Mathematics · الكتاب 1 · Grades 1–9

الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية

الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

24الكسور الأولى

نصف تفاحة، وربع ساعة، وثلاثة أرباع الصف: الكسور تسمّي أجزاء الأشياء. يقدّم هذا الفصل الكتابة ab\frac{a}{b}، ويقرأ الكسور على الصور ومستقيم الأعداد، ويقارن أبسطها. (والكسور تكبر في الفصل 39.)

24.1 تسمية الأجزاء

تعريف 24.1 (الكسر)

اقطع الوحدة إلى أجزاء متساوية وخذ بعضها — فذلك كسر:

343: عدد الأجزاء المأخوذة (وهو البسط4: عدد الأجزاء المتساوية التي قُطعت إليها الوحدة (وهو المقام).\frac{3}{4} \quad \begin{array}{l} 3 \text{: عدد الأجزاء المأخوذة (وهو \emph{البسط})؛}\\ 4 \text{: عدد الأجزاء المتساوية التي قُطعت إليها الوحدة (وهو \emph{المقام}).} \end{array}

والكسر 12\frac12 هو النصف، و 13\frac13 الثلث، و 14\frac14 الربع، و 110\frac{1}{10} العُشر.

قراءة الكسور على الصور. ويجب أن تكون الأجزاء متساوية: فثلاثة أجزاء غير متساوية لا تصنع أثلاثًا!
قراءة الكسور على الصور. ويجب أن تكون الأجزاء متساوية: فثلاثة أجزاء غير متساوية لا تصنع أثلاثًا!

مثال 24.2 (كسور مجموعة)

13\frac13 من 1212 كرة: اقسم الكرات 1212 إلى 33 مجموعات متساوية من 44؛ فمجموعة واحدة هي 13\frac13، إذن 13\frac13 من 1212 هو 44 — و 23\frac23 من 1212 مجموعتان، أي 88.

24.2 الكسور على مستقيم الأعداد

طريقة 24.3 (وضع ab\frac{a}{b})

اقطع كل وحدة من المستقيم إلى bb خطوات متساوية؛ ثم سِر من 00 مقدار aa خطوة. وإن كان aa أكبر من bb، تجاوز السير 11: فالكسور يمكن أن تكون أكبر من وحدة كاملة!

المستقيم مقطوعًا أرباعًا: 2/4 يقع على النقطة نفسها التي يقع عليها 1/2؛ و 5/4 يزيد ربعًا على 1؛ و 11/4 هو 2 و 3/4.
المستقيم مقطوعًا أرباعًا: 24\frac24 يقع على النقطة نفسها التي يقع عليها 12\frac12؛ و 54\frac54 يزيد ربعًا على 11؛ و 114\frac{11}{4} هو 22 و 34\frac34.

مثال 24.4 (أعداد صحيحة مختبئة في الكسور)

44=1\frac44 = 1 (فأربعة أرباع تصنع الوحدة)؛ و 82=4\frac82 = 4؛ و 123=4\frac{12}{3} = 4. والكسر 74\frac74 هو 1+341 + \frac34: وحدة كاملة وثلاثة أرباع فوقها.

24.3 مقارنة الكسور البسيطة وجمعها

قضية 24.5 (المقام نفسه)

عند تساوي المقام، تكون الأجزاء متساوية الحجم — فيكفي أن تعدّها:

28<58,38+48=78.\frac{2}{8} < \frac{5}{8}, \qquad \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}.

والمقارنة بالوحدة سهلة أيضًا: 58<1<98\frac{5}{8} < 1 < \frac{9}{8} (أقلّ من 88 أثمان، ثم أكثر منها).

بيان بالصورة. تلوين 33 أثمان ثم 44 أثمان أخرى من الشريط نفسه يلوّن 77 أثمان في المجموع.

مثال 24.6 (مقامان مختلفان، ونقطة واحدة)

على مستقيم الأعداد، يقع 12\frac12 و 24\frac24 و 510\frac{5}{10} كلها على النقطة نفسها: فهي ثلاثة أسماء للعدد نفسه. وقطع كل نصف إلى نصفين يصنع أرباعًا؛ وإلى خمسة، أعشارًا. (والقاعدة العامة في الفصل 39.)

مثال 24.7 (أرباع الساعة)

في الساعة 6060 دقيقة، إذن ربع الساعة هو 60÷4=1560 \div 4 = 15 دقيقة، وثلاثة أرباع الساعة هي 4545 دقيقة. و«الثانية والنصف» هي 12\frac12 ساعة بعد الساعة الثانية.

24.4 تمارين

تمرين 24.1

اُكتب الكسر الظاهر: بيتزا مقطوعة إلى 66 وبقيت منها 55 قطع؛ ولوح شوكولاتة من 88 مربعات أُكل منها 33 (الكسر المأكول)؛ وعلم مقسوم إلى 33 أشرطة عمودية متساوية، لوّن منها 11.

حل

حل التمرين 24.1.

البيتزا: بقي 56\frac56. والشوكولاتة: أُكل 38\frac38. والعلم: لوّن 13\frac13.

تمرين 24.2

اُرسم شريطًا مقطوعًا إلى 55 أجزاء متساوية ولوّن 35\frac35. ثم لوّن 25\frac{2}{5} من شريط آخر مساوٍ له. فأي التلوينين أكبر؟

حل

حل التمرين 24.2.

35\frac35 يلوّن ثلاثة أجزاء، و 25\frac25 لا يلوّن إلا جزأين: فالتلوين الأكبر هو 35\frac35.

تمرين 24.3

احسب: 12\frac12 من 1818؛ 14\frac14 من 2020؛ 13\frac13 من 2121؛ 34\frac34 من 2020 (ثلاث مجموعات من الربع).

حل

حل التمرين 24.3.

نصف 1818: 99. وربع 2020: 55. وثلث 2121: 77. و 34\frac34 من 2020: ثلاثة أرباع، أي 3×5=153 \times 5 = 15.

تمرين 24.4

ضع على مستقيم مقطوع أثلاثًا: 13\frac13؛ 33\frac33؛ 53\frac53؛ 22. فأي كسر يقع على 22 بالضبط؟

حل

حل التمرين 24.4.

13\frac13: خطوة واحدة؛ و 33\frac33: على 11؛ و 53\frac53: خطوتان بعد 11. والكسر الذي يقع على 22 بالضبط هو 63\frac63.

تمرين 24.5

اُنقل وأكمل بالإشارة << أو >> أو ==:

38  ?  68,55  ?  1,74  ?  1,12  ?  24.\frac38 \;?\; \frac68, \qquad \frac55 \;?\; 1, \qquad \frac74 \;?\; 1, \qquad \frac12 \;?\; \frac24 .
حل

حل التمرين 24.5.

38<68\frac38 < \frac68؛ 55=1\frac55 = 1؛ 74>1\frac74 > 1؛ 12=24\frac12 = \frac24.

تمرين 24.6

احسب: 26+36\frac26 + \frac36؛ 5828\frac58 - \frac28؛ 14+24\frac14 + \frac24؛ 1131 - \frac13 (وكم ثلثًا يصنع 11؟).

حل

حل التمرين 24.6.

26+36=56\frac26 + \frac36 = \frac56؛ 5828=38\frac58 - \frac28 = \frac38؛ 14+24=34\frac14 + \frac24 = \frac34؛ 1=331 = \frac33، إذن 113=231 - \frac13 = \frac23.

تمرين 24.7

اُكتب على صورة عدد صحيح زائد كسر أصغر من 11: 54\frac54؛ 73\frac73؛ 92\frac{9}{2}.

حل

حل التمرين 24.7.

54=1+14\frac54 = 1 + \frac14؛ 73=2+13\frac73 = 2 + \frac13؛ 92=4+12\frac92 = 4 + \frac12.

تمرين 24.8

كم دقيقة في: نصف ساعة؛ وربع ساعة؛ وثلاثة أرباع الساعة؛ و 13\frac13 الساعة؟

حل

حل التمرين 24.8.

نصف ساعة: 3030 دقيقة. والربع: 1515 دقيقة. وثلاثة الأرباع: 4545 دقيقة. والثلث: 2020 دقيقة.

تمرين 24.9

في صفّ من 2424 تلميذًا، 14\frac14 يلبسون نظارات. فكم تلميذًا يلبس نظارات؟ وكم تلميذًا لا يلبسها؟

حل

حل التمرين 24.9.

14\frac14 من 2424 هو 66 تلاميذ يلبسون نظارات؛ و 246=1824 - 6 = 18 لا يلبسونها.

تمرين 24.10 ★★

أكلت نور 38\frac38 من بيتزا وأكل سامي 48\frac48 من البيتزا نفسها. فأي كسر أكلا معًا؟ وأي كسر بقي؟ وأيّهما أكل أكثر؟

حل

حل التمرين 24.10.

معًا: 38+48=78\frac38 + \frac48 = \frac78. والباقي: 18\frac18. وسامي أكل أكثر (44 أثمان مقابل 33).

تمرين 24.11 ★★

صواب أم خطأ، مع صورة أو مثال: «يمكن أن يكون 12\frac12 من بيتزا صغيرة أقلّ من 14\frac14 من بيتزا كبيرة جدًّا». وما الذي يجب أن نعرفه دائمًا قبل مقارنة كسرين من شيء ما؟

حل

حل التمرين 24.11.

ممكن فعلًا: فنصف بيتزا صغيرة قد يكون طعامًا أقلّ من ربع بيتزا ضخمة. والكسور تقارن أجزاءً من الوحدة نفسها؛ فقبل مقارنة 12\frac12 و 14\frac14 «من شيء ما»، يجب أن نعرف أن الشيئين متساويان.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد