69حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية

مسألة 69.1

مسألة نهاية الأسبوع — طريقة المساحين ذات المحطّتين للاِرتفاعات التي لا تُبلَغ، ودرجات اِنحدار الطرق، والمسافة إلى الأفق، وسباق الظلّ نحو اللانهاية

لا يبلغ أيّ شريط قياس قمّة جبل، ولا قمّة برج وراء نهر، ولا الأفق في البحر — لكنّ مقياس زوايا ونسب هذا الفصل الثلاث تبلغها. وقلب هذه المسألة هو طريقة المحطّتين الكلاسيكية عند المساحين، وهي تحسب اِرتفاعًا من غير الاِقتراب من قاعدته أبدًا؛ وحولها: لافتات الطرق، والسلالم، والدرج، وتكوّر الأرض، ولمحة أولى عن دالة تنفجر نحو اللانهاية.

الجزء الأول — محطّة واحدة. (القيم: $\tan 35^\circ \approx 0.700$، و $\sin 35^\circ \approx 0.574$، و $\cos 35^\circ \approx 0.819$، و $\tan 1^\circ \approx 0.0175$.)

1. من نقطة على بعد $60$ م من قاعدة منارة، تُرى القمّة بزاوية اِرتفاع قدرها $35^\circ$ (مقيسة من الأفق، عند مستوى العين). فكم تعلو القمّة فوق مستوى العين؟
2. وتعلن لافتة طريق اِنحدارًا قدره $12\,\%$: أي أنّ الطريق يرتفع $12$ م لكل $100$ م أفقية. فأيّ زاوية يصنعها الطريق مع الأفق؟ وأيّ نسبة اِنحدار مئوية لطريق بزاوية $45^\circ$؟

3. والزاويتان الحادّتان في المثلث القائم الزاوية متتامّتان، والضلع المقابل لكل منهما هو المجاور للأخرى. اِستنتج متطابقتَي «التمام»:

   $$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$$
4. وسلّم طوله $8$ م مسنود بزاوية $60^\circ$ مع الأرض. باِستعمال القيم المضبوطة في المثال 69.9، أعطِ الاِرتفاع المبلوغ وبعد القدم عن الجدار — بالضبط، ثم إلى السنتيمتر.
5. وتحقّق من $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ عدديًّا من أجل $\theta = 35^\circ$ وبالضبط من أجل $\theta = 60^\circ$. ولماذا تكون هذه المتطابقة (القضية 69.4) عادةً جيدة للتحقّق من عمل الآلة الحاسبة؟

الجزء الثاني — محطّتان. قمّة جبل مرئية، وقاعدته لا تُبلَغ. فمن نقطة $A$، اِرتفاع القمّة $30^\circ$؛ وبالمشي $200$ م مباشرةً نحو الجبل، إلى $B$، يصير الاِرتفاع $40^\circ$. ولنكتب $h$ لعلوّ القمّة فوق مستوى العين و $x$ للمسافة الأفقية من $B$ إلى عمودي القمّة. ($\tan 30^\circ \approx 0.577$، و $\tan 40^\circ \approx 0.839$.)

6. عبّر عن $\tan 40^\circ$ و $\tan 30^\circ$ بدلالة $h$ و $x$ و $x + 200$: أي معادلتان بمجهولين.

7. ومن كل معادلة عبّر عن المسافة الأفقية بدلالة $h$، واِطرح، واِستنتج صيغة المحطّتين:

   $$h = \frac{200} {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$$

   واِحسب $h$ إلى أقرب عشرة أمتار.

8. واِحسب $x$ أيضًا، وتحقّق من معقولية جوابيك أمام رؤية $30^\circ$ من النقطة $A$.
9. وفي جملة واحدة: لماذا لا غنى عن طريقة المحطّتين — وأيّ قياس واحد، مستحيل هنا، كانت ستطلبه طريقة المحطّة الواحدة في السؤال 1؟
10. ويُرى برج بزاوية $30^\circ$، وبزاوية $60^\circ$ بعد المشي $200$ م نحوه. وباِستعمال $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ و $\tan 60^\circ = \sqrt3$، اِحسب الاِرتفاع بالضبط — والجواب مضاعف للعدد $\sqrt3$ — ثم إلى المتر.

الجزء الثالث — إلى الأفق وصعودًا على الجدار.

11. كم يبعد الأفق؟ إذا وقفت وعيناك على اِرتفاع $h$ مترًا فوق أرض كروية نصف قطرها $R$، لامس خطّ نظرك الكرة: فيشكّل خطّ النظر، ونصف القطر إلى نقطة الملامسة، ونصف القطر إلى قدميك مثلثًا قائم الزاوية. بيّن بفيثاغورس (المبرهنة 69.1) أنّ المسافة $d$ إلى الأفق تحقّق $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$، واِحسب $d$ من أجل عينين على $1.80$ م ($R = 6.37 \times 10^6$ م).
12. والسؤال نفسه من قمّة برج اِرتفاعه $324$ م. (وقاعدة البحّارة التقريبية: الأفق بالكيلومترات نحو $3.6\sqrt{h}$ حيث $h$ بالأمتار — فتحقّق من جوابيك أمامها.)
13. وإبهامك، وعرضه نحو $2$ سم، ممدودًا على طول ذراعك، على بعد نحو $60$ سم من عينك: فأيّ زاوية يغطّي؟ ويغطّي البدر نحو $0.5^\circ$: فأيّ جزء من إبهامك يخفي القمر كلّه؟
14. والدرج المريح قوائمه $17$ سم ونوائمه $29$ سم. فبأيّ زاوية يصعد؟ قارن بالزاوية $30^\circ$ في المثال 69.9، وبسلّم علّية حادّ بزاوية $60^\circ$: فأيّ قائمة يحتاج هو على نائمة قدرها $29$ سم؟
15. وسباق الظلّ: اِحسب (بالآلة الحاسبة) $\tan 10^\circ$ و $\tan 45^\circ$ و $\tan 80^\circ$ و $\tan 89^\circ$. فماذا يحدث حين تقترب الزاوية من $90^\circ$، ولماذا (فكّر في الضلع المجاور)؟ فالجدار عمودي، ولا قيمة للنسبة، ويقفز التمثيل البياني نحو اللانهاية — وهذا أول خطّ مقارب لك، وهو مخلوق يُدرس عن كثب في مجلّد الثانوية.