36.8.

ثمن الواحدة في الرزمة: 3.20÷8=0.403.20 \div 8 = 0.40. والتوفير في كل علبة: 0.500.40=0.100.50 - 0.40 = 0.10 (أي عشرة قروش).

تمرين 36.9 ★★

«باعت سينما 148148 تذكرة ثمن الواحدة 9.509.50 يوم السبت و 9595 تذكرة بالثمن نفسه يوم الأحد. فبكم يزيد ما جنته يوم السبت على ما جنته يوم الأحد؟» حُلّها بطريقتين: بحساب مبلغَي اليومين، أو بالحساب من فرق التذاكر — وتحقّق أن الجوابين متفقان.

حل

حل التمرين 36.9.

الطريقة 1: السبت 148×9.50=1406148 \times 9.50 = 1\,406؛ والأحد 95×9.50=902.5095 \times 9.50 = 902.50؛ والفرق 503.50503.50.

الطريقة 2: 14895=53148 - 95 = 53 تذكرة زيادة، ثمن كل منها 9.509.50: 53×9.50=503.5053 \times 9.50 = 503.50. والجواب نفسه — ففرق المبلغين هو مبلغ الفرق.

تمرين 36.10 ★★

وصفة تكفي 44 أشخاص تحتاج إلى 300300 غ من الأرز. وتطبخ عالية لعدد 1010 أشخاص. فكم أرزًا تحتاج؟ (لكل شخص واحد أولًا — والأعداد العشرية مسموحة.)

حل

حل التمرين 36.10.

لكل شخص: 300÷4=75300 \div 4 = 75 غ. ولعشرة: 10×75=75010 \times 75 = 750 غ من الأرز.

تمرين 36.11 ★★

اِبتكر مسألة من ثلاث خطوات تستعمل النقود جوابها الأخير 5.505.50، واكتب حلّها الكامل على أسلوب الطريقة 36.1، واختبرها على زميل.

حل

حل التمرين 36.11.

مسائل صحيحة كثيرة — فمثلًا: «يشتري مالك 33 عصائر ثمن الواحدة 1.201.20 وشطيرة ثمنها 3.403.40. ويدفع بقسيمة قدرها 12.5012.50. فكم بقي من القسيمة؟» والحلّ: العصائر 3×1.20=3.603 \times 1.20 = 3.60؛ والمصروف كله 3.60+3.40=73.60 + 3.40 = 7؛ والباقي 12.507=5.5012.50 - 7 = 5.50.