Mathematics · الكتاب 1 · Grades 1–9

الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية

الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

16الضرب

ثلاثة أكياس في كل واحد سبع كرات: يمكنك أن تجمع 7+7+77 + 7 + 7، لكن هناك طريقة أسرع — وهي الضرب، عملية الجمع المتكرر. يبني هذا الفصل جداول الضرب من الصور، ثم يعلّم طريقة الأعمدة.

16.1 ما معنى الضرب

تعريف 16.1 (الضرب)

الجداء 3×73 \times 7 يعني «ثلاث مرات سبعة»:

3×7=7+7+7=21.3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

وفي الصورة، 3×73 \times 7 مستطيل من النقط: 33 صفوف من 77 نقط.

النقط 21 نفسها، معدودة بالصفوف أو بالأعمدة: فترتيب الجداء لا يهمّ. ومعرفة 3 × 7 تعطي 7 × 3 مجانًا — أي نصف الجداول!
النقط 2121 نفسها، معدودة بالصفوف أو بالأعمدة: فترتيب الجداء لا يهمّ. ومعرفة 3×73 \times 7 تعطي 7×37 \times 3 مجانًا — أي نصف الجداول!

قضية 16.2 (قواعد تساعد)

  1. الترتيب لا يهمّ: a×b=b×aa \times b = b \times a.
  2. والضرب في 11 لا يغيّر شيئًا؛ والضرب في 00 يعطي 00.
  3. والضرب في 1010 يُلحق صفرًا: 34×10=34034 \times 10 = 340؛ وفي 100100، صفرين.
  4. ويمكن إعادة بناء جدول من جيرانه: 6×8=5×8+8=40+8=486 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48.

برهان. نقبله في هذا المستوى.

مثال 16.3 (مربّع جداول الضرب)

تجتمع الجداول كلها في مربّع واحد. ولقراءة 6×76 \times 7: السطر 66، والعمود 77.

×\times112233445566778899
11123456789
2224681012141618
33369121518212427
444812162024283236
5551015202530354045
6661218243036424854
7771421283542495663
8881624324048566472
9991827364554637281

والمربّع متناظر حول قطره — وتلك هي القاعدة 1 مرئيةً للعيان.

16.2 الضرب بالأعمدة

طريقة 16.4 (الضرب في عدد من رقم واحد)

لحساب 234×6234 \times 6:

  1. اِضرب الآحاد: 4×6=244 \times 6 = 24: اُكتب 44 واحتفظ برقم 22؛
  2. واِضرب العشرات وأضف المحتفظ به: 3×6+2=203 \times 6 + 2 = 20: اُكتب 00 واحتفظ برقم 22؛
  3. واِضرب المئات وأضف المحتفظ به: 2×6+2=142 \times 6 + 2 = 14: اُكتب 1414.
234×61404\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

والتقدير للتحقّق: العدد 234234 قريب من 200200، و 200×6=1200200 \times 6 = 1\,200: فالجواب 14041\,404 معقول.

مثال 16.5 (التفكيك للضرب الذهني)

طريقة الأعمدة تفكّك العدد سرًّا حسب المراتب. وذهنيًّا، اِفعل الشيء نفسه:

23×4=(20+3)×4=20×4+3×4=80+12=92.23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

ومع جار ودود: 99×5=100×55=49599 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495.

لماذا ينجح التفكيك: مستطيل 23 × 4 من المربعات الواحدية هو جزء 20 × 4 زائد جزء 3 × 4 — أي 80 + 12 = 92 مربعًا.
لماذا ينجح التفكيك: مستطيل 23×423 \times 4 من المربعات الواحدية هو جزء 20×420 \times 4 زائد جزء 3×43 \times 4 — أي 80+12=9280 + 12 = 92 مربعًا.

16.3 الضرب في المسائل

مثال 16.6

تحمل حافلة صغيرة 99 ركاب. فكم راكبًا تحمل 2727 حافلة صغيرة؟

  1. إنها عملية ضرب: 2727 مجموعة من 99.
  2. 27×9=24327 \times 9 = 243 (بالأعمدة، أو 27×9=27×1027=2702727 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27).
  3. والجملة: تستطيع الحافلات أن تحمل 243243 راكبًا.

16.4 تمارين

تمرين 16.1

اُكتب على صورة ضرب، ثم احسب: 8+8+8+88 + 8 + 8 + 8؛ 5+5+55 + 5 + 5؛ 20+20+20+20+2020 + 20 + 20 + 20 + 20.

حل

حل التمرين 16.1.

8+8+8+8=4×8=328 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32؛ 5+5+5=3×5=155 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15؛ 20×5=10020 \times 5 = 100.

تمرين 16.2

اِسرد وأكمل: 6×76 \times 7؛ 8×48 \times 4؛ 9×99 \times 9؛ 7×87 \times 8؛ 6×66 \times 6.

حل

حل التمرين 16.2.

4242؛ 3232؛ 8181؛ 5656؛ 3636.

تمرين 16.3

اُرسم مستطيل نقط يمثل 4×64 \times 6، ثم آخر يمثل 6×46 \times 4. فماذا تلاحظ في العددين؟

حل

حل التمرين 16.3.

المستطيلان يحتويان النقط 2424 نفسها — وأحدهما هو الآخر مُدارًا على جنبه: 4×6=6×44 \times 6 = 6 \times 4.

تمرين 16.4

احسب مستعملًا قواعد القضية 16.2: 56×1056 \times 10؛ 8×1008 \times 100؛ 73×073 \times 0؛ 45×145 \times 1؛ 30×1030 \times 10.

حل

حل التمرين 16.4.

560560؛ 800800؛ 00؛ 4545؛ 300300.

تمرين 16.5

احسب بالأعمدة: 132×3132 \times 3؛ 217×4217 \times 4؛ 408×7408 \times 7.

حل

حل التمرين 16.5.

132×3=396132 \times 3 = 396؛ 217×4=868217 \times 4 = 868؛ 408×7=2856408 \times 7 = 2\,856.

تمرين 16.6

احسب ذهنيًّا بالتفكيك (كما في المثال 16.5): 31×531 \times 5؛ 42×342 \times 3؛ 25×625 \times 6.

حل

حل التمرين 16.6.

31×5=30×5+5=15531 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155؛ 42×3=120+6=12642 \times 3 = 120 + 6 = 126؛ 25×6=20×6+5×6=120+30=15025 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150.

تمرين 16.7

احسب بجار ودود: 99×799 \times 7؛ 101×6101 \times 6؛ 98×598 \times 5.

حل

حل التمرين 16.7.

99×7=7007=69399 \times 7 = 700 - 7 = 693؛ 101×6=600+6=606101 \times 6 = 600 + 6 = 606؛ 98×5=50010=49098 \times 5 = 500 - 10 = 490.

تمرين 16.8

قدِّر أولًا، ثم احسب: 389×5389 \times 5 (قدِّر بالعدد 400400)؛ و 612×8612 \times 8 (قدِّر بالعدد 600600).

حل

حل التمرين 16.8.

389×5389 \times 5: التقدير 400×5=2000400 \times 5 = 2\,000؛ وبالضبط 19451\,945.

612×8612 \times 8: التقدير 600×8=4800600 \times 8 = 4\,800؛ وبالضبط 48964\,896.

تمرين 16.9

تسع علبة البيض 66 بيضات. فكم بيضة في 3838 علبة؟ اُكتب العملية، واحسب، وأجب بجملة كاملة.

حل

حل التمرين 16.9.

38×6=22838 \times 6 = 228. في العلب 228228 بيضة.

تمرين 16.10 ★★

في غرفة 88 صفوف من 44 طاولات؛ وتجلس على كل طاولة 22 من التلاميذ. فكم تلميذًا تتسع له الغرفة؟ (ضربان.)

حل

حل التمرين 16.10.

الطاولات: 8×4=328 \times 4 = 32. والتلاميذ: 32×2=6432 \times 2 = 64. فتتسع الغرفة 6464 تلميذًا.

تمرين 16.11 ★★

جِد كل طرق ترتيب 2424 كرسيًّا في صفوف متساوية (صفوف من 11، ومن 22، …). فأي الترتيبات ممكنة؟ (اِستعمل مربّع الجداول: اِبحث عن 2424 داخله.)

حل

حل التمرين 16.11.

يظهر 2424 في مربّع الجداول على صور 1×241 \times 24 و 2×122 \times 12 و 3×83 \times 8 و 4×64 \times 6 — والأزواج نفسها معكوسة. والترتيبات الممكنة: 11 صف من 2424، و 22 من الصفوف من 1212، و 33 صفوف من 88، و 44 صفوف من 66، و 66 صفوف من 44، و 88 صفوف من 33، و 1212 صفًّا من 22، و 2424 صفًّا من 11.

تمرين 16.12 ★★

تحسب زينة 47×647 \times 6 هكذا: 40×6=24040 \times 6 = 240، و 7×6=427 \times 6 = 42، ثم 240+42=282240 + 42 = 282. وتحسب لينا 47×6=50×63×6=30018=28247 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282. اِشرح كل طريقة. وأيّهما تفضّل في 38×438 \times 4؟ احسبه بالطريقتين.

حل

حل التمرين 16.12.

تفكّك زينة 4747 إلى 40+740 + 7 (وهي طريقة الأعمدة ذهنيًّا)؛ أما لينا فتستبدل بالعدد 4747 العددَ الودود 5050 ثم تصحّح بطرح 3×63 \times 6 التي عُدّت زيادةً. وفي 38×438 \times 4: بطريقة زينة، 120+32=152120 + 32 = 152؛ وبطريقة لينا، 40×42×4=1608=15240 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152. وكلتاهما تنجح — وطريقة لينا أسرع هنا لأن 3838 قريب من 4040.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد