الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

44التناسب والمعطيات

إذا كانت ثلاثة دفاتر ثمنها $6$ يورو، فستة دفاتر ثمنها $12$ : ضاعف الدفاتر يتضاعف الثمن. والمقادير التي تسلك هذا المسلك متناسبة — وهي من أنفع الأفكار في الرياضيات كلها، وتُطوَّر أكثر في الفصل 49. وينتهي الفصل بقراءة مخططات المعطيات البسيطة ورسمها.

44.1 المقادير المتناسبة

تعريف 44.1 (التناسب)

يكون مقداران متناسبين حين تُحصَل قيم أحدهما من قيم الآخر بالضرب دائمًا في العدد نفسه، ويُسمّى معامل التناسب.

مثال 44.2

دفاتر ثمن الواحد $2$ يورو:

الدفاتر	$3$	$5$	$8$	$12$
الثمن (باليورو)	$6$	$10$	$16$	$24$

كل ثمن هو عدد الدفاتر $\times 2$ : فالمعامل هو $2$ (وهو ثمن الوحدة). وللتحقّق السريع من كون جدول متناسبًا: يجب أن تتساوى كل «خوارج قسمة الأعمدة» $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ — وهي هنا كلها تساوي $2$ .

مثال 44.3 (مثال مضادّ)

السنّ والطول غير متناسبين: فابن $12$ سنة ليس ضعف طول ابن $6$ سنوات. وتحقّق بالأعداد: $1.50$ م عند $12$ سنة و $1.15$ م عند $6$ سنوات تعطي خارجَي القسمة $\frac{1.50}{12} = 0.125$ و $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — وهما غير متساويين.

طريقة 44.4 (إكمال جدول تناسب)

ثلاث طرق، تُختار بحرّية:

المعامل: جِد المضروب فيه من عمود كامل واحد، وطبّقه على البقية؛
الأعمدة: يمكن ضرب عمود في عدد، أو جمع عمودين، لإنتاج عمود جديد؛
العودة إلى الوحدة: جِد قيمة عنصر واحد أولًا، ثم اِضرب.

مثال 44.5

خمسة أقداح متطابقة ثمنها $15$ يورو؛ فكم ثمن ثمانية أقداح؟

العودة إلى الوحدة: ثمن القدح الواحد $15 \div 5 = 3$ يورو، إذن ثمانية أقداح ثمنها $8 \times 3 = 24$ يورو.

الأعمدة: $8 = 5 + 3$ ؛ وثلاثة أقداح ثمنها $\frac{3}{5}$ من $15$ ، أي $9$ ؛ إذن ثمانية أقداح ثمنها $15 + 9 = 24$ يورو. الجواب نفسه، كما يجب أن يكون.

44.2 النسب المئوية

تعريف 44.6 (النسبة المئوية)

عبارة « $t\,\%$ من مقدار» تعني الكسر $\frac{t}{100}$ منه: و $25\,\%$ من $60$ هي $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ . والنسبة المئوية تناسب معامله $\frac{t}{100}$ .

مثال 44.7

قسم فيه $30$ تلميذًا نسبة البنات فيه $40\,\%$ . وعدد البنات، خطوة خطوة: $40\,\%$ تعني $\frac{40}{100} = 0.4$ ، ثم $0.4 \times 30 = 12$ بنتًا. ومعالم مفيدة: $50\,\%$ هي النصف، و $25\,\%$ الرُّبع، و $10\,\%$ العُشر — إذن $10\,\%$ من $30$ هو $3$ ، و $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ يساوي $4 \times 3 = 12$ : الجواب نفسه، محسوبًا ذهنيًّا.

44.3 قراءة المخططات ورسمها

طريقة 44.8 (قراءة جدول أو مخطط)

مهما كانت الصورة — جدولًا أو مخطط أعمدة أو منحنى:

اِقرأ العنوان والوحدات على المحورين أولًا؛
وللإجابة عن سؤال، حدّد العمود الصحيح، ثم اِقرأ القيمة بعناية على التدريج؛
وللمقارنة، قارن الأعمدة بالارتفاع — لكن تحقّق من أن المحور يبدأ من $0$ ، وإلا ضلّلت الصورة.

مثال 44.9

يبيّن مخطط الأعمدة أدناه عدد الكتب المستعارة من مكتبة المدرسة خلال أسبوع واحد.

مخطط أعمدة: عمود واحد لكل يوم، وارتفاعه يساوي العدد.

القراءات: أكثر الأيام حركة هو الأربعاء ( $17$ كتابًا). والثلاثاء والخميس معًا يمثّلان $8 + 6 = 14$ كتابًا — أقلّ من الجمعة وحدها ( $15$ ). والمجموع للأسبوع: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ كتابًا.

للمقادير المتناسبة منحنى مميّز جدًّا: فالنقط تصطفّ على مستقيم يمرّ بالمبدأ (والدفاتر هنا ثمن الواحد 3 يورو؛ والخطوط المتقطّعة تقرأ ثمن 6 دفاتر: 18 يورو). — للمقادير المتناسبة منحنى مميّز جدًّا: فالنقط تصطفّ على مستقيم يمرّ بالمبدأ (والدفاتر هنا ثمن الواحد $3$ يورو؛ والخطوط المتقطّعة تقرأ ثمن $6$ دفاتر: $18$ يورو).

44.4 تمارين

تمرين 44.1 ★

هل الجدول متناسب؟ بَرِّر بحساب خوارج القسمة.

كيلوغرامات التفاح	$2$	$3$	$5$
الثمن (باليورو)	$5$	$7.5$	$12.5$

السنّ (بالسنوات)	$2$	$4$	$8$
الطول (سم)	$85$	$103$	$130$

حل

حل التمرين 44.1.

التفاح: خوارج القسمة $\frac52 = 2.5$ و $\frac{7.5}{3} = 2.5$ و $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — وكلها متساوية: إذن متناسب (والثمن $2.50$ للكيلوغرام).

السنّ والطول: $\frac{85}{2} = 42.5$ لكن $\frac{103}{4} = 25.75$ — غير متساويين: إذن غير متناسبين.

تمرين 44.2 ★

أربعة كرواسان ثمنها $4.80$ يورو. جِد ثمن كرواسان واحد، ثم ثمن سبعة.

حل

حل التمرين 44.2.

الكرواسان الواحد: $4.80 \div 4 = 1.20$ يورو. وسبعة: $7 \times 1.20 = 8.40$ يورو.

تمرين 44.3 ★

أكمل جدول التناسب (اِبدأ بالمعامل!):

لترات الوقود	$10$	$25$	$?$	$60$
الثمن (باليورو)	$18$	$?$	$72$	$?$

حل

حل التمرين 44.3.

المعامل: $18 \div 10 = 1.8$ يورو للتر الواحد. ثم $25$ لترًا ثمنها $25 \times 1.8 = 45$ يورو؛ و $72$ يورو تشتري $72 \div 1.8 = 40$ لترًا؛ و $60$ لترًا ثمنها $60 \times 1.8 = 108$ يورو.

تمرين 44.4 ★

سيارة تستهلك $6$ لترات من الوقود لكل $100$ كم. فكم وقودًا تلزم مسافة $250$ كم؟ ومسافة $350$ كم؟ وأيّ مسافة تقطع بمقدار $27$ لترًا؟

حل

حل التمرين 44.4.

من أجل $250$ كم: أي $2.5$ أمثال وقود $100$ كم، إذن $2.5 \times 6 = 15$ لترًا. ومن أجل $350$ كم: $3.5 \times 6 = 21$ لترًا. وبمقدار $27$ لترًا: $27 \div 6 = 4.5$ مئات من الكيلومترات، أي $450$ كم.

تمرين 44.5 ★

اِحسب ذهنيًّا، مستعملًا معالم المثال 44.7: $50\,\%$ من $84$ ؛ و $25\,\%$ من $200$ ؛ و $10\,\%$ من $63$ ؛ و $30\,\%$ من $70$ .

حل

حل التمرين 44.5.

$50\,\%$ من $84$ : النصف، أي $42$ . $25\,\%$ من $200$ : الرُّبع، أي $50$ . $10\,\%$ من $63$ : العُشر، أي $6.3$ . $30\,\%$ من $70$ : $3 \times 7 = 21$ .

تمرين 44.6 ★

في مدرسة فيها $450$ تلميذًا، يأكل $60\,\%$ في المطعم. فكم تلميذًا يساوي ذلك؟ وكم تلميذًا لا يأكل فيه؟

حل

حل التمرين 44.6.

$60\,\%$ من $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ تلميذًا يأكلون في المطعم؛ و $450 - 270 = 180$ لا يأكلون فيه.

تمرين 44.7 ★

باستعمال مخطط أعمدة المثال 44.9: في أيّ الأيام اُستعير أقلّ من $10$ كتب؟ وبكم كتابًا زادت الاستعارة يوم الأربعاء عن يوم الخميس؟

حل

حل التمرين 44.7.

أقلّ من $10$ كتب: الثلاثاء ( $8$ ) والخميس ( $6$ ). والأربعاء ناقص الخميس: $17 - 6 = 11$ كتابًا أكثر.

تمرين 44.8 ★

كانت درجات الحرارة عند الظهر من الاثنين إلى الجمعة $14$ و $16$ و $13$ و $17$ و $20$ درجة. اُرسم مخطط أعمدة لهذه المعطيات (اِختر تدريجًا معقولًا)، واِقرأ منه أدفأ يوم.

حل

حل التمرين 44.8.

مخطط أعمدة بخمسة أعمدة اِرتفاعاتها $14$ و $16$ و $13$ و $17$ و $20$ (والتدريج كل $2$ أو $5$ درجات يعمل جيدًا). وأدفأ يوم: الجمعة ( $20$ درجة).

تمرين 44.9 ★★

وصفة من أجل $6$ أشخاص تحتاج $450$ غ من الدقيق و $3$ بيضات. فكيّفها من أجل $10$ أشخاص. (وأما البيض، ففكّر قبل أن تكتب عددًا عشريًّا من البيضات!)

حل

حل التمرين 44.9.

من أجل $10$ أشخاص، اِضرب في $\frac{10}{6} = \frac53$ : فالدقيق $450 \times \frac{10}{6} = 750$ غ. والبيض: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — ولحسن الحظ عدد صحيح. (ولو لم يكن كذلك، لقُرِّب بالزيادة حتى يكفي.)

تمرين 44.10 ★★

بسرعة ثابتة، تقطع دراجة $24$ كم في $1$ ساعة.

فكم تقطع في $2$ ساعة؟ وفي نصف ساعة؟ وفي $1$ ساعة و $30$ دقيقة؟
وكم تحتاج من الوقت لقطع $60$ كم؟

حل

حل التمرين 44.10.

1. في $2$ ساعة: $48$ كم. وفي نصف ساعة: $12$ كم. وفي $1$ ساعة و $30$ : $24 + 12 = 36$ كم.

2. $60 \div 24 = 2.5$ ساعة، أي $2$ ساعة و $30$ دقيقة.

تمرين 44.11 ★★

متجر يعرض « $20\,\%$ تخفيضًا على كل شيء». اِحسب التخفيض والثمن الجديد في كل من: كرة ثمنها $15$ يورو؛ ومضرب ثمنه $40$ يورو. وهل الثمن الجديد متناسب مع الثمن القديم؟ وما المعامل؟

حل

حل التمرين 44.11.

الكرة: التخفيض $20\,\%$ من $15 = 3$ يورو، والثمن الجديد $12$ يورو. والمضرب: التخفيض $8$ يورو، والثمن الجديد $32$ يورو. والثمن الجديد هو $80\,\%$ من القديم في كل حالة: إذن متناسب، ومعامله $0.8$ .

تمرين 44.12 ★★★

شمعتان بالارتفاع نفسه تُشعلان في اللحظة نفسها. فالغليظة تحترق كلها في $6$ ساعات، والرفيعة في $4$ ساعات، كل واحدة بمعدّلها الثابت. فبعد كم من الوقت يصير اِرتفاع الشمعة الرفيعة نصف اِرتفاع الغليظة بالضبط؟ (عبّر عن الارتفاعين الباقيين بعد $t$ ساعة بكسور من الارتفاع الابتدائي.)

حل

حل التمرين 44.12.

بعد $t$ ساعة، تكون الشمعة الغليظة قد احترقت $\frac t6$ من اِرتفاعها: فتقف عند $1 - \frac t6$ من الارتفاع الابتدائي؛ والرفيعة عند $1 - \frac t4$ . ونريد

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{أي}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

ومنه $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ ، إذن $t = 3$ ساعات. والتحقّق: بعد $3$ ساعات تقف الشمعة الغليظة عند $1 - \frac36 = \frac12$ والرفيعة عند $1 - \frac34 = \frac14$ — وهو فعلًا نصفه.

44.5 مسألة: الخرائط والتصاميم، وكيف تكذب بمخطط

مسألة 44.1

مسألة نهاية الأسبوع — سلّم الخريطة تناسب: فالأطوال تتبع المعامل، والمساحات تتبع مربّعه، والمخططات السيّئة الرسم تخدع العين

كل خريطة وتصميم ومجسّم مصغّر يخضع لقاعدة واحدة: الأطوال الحقيقية والأطوال المرسومة متناسبة (التعريف 44.1). وللمعامل اسم مشهور — وهو السلّم — وهو يخفي فخّين تنصبهما هذه المسألة عمدًا: فالمساحات لا تتبع السلّم، والنسب المئوية، كالمخططات، تتوقف كليًّا على ما تُقاس بالنسبة إليه.

الجزء الأول — قراءة خريطة. خريطة للمشي سلّمها $1:100\,000$ : فكل سنتيمتر على الخريطة يمثّل $100\,000$ سنتيمتر على الأرض.

حوّل $100\,000$ سم إلى كيلومترات. فماذا يمثّل $1$ سم من هذه الخريطة، بالكيلومتر؟
قريتان تبعد إحداهما عن الأخرى $7.5$ سم على الخريطة؛ وشاطئ بحيرة منحنى طوله $12$ سم. أعطِ المسافتين الحقيقيتين.
طريق رومانية مستقيمة تمامًا طولها $20$ كم. فكم يبلغ طولها على الخريطة؟
خريطة ثانية تعلن « $1$ سم من أجل $5$ كم». اُكتب سلّمها على الصورة $1: \,?$ . وأيّ الخريطتين تبيّن تفاصيل أكثر للمنطقة نفسها؟
اِصنع جدولًا صغيرًا (مسافة على الخريطة $1$ و $2$ و $7.5$ سم مقابل المسافة الحقيقية) لخريطة المشي، واِشرح لماذا يكون السلّم تناسبًا بالضبط بمعنى التعريف 44.1. وما المعامل الذي يحوّل السنتيمترات على الخريطة إلى كيلومترات؟

الجزء الثاني — تصميم غرفة زينة. ترسم زينة تصميم غرفتها — وهي مستطيل $4$ م في $3$ م — بسلّم $1:50$ .

فما أبعاد الغرفة على التصميم؟
سريرها قياسه $2$ م في $0.9$ م، وعرض باب الغرفة $80$ سم. أعطِ القياسات الثلاثة على التصميم.
والآن الفخّ. اِحسب المساحة الحقيقية للغرفة بوحدة م $^2$ ، ثم مساحة تصميمها بوحدة سم $^2$ . وحوّل المساحة الحقيقية إلى سم $^2$ (التعريف 43.5) واقسمها على مساحة التصميم: فهل خارج القسمة $50$ ؟
فسّر العدد الذي وجدته: ففي تصميم بسلّم $1:50$ ، كل سنتيمتر مربع من الورق يمثّل مربعًا حقيقيًّا $50$ سم في $50$ سم. فكم سم $^2$ حقيقيًّا يساوي ذلك؟ واُذكر القاعدة: حين تُقسم الأطوال على $50$ ، تُقسم المساحات على …
سجّادة مدوّرة تغطّي $6$ سم $^2$ على التصميم. فأيّ مساحة حقيقية تغطّي، بوحدة سم $^2$ ثم بوحدة م $^2$ ؟

الجزء الثالث — كيف تكذب بمخطط وبنسبة مئوية.

باع متجر بما قيمته $105$ يورو يوم السبت و $110$ يوم الأحد. فرسم المدير مخطط أعمدة يبدأ محوره العمودي من $100$ : فيرتفع عمود السبت $5$ وحدات صغيرة، وعمود الأحد $10$ . فماذا توحي الصورة عن الأحد، وما الحقيقة؟ (اِحسب زيادة الأحد نسبةً مئوية من السبت، مقرّبة إلى أقرب نسبة صحيحة.) وأيّ تحذير من الطريقة 44.8 أهمله المدير؟
أعِد رسم المخطط الأمين (أو صِفه)، بمحور يبدأ من $0$ : فكيف يتقارن العمودان الآن؟
تنمو مجموعة من $40$ إلى $60$ طابعًا: اِحسب الزيادة نسبةً مئوية من القيمة الابتدائية. ثم تتقلّص عائدة من $60$ إلى $40$ : اِحسب النقصان نسبةً مئوية من قيمته هو الابتدائية. فلماذا يختلف الجوابان، من أجل الطوابع $20$ نفسها؟
موسم التخفيضات: معطف ثمنه $100$ يورو يُخفَّض « $20\,\%$ »، وعند الصندوق « $10\,\%$ إضافية على الثمن المخفَّض». اِحسب الثمن النهائي خطوة خطوة. فهل مجموع التخفيض $30\,\%$ ؟ اِشرح للمشتري ما هو حقًّا.
الخاتمة، عودًا إلى خريطة السؤال 4 ( $1$ سم من أجل $5$ كم): غابة تشغل $3$ سم $^2$ من تلك الخريطة. فما مساحتها الحقيقية، بوحدة كم $^2$ ؟ واختم بقاعدة هذه المسألة كلها: الأطوال تتبع السلّم، والمساحات تتبع …

حل

حل المسألة 44.1.

1. $100\,000$ سم $= 1\,000$ م $= 1$ كم: فالسنتيمتر الواحد على الخريطة كيلومتر واحد على الأرض.

2. $7.5$ سم $\rightarrow 7.5$ كم بين القريتين؛ و $12$ سم $\rightarrow 12$ كم من شاطئ البحيرة.

3. $20$ كم $\rightarrow 20$ سم على الخريطة.

4. $5$ كم $= 500\,000$ سم، إذن السلّم $1:500\,000$ . وخريطة المشي ( $1:100\,000$ ) هي الأكثر تفصيلًا: فهي تستعمل $5$ سم من الورق حيث لا تنفق الأخرى إلا $1$ سم.

الخريطة (سم)	$1$	$2$	$7.5$
الحقيقة (كم)	$1$	$2$	$7.5$

المسافة الحقيقية $=$ المسافة على الخريطة $\times 1$ (بهذه الوحدات): أي المضروب فيه نفسه دائمًا، وهو بالضبط تعريف التناسب (التعريف 44.1). والمعامل هنا $1$ كيلومتر لكل سنتيمتر.

6. $4$ م $= 400$ سم و $400 \div 50 = 8$ ؛ و $3$ م $= 300$ سم و $300 \div 50 = 6$ : فالتصميم يبيّن مستطيلًا $8$ سم $\times$ $6$ سم.

7. السرير: $200 \div 50 = 4$ سم في $90 \div 50 = 1.8$ سم. والباب: $80 \div 50 = 1.6$ سم.

8. المساحة الحقيقية: $4 \times 3 = 12$ م $^2$ . ومساحة التصميم: $8 \times 6 = 48$ سم $^2$ . وبالتحويل: $12$ م $^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ سم $^2$ ، ثم

120\,000 \div 48 = 2\,500 .

وخارج القسمة ليس $50$ بل $2\,500 = 50 \times 50$ .

9. كل سم $^2$ من الورق يمثّل مربعًا حقيقيًّا $50$ سم في $50$ سم، وهو يحوي $50 \times 50 = 2\,500$ سم $^2$ . إذن حين تُقسم الأطوال على $50$ ، تُقسم المساحات على $50 \times 50 = 2\,500$ : فالمساحات تتبع مربّع السلّم.

10. $6 \times 2\,500 = 15\,000$ سم $^2$ ، ثم $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ م $^2$ .

11. توحي الصورة بأن الأحد باع ضعف ما باعه السبت (فعموده ضعف الارتفاع). والحقيقة: أن الزيادة $5$ يورو من أصل $105$ ، و $5 \div 105 \approx 0.048$ : أي نحو $5\,\%$ أكثر، لا $100\,\%$ أكثر. وقد أهمل المدير التحذير بالتحقّق من أن المحور يبدأ من $0$ (الطريقة 44.8).

12. بمحور يبدأ من $0$ ، يرتفع العمودان إلى $105$ و $110$ وحدة صغيرة: أي عمودان بالارتفاع نفسه تقريبًا، وهو الصورة الأمينة لفرق $5\,\%$ .

13. صعودًا: الزيادة $20$ طابعًا من بداية $40$ : أي $\frac{20}{40} = 50\,\%$ . ونزولًا: النقصان $20$ طابعًا من بداية $60$ : أي $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . الطوابع $20$ نفسها، وقيمتان اِبتدائيتان مختلفتان — فالنسبة المئوية دائمًا كسر من شيء ما، وقد تغيّر «الشيء».

14. بعد تخفيض $20\,\%$ : $100 - 20 = 80$ يورو. وتنطبق $10\,\%$ الإضافية على $80$ : فالتخفيض $8$ يورو، والثمن النهائي $72$ يورو. ومجموع التخفيض: $28$ يورو من أصل $100$ ، أي $28\,\%$ — لا $30\,\%$ . فقد عمل التخفيض الثاني على الثمن المخفَّض أصلًا، فيوروهاته أصغر: فالنسب المئوية من مقادير مختلفة لا تُجمع.

15. على تلك الخريطة، يمثّل $1$ سم مسافة $5$ كم، إذن $1$ سم $^2$ يمثّل $5 \times 5 = 25$ كم $^2$ (قاعدة السؤال 9). والغابة: $3 \times 25 = 75$ كم $^2$ . فالأطوال تتبع السلّم؛ والمساحات تتبع مربّعه.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد