ثلاثة أكياس في كل واحد سبع كرات: يمكنك أن تجمع 7 + 7 + 7 7 + 7 + 7 7 + 7 + 7 ، لكن هناك طريقة أسرع — وهي الضرب، عملية الجمع المتكرر. يبني هذا الفصل جداول الضرب من الصور، ثم يعلّم طريقة الأعمدة.
16.1 ما معنى الضرب
تعريف 16.1 (الضرب)
الجداء 3 × 7 3 \times 7 3 × 7 يعني «ثلاث مرات سبعة»:
3 × 7 = 7 + 7 + 7 = 21. 3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 . 3 × 7 = 7 + 7 + 7 = 21.
وفي الصورة، 3 × 7 3 \times 7 3 × 7 مستطيل من النقط: 3 3 3 صفوف من 7 7 7 نقط.
النقط 21 21 21 نفسها، معدودة بالصفوف أو بالأعمدة: فترتيب الجداء لا يهمّ. ومعرفة 3 × 7 3 \times 7 3 × 7 تعطي 7 × 3 7 \times 3 7 × 3 مجانًا — أي نصف الجداول!
قضية 16.2 (قواعد تساعد)
الترتيب لا يهمّ: a × b = b × a a \times b = b \times a a × b = b × a .
والضرب في 1 1 1 لا يغيّر شيئًا؛ والضرب في 0 0 0 يعطي 0 0 0 .
والضرب في 10 10 10 يُلحق صفرًا: 34 × 10 = 340 34 \times 10 = 340 34 × 10 = 340 ؛ وفي 100 100 100 ، صفرين.
ويمكن إعادة بناء جدول من جيرانه: 6 × 8 = 5 × 8 + 8 = 40 + 8 = 48 6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48 6 × 8 = 5 × 8 + 8 = 40 + 8 = 48 .
برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎
مثال 16.3 (مربّع جداول الضرب)
تجتمع الجداول كلها في مربّع واحد. ولقراءة 6 × 7 6 \times 7 6 × 7 : السطر 6 6 6 ، والعمود 7 7 7 .
× \times × 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
والمربّع متناظر حول قطره — وتلك هي القاعدة 1 مرئيةً للعيان.
16.2 الضرب بالأعمدة
طريقة 16.4 (الضرب في عدد من رقم واحد)
لحساب 234 × 6 234 \times 6 234 × 6 :
اِضرب الآحاد: 4 × 6 = 24 4 \times 6 = 24 4 × 6 = 24 : اُكتب 4 4 4 واحتفظ برقم 2 2 2 ؛
واِضرب العشرات وأضف المحتفظ به: 3 × 6 + 2 = 20 3 \times 6 + 2 = 20 3 × 6 + 2 = 20 : اُكتب 0 0 0 واحتفظ برقم 2 2 2 ؛
واِضرب المئات وأضف المحتفظ به: 2 × 6 + 2 = 14 2 \times 6 + 2 = 14 2 × 6 + 2 = 14 : اُكتب 14 14 14 .
2 3 4 × 6 1 4 0 4 \begin{array}{r}
2\,3\,4 \\
\times \quad 6 \\
\hline
1\,4\,0\,4
\end{array} 2 3 4 × 6 1 4 0 4
والتقدير للتحقّق: العدد 234 234 234 قريب من 200 200 200 ، و 200 × 6 = 1 200 200 \times 6 = 1\,200 200 × 6 = 1 200 : فالجواب 1 404 1\,404 1 404 معقول.
مثال 16.5 (التفكيك للضرب الذهني)
طريقة الأعمدة تفكّك العدد سرًّا حسب المراتب. وذهنيًّا، اِفعل الشيء نفسه:
23 × 4 = ( 20 + 3 ) × 4 = 20 × 4 + 3 × 4 = 80 + 12 = 92. 23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4
= 80 + 12 = 92 . 23 × 4 = ( 20 + 3 ) × 4 = 20 × 4 + 3 × 4 = 80 + 12 = 92.
ومع جار ودود: 99 × 5 = 100 × 5 − 5 = 495 99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 =
495 99 × 5 = 100 × 5 − 5 = 495 .
لماذا ينجح التفكيك: مستطيل 23 × 4 23 \times 4 23 × 4 من المربعات الواحدية هو جزء 20 × 4 20 \times 4 20 × 4 زائد جزء 3 × 4 3 \times 4 3 × 4 — أي 80 + 12 = 92 80 + 12 = 92 80 + 12 = 92 مربعًا.
16.3 الضرب في المسائل
مثال 16.6
تحمل حافلة صغيرة 9 9 9 ركاب. فكم راكبًا تحمل 27 27 27 حافلة صغيرة؟
إنها عملية ضرب: 27 27 27 مجموعة من 9 9 9 .
27 × 9 = 243 27 \times 9 = 243 27 × 9 = 243 (بالأعمدة، أو 27 × 9 = 27 × 10 − 27 = 270 − 27 27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27 27 × 9 = 27 × 10 − 27 = 270 − 27 ).
والجملة: تستطيع الحافلات أن تحمل 243 243 243 راكبًا.
16.4 تمارين
تمرين 16.1 ★
اُكتب على صورة ضرب، ثم احسب: 8 + 8 + 8 + 8 8 + 8 + 8 + 8 8 + 8 + 8 + 8 ؛ 5 + 5 + 5 5 + 5 + 5 5 + 5 + 5 ؛ 20 + 20 + 20 + 20 + 20 20 + 20 + 20 + 20 + 20 20 + 20 + 20 + 20 + 20 .
حل
حل التمرين 16.1.
8 + 8 + 8 + 8 = 4 × 8 = 32 8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32 8 + 8 + 8 + 8 = 4 × 8 = 32 ؛ 5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15 5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 ؛ 20 × 5 = 100 20 \times 5 = 100 20 × 5 = 100 .
تمرين 16.2 ★
اِسرد وأكمل: 6 × 7 6 \times 7 6 × 7 ؛ 8 × 4 8 \times 4 8 × 4 ؛ 9 × 9 9 \times 9 9 × 9 ؛ 7 × 8 7 \times 8 7 × 8 ؛ 6 × 6 6 \times 6 6 × 6 .
حل
حل التمرين 16.2.
42 42 42 ؛ 32 32 32 ؛ 81 81 81 ؛ 56 56 56 ؛ 36 36 36 .
تمرين 16.3 ★
اُرسم مستطيل نقط يمثل 4 × 6 4 \times 6 4 × 6 ، ثم آخر يمثل 6 × 4 6 \times 4 6 × 4 . فماذا تلاحظ في العددين؟
حل
حل التمرين 16.3.
المستطيلان يحتويان النقط 24 24 24 نفسها — وأحدهما هو الآخر مُدارًا على جنبه: 4 × 6 = 6 × 4 4 \times 6 = 6 \times 4 4 × 6 = 6 × 4 .
تمرين 16.4 ★
احسب مستعملًا قواعد القضية 16.2 : 56 × 10 56 \times 10 56 × 10 ؛ 8 × 100 8 \times 100 8 × 100 ؛ 73 × 0 73 \times 0 73 × 0 ؛ 45 × 1 45 \times 1 45 × 1 ؛ 30 × 10 30 \times 10 30 × 10 .
حل
حل التمرين 16.4.
560 560 560 ؛ 800 800 800 ؛ 0 0 0 ؛ 45 45 45 ؛ 300 300 300 .
تمرين 16.5 ★
احسب بالأعمدة: 132 × 3 132 \times 3 132 × 3 ؛ 217 × 4 217 \times 4 217 × 4 ؛ 408 × 7 408 \times 7 408 × 7 .
حل
حل التمرين 16.5.
132 × 3 = 396 132 \times 3 = 396 132 × 3 = 396 ؛ 217 × 4 = 868 217 \times 4 = 868 217 × 4 = 868 ؛ 408 × 7 = 2 856 408 \times 7 = 2\,856 408 × 7 = 2 856 .
تمرين 16.6 ★
احسب ذهنيًّا بالتفكيك (كما في المثال 16.5 ): 31 × 5 31 \times 5 31 × 5 ؛ 42 × 3 42 \times 3 42 × 3 ؛ 25 × 6 25 \times 6 25 × 6 .
حل
حل التمرين 16.6.
31 × 5 = 30 × 5 + 5 = 155 31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155 31 × 5 = 30 × 5 + 5 = 155 ؛ 42 × 3 = 120 + 6 = 126 42 \times 3 = 120 + 6 = 126 42 × 3 = 120 + 6 = 126 ؛ 25 × 6 = 20 × 6 + 5 × 6 = 120 + 30 = 150 25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150 25 × 6 = 20 × 6 + 5 × 6 = 120 + 30 = 150 .
تمرين 16.7 ★
احسب بجار ودود: 99 × 7 99 \times 7 99 × 7 ؛ 101 × 6 101 \times 6 101 × 6 ؛ 98 × 5 98 \times 5 98 × 5 .
حل
حل التمرين 16.7.
99 × 7 = 700 − 7 = 693 99 \times 7 = 700 - 7 = 693 99 × 7 = 700 − 7 = 693 ؛ 101 × 6 = 600 + 6 = 606 101 \times 6 = 600 + 6 = 606 101 × 6 = 600 + 6 = 606 ؛ 98 × 5 = 500 − 10 = 490 98 \times 5 = 500 - 10 = 490 98 × 5 = 500 − 10 = 490 .
تمرين 16.8 ★
قدِّر أولًا، ثم احسب: 389 × 5 389 \times 5 389 × 5 (قدِّر بالعدد 400 400 400 )؛ و 612 × 8 612 \times 8 612 × 8 (قدِّر بالعدد 600 600 600 ).
حل
حل التمرين 16.8.
389 × 5 389 \times 5 389 × 5 : التقدير 400 × 5 = 2 000 400 \times 5 = 2\,000 400 × 5 = 2 000 ؛ وبالضبط 1 945 1\,945 1 945 .
612 × 8 612 \times 8 612 × 8 : التقدير 600 × 8 = 4 800 600 \times 8 = 4\,800 600 × 8 = 4 800 ؛ وبالضبط 4 896 4\,896 4 896 .
تمرين 16.9 ★
تسع علبة البيض 6 6 6 بيضات. فكم بيضة في 38 38 38 علبة؟ اُكتب العملية، واحسب، وأجب بجملة كاملة.
حل
حل التمرين 16.9.
38 × 6 = 228 38 \times 6 = 228 38 × 6 = 228 . في العلب 228 228 228 بيضة.
تمرين 16.10 ★★
في غرفة 8 8 8 صفوف من 4 4 4 طاولات؛ وتجلس على كل طاولة 2 2 2 من التلاميذ. فكم تلميذًا تتسع له الغرفة؟ (ضربان.)
حل
حل التمرين 16.10.
الطاولات: 8 × 4 = 32 8 \times 4 = 32 8 × 4 = 32 . والتلاميذ: 32 × 2 = 64 32 \times 2 = 64 32 × 2 = 64 . فتتسع الغرفة 64 64 64 تلميذًا.
تمرين 16.11 ★★
جِد كل طرق ترتيب 24 24 24 كرسيًّا في صفوف متساوية (صفوف من 1 1 1 ، ومن 2 2 2 ، …). فأي الترتيبات ممكنة؟ (اِستعمل مربّع الجداول: اِبحث عن 24 24 24 داخله.)
حل
حل التمرين 16.11.
يظهر 24 24 24 في مربّع الجداول على صور 1 × 24 1 \times 24 1 × 24 و 2 × 12 2 \times 12 2 × 12 و 3 × 8 3 \times 8 3 × 8 و 4 × 6 4 \times 6 4 × 6 — والأزواج نفسها معكوسة. والترتيبات الممكنة: 1 1 1 صف من 24 24 24 ، و 2 2 2 من الصفوف من 12 12 12 ، و 3 3 3 صفوف من 8 8 8 ، و 4 4 4 صفوف من 6 6 6 ، و 6 6 6 صفوف من 4 4 4 ، و 8 8 8 صفوف من 3 3 3 ، و 12 12 12 صفًّا من 2 2 2 ، و 24 24 24 صفًّا من 1 1 1 .
تمرين 16.12 ★★
تحسب زينة 47 × 6 47 \times 6 47 × 6 هكذا: 40 × 6 = 240 40 \times 6 = 240 40 × 6 = 240 ، و 7 × 6 = 42 7 \times 6 = 42 7 × 6 = 42 ، ثم 240 + 42 = 282 240 + 42 = 282 240 + 42 = 282 . وتحسب لينا 47 × 6 = 50 × 6 − 3 × 6 = 300 − 18 = 282 47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282 47 × 6 = 50 × 6 − 3 × 6 = 300 − 18 = 282 . اِشرح كل طريقة. وأيّهما تفضّل في 38 × 4 38 \times 4 38 × 4 ؟ احسبه بالطريقتين.
حل
حل التمرين 16.12.
تفكّك زينة 47 47 47 إلى 40 + 7 40 + 7 40 + 7 (وهي طريقة الأعمدة ذهنيًّا)؛ أما لينا فتستبدل بالعدد 47 47 47 العددَ الودود 50 50 50 ثم تصحّح بطرح 3 × 6 3 \times 6 3 × 6 التي عُدّت زيادةً. وفي 38 × 4 38 \times 4 38 × 4 : بطريقة زينة، 120 + 32 = 152 120 + 32 = 152 120 + 32 = 152 ؛ وبطريقة لينا، 40 × 4 − 2 × 4 = 160 − 8 = 152 40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 =
152 40 × 4 − 2 × 4 = 160 − 8 = 152 . وكلتاهما تنجح — وطريقة لينا أسرع هنا لأن 38 38 38 قريب من 40 40 40 .