الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

40المستقيمات والدوائر والزوايا

تبدأ الهندسة بمسطرة وكوس وفرجار. ويثبّت هذا الفصل المفردات — النقط والقطع وأنصاف المستقيمات والمستقيمات والدوائر — ويقدّم الوضعين الخاصّين للمستقيمين (التوازي والتعامد)، ويعلّم كيف تُقاس الزوايا وتُرسم.

40.1 النقط والقطع والمستقيمات

تعريف 40.1 (الأشياء الأساسية)

يمرّ بنقطتين متمايزتين $A$ و $B$ :

القطعة $[AB]$ : وهي جزء المستقيم المحصور بين $A$ و $B$ (ولها طول يُكتب $AB$ )؛
ونصف المستقيم $[AB)$ : يبدأ من $A$ ، ويمرّ بالنقطة $B$ ، ثم يمتدّ بلا نهاية؛
والمستقيم $(AB)$ : يمتدّ بلا نهاية في الجهتين. والنقطتان تعيّنان مستقيمًا واحدًا لا غير.

والنقط الواقعة على مستقيم واحد تُسمّى مستقيمية.

النقطتان نفسهما، وثلاثة أشياء مختلفة. والقوسان يقولان ما يتوقّف وما يستمرّ: [ يتوقّف، و ( يستمرّ. — النقطتان نفسهما، وثلاثة أشياء مختلفة. والقوسان يقولان ما يتوقّف وما يستمرّ: $[$ يتوقّف، و $($ يستمرّ.

40.2 المستقيمات المتوازية والمتعامدة

تعريف 40.2 (المتعامدان والمتوازيان)

يكون المستقيمان متعامدين حين يتقاطعان في زاوية قائمة؛ ويُكتب $d_1 \perp d_2$ ، وتُعلَّم الزاوية القائمة بمربع صغير. ويكونان متوازيين حين لا يتقاطعان أبدًا، مهما اِمتدّا؛ ويُكتب $d_1 \parallel d_2$ .

تقاطع في زاوية قائمة (مُعلَّمة بالمربع الصغير)، ومستقيمان متوازيان: الاتجاه نفسه، ولا نقطة تقاطع.

قضية 40.3 (واقعتان مفيدتان)

إذا كان مستقيمان عموديين على مستقيم ثالث، فهما متوازيان.
وإذا كان مستقيمان متوازيين، فكل مستقيم عمودي على أحدهما عمودي على الآخر.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

طريقة 40.4 (الرسم بالكوس)

لرسم العمودي على مستقيم $d$ المارّ بنقطة $P$ :

ضع أحد حرفَي الزاوية القائمة من الكوس على $d$ ؛
أزلق الكوس على طول $d$ حتى يبلغ حرفه الآخر النقطة $P$ ؛
اُرسم المستقيم على طول ذلك الحرف، وعلّم الزاوية القائمة.

وللحصول على الموازي المارّ بالنقطة $P$ : اُرسم عموديًّا على $d$ ، ثم العمودي على ذلك المستقيم المارّ بالنقطة $P$ (القضية 40.3).

40.3 الدوائر

تعريف 40.5 (الدائرة)

الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $r$ هي مجموعة كل النقط التي تبعد المسافة $r$ بالضبط عن $O$ . والقطعة الواصلة من المركز إلى الدائرة نصف قطر؛ والقطعة الواصلة بين نقطتين من الدائرة مارّةً بالمركز قطر — وطوله $2r$ ؛ والقطعة الواصلة بين نقطتين من الدائرة وتر.

دائرة فيها نصف قطر [OM]، وقطر [AB] (وهو وتر يمرّ بالمركز، وطوله ضعف نصف القطر)، ووتر [CD]. — دائرة فيها نصف قطر $[OM]$ ، وقطر $[AB]$ (وهو وتر يمرّ بالمركز، وطوله ضعف نصف القطر)، ووتر $[CD]$ .

مثال 40.6

«اُرسم الدائرة التي مركزها $O$ وتمرّ بالنقطة $A$ »: اِفتح الفرجار من $O$ إلى $A$ — فنصف القطر هو المسافة $OA$ — ثم أدِر. وكل نقطة من هذه الدائرة تبعد عن $O$ مثل $A$ .

40.4 الزوايا

تعريف 40.7 (الزاوية)

نصفا المستقيمين $[AB)$ و $[AC)$ اللذان لهما نقطة البداية نفسها $A$ يكوّنان الزاوية $\widehat{BAC}$ ؛ والنقطة $A$ هي رأسها (وهي دائمًا الحرف الأوسط!). وتُقاس الزوايا بالدرجات ( $^\circ$ )، من $0^\circ$ إلى $360^\circ$ للدورة الكاملة. والزاوية:

قائمة إذا كان قياسها $90^\circ$ ؛
وحادّة إذا كان قياسها أصغر من $90^\circ$ ؛
ومنفرجة إذا كان قياسها بين $90^\circ$ و $180^\circ$ ؛
ومستقيمة إذا كان قياسها $180^\circ$ (فيكوّن نصفا المستقيمين مستقيمًا).

عائلات الزوايا الأربع. والزاوية القائمة (90) هي المرجع: فالحادّة أصغر منها، والمنفرجة أكبر. — عائلات الزوايا الأربع. والزاوية القائمة ( $90^\circ$ ) هي المرجع: فالحادّة أصغر منها، والمنفرجة أكبر.

طريقة 40.8 (قياس زاوية بالمنقلة)

ضع مركز المنقلة على رأس الزاوية بالضبط؛
حاذِ خطّها $0^\circ$ مع أحد ضلعَي الزاوية؛
اِقرأ التدريجة التي يقطعها الضلع الآخر — مستعملًا السلّم الذي يبدأ من $0$ على الضلع المحاذي؛
وتحقّق بالنظر: فالزاوية الحادّة يجب أن تُقرأ أصغر من $90^\circ$ ، والمنفرجة أكبر.

مثال 40.9

قبل القياس، قدِّر! فالزاوية المفتوحة أكثر قليلًا من ركن ورقة تزيد قليلًا على $90^\circ$ ؛ ونصف الزاوية القائمة $45^\circ$ ؛ وثلثها $30^\circ$ . وإن قالت منقلتك $150^\circ$ لزاوية تبدو حادّة، فقد قرأت السلّم الخطأ: والقياس الصحيح هو $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 تمارين

تمرين 40.1 ★

اُرسم ثلاث نقط $A$ و $B$ و $C$ غير مستقيمية. واُرسم بألوان مختلفة: القطعة $[AB]$ ، ونصف المستقيم $[CA)$ ، والمستقيم $(BC)$ .

حل

حل التمرين 40.1.

بناء حرّ. القطعة تتوقف عند $A$ و $B$ ؛ ونصف المستقيم يبدأ من $C$ ويستمرّ متجاوزًا $A$ ؛ والمستقيم يستمرّ في جهتَي $B$ و $C$ .

تمرين 40.2 ★

صواب أم خطأ؟ « $[AB]$ و $[BA]$ هما القطعة نفسها.» « $[AB)$ و $[BA)$ هما نصف المستقيم نفسه.» « $(AB)$ و $(BA)$ هما المستقيم نفسه.» اِشرح كل جواب.

حل

حل التمرين 40.2.

« $[AB] = [BA]$ »: صواب — فالجزء المحصور بين النقطتين لا يتوقّف على الترتيب.

« $[AB) = [BA)$ »: خطأ — فنصف المستقيم $[AB)$ يبدأ من $A$ ، و $[BA)$ يبدأ من $B$ ؛ وهما يشيران إلى جهتين متعاكستين.

« $(AB) = (BA)$ »: صواب — فالاسمان يصفان المستقيم غير المحدود نفسه.

تمرين 40.3 ★

اُرسم مستقيمًا $d$ ونقطة $P$ لا تنتمي إلى $d$ . واِبنِ بالكوس: العمودي على $d$ المارّ بالنقطة $P$ ، ثم الموازي للمستقيم $d$ المارّ بالنقطة $P$ . وصِف خطواتك.

حل

حل التمرين 40.3.

الخطوات: أزلق الكوس على طول $d$ حتى يمرّ حرفه العمودي بالنقطة $P$ ؛ واُرسم ذلك العمودي وسمِّه $p$ . ثم اُرسم العمودي على $p$ المارّ بالنقطة $P$ بالطريقة نفسها: فحسب القضية 40.3 يكون موازيًا للمستقيم $d$ .

تمرين 40.4 ★

المستقيمان $a$ و $b$ عموديان كلاهما على مستقيم $c$ ، ومستقيم رابع $e$ عمودي على $a$ . فماذا تقول عن $a$ و $b$ ؟ وعن $e$ و $c$ ؟ بَرِّر حسب القضية 40.3.

حل

حل التمرين 40.4.

المستقيمان $a$ و $b$ عموديان كلاهما على المستقيم $c$ نفسه، إذن $a \parallel b$ (الواقعة 1). وأما $e$ و $c$ : فكلاهما عمودي على المستقيم $a$ نفسه (فقد أُعطي أن $e \perp a$ ، و $a \perp c$ يعني $c \perp a$ أيضًا)، إذن تنطبق الواقعة 1 من جديد: $e \parallel c$ .

تمرين 40.5 ★

اُرسم دائرة مركزها $O$ ونصف قطرها $3$ سم. وضع نقطة $M$ على الدائرة، ونقطة $N$ داخلها، ونقطة $P$ خارجها. فماذا تقول عن المسافات $OM$ و $ON$ و $OP$ بالمقارنة مع $3$ سم؟

حل

حل التمرين 40.5.

$OM = 3$ سم بالضبط (فالنقطة $M$ على الدائرة)؛ و $ON < 3$ سم ( $N$ داخلها)؛ و $OP > 3$ سم ( $P$ خارجها).

تمرين 40.6 ★

قطر دائرة $9$ سم. فما نصف قطرها؟ ودائرة أخرى نصف قطرها $2.6$ سم: فما قطرها؟

حل

حل التمرين 40.6.

نصف القطر $= 9 \div 2 = 4.5$ سم. والقطر $= 2 \times 2.6 = 5.2$ سم.

تمرين 40.7 ★

سمِّ الزاوية المعلَّمة بثلاثة أحرف، ثم صنّفها (حادّة، قائمة، منفرجة، مستقيمة): زاوية قياسها $72^\circ$ رأسها $R$ بين نصفَي مستقيمين نحو $S$ و $T$ ؛ وزاوية قياسها $148^\circ$ رأسها $B$ بين نصفَي مستقيمين نحو $A$ و $C$ ؛ وزاوية قياسها $90^\circ$ رأسها $O$ بين نصفَي مستقيمين نحو $M$ و $N$ .

حل

حل التمرين 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : حادّة. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : منفرجة. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : قائمة. (والرأس دائمًا هو الحرف الأوسط.)

تمرين 40.8 ★

قدِّر، ثم قِس بالمنقلة، زوايا مثلث ترسمه بنفسك الثلاث. واجمع القياسات الثلاثة: فماذا تجد؟ (اِحتفظ بجوابك من أجل الفصل 51.)

حل

حل التمرين 40.8.

تتوقّف القياسات على المثلث المرسوم، لكن مجموع الزوايا الثلاث دائمًا $180^\circ$ (أو قريب جدًّا منه) — والفروق الصغيرة سببها عدم دقّة القياس. ويبرهن الفصل 51 على أن المجموع $180^\circ$ بالضبط.

تمرين 40.9 ★

اُرسم بالمنقلة زاوية $\widehat{xOy}$ قياسها $65^\circ$ ، ثم زاوية قياسها $130^\circ$ . فكيف تحصل على الثانية من الأولى دون منقلة؟

حل

حل التمرين 40.9.

بناء حرّ. وللحصول على $130^\circ$ من $65^\circ$ دون منقلة: اِنسخ الزاوية $65^\circ$ مرتين متجاورتين ( $65 + 65 = 130$ )، مثلًا بورق الشفّ أو بنسخ الزاوية بالفرجار والمسطرة.

تمرين 40.10 ★★

قريتان $A$ و $B$ مرسومتان على خريطة. فأين تقع النقط التي تبعد $3$ سم عن $A$ و $2$ سم عن $B$ ؟ اُرسم صورة تبيّن كم نقطة كهذه يمكن أن توجد ( $0$ أو $1$ أو $2$ بحسب المسافة $AB$ ).

حل

حل التمرين 40.10.

النقط التي تبعد $3$ سم عن $A$ تكوّن الدائرة التي مركزها $A$ ونصف قطرها $3$ سم؛ والتي تبعد $2$ سم عن $B$ تكوّن الدائرة التي مركزها $B$ ونصف قطرها $2$ سم. والنقط المطلوبة هي تقاطع الدائرتين: نقطتان إذا تقاطعت الدائرتان ( $AB$ محصور تمامًا بين $1$ و $5$ سم)، ونقطة واحدة إذا تماستا ( $AB = 5$ سم أو $AB = 1$ سم)، ولا نقطة إذا كانتا متباعدتين جدًّا أو إحداهما داخل الأخرى.

تمرين 40.11 ★★

تشير ساعة إلى 3 تمامًا: فما الزاوية بين العقربين؟ والسؤال نفسه عند 5 تمامًا، وعند 6 تمامًا. (الدورة الكاملة $360^\circ$ في $12$ ساعة.)

حل

حل التمرين 40.11.

تقسم علامات الساعات $12$ الدورة الكاملة إلى $12$ زاوية قياس كل منها $360 \div 12 = 30^\circ$ . وعند الساعة 3 يمتدّ العقربان على $3$ علامات: $90^\circ$ (زاوية قائمة). وعند الساعة 5: $5 \times 30 = 150^\circ$ . وعند الساعة 6: $180^\circ$ (زاوية مستقيمة).

تمرين 40.12 ★★★

اُرسم قطعة $[AB]$ طولها $6$ سم. واِبنِ النقطة $C$ التي تحقّق $AC = BC = 6$ سم، بالفرجار وحده، وقِس الزاوية $\widehat{CAB}$ . فأيّ مثلث بنيت، وماذا تخمّن عن زواياه؟

حل

حل التمرين 40.12.

اُرسم قوسين نصف قطرهما $6$ سم مركزهما $A$ و $B$ ؛ ونقطة تقاطعهما هي $C$ . وأضلاعه الثلاثة كلها $6$ سم: فالمثلث متساوي الأضلاع، وكل زاوية فيه $60^\circ$ (والقياس يؤكد ذلك). والتخمين: المثلث المتساوي الأضلاع له ثلاث زوايا متساوية قياسها $60^\circ$ .

40.6 مسألة: هندسة وجه الساعة

مسألة 40.1

مسألة نهاية الأسبوع — الزوايا كسورًا من الدورة: قراءتها على ساعة، وتصيّد اللحظات التي يلتقي فيها العقربان، وتقسيم يوم كامل إلى قطاعات

الساعة منقلة تخبرك بالوقت: فوجهها دورة كاملة قياسها $360^\circ$ ، تقسمها علامات الساعات الاثنتا عشرة إلى اثنتي عشرة زاوية متساوية. وقد قاس التمرين 40.11 العقربين عند 3 وعند 6؛ وتبني هذه المسألة النظرية الكاملة — بما في ذلك الأوقات التي لا يشير فيها أيّ عقرب إلى علامة — وتجيب عن سؤال قلّ من الكبار من يصيبه («كم مرة يجلس العقربان أحدهما فوق الآخر تمامًا؟»)، وتنتهي بتقسيم يوم كامل إلى مخطط قطاعات.

الجزء الأول — الكسور من الدورة.

الدورة الكاملة قياسها $360^\circ$ . فكم درجة في نصف دورة، وفي ربع دورة، وفي جزء من اثني عشر من الدورة؟
تقسم علامات الساعات الاثنتا عشرة وجه الساعة إلى اثنتي عشرة زاوية متساوية عند المركز. فكم درجة بين علامتين متجاورتين؟ اِستعد جواب التمرين 40.11 عند الساعة 3 بعدّ العلامات.
أعطِ الزاوية بين العقربين عند الساعة 1، وعند الساعة 4، وعند الساعة 7. (عند الساعة 7 يفصل العقربان الوجه إلى زاويتين؛ و«الزاوية بين العقربين» تعني دائمًا الصغرى.)
يتمّ عقرب الدقائق دورة كاملة في $60$ دقيقة. فكم درجة يمسح في الدقيقة؟
ينتقل عقرب الساعات من علامة إلى التي تليها — $30^\circ$ — في $60$ دقيقة. فكم درجة يمسح هو في الدقيقة؟ (عدد عشري، الفصل 38.)

الجزء الثاني — أوقات لا يشير فيها شيء إلى علامة.

عند 3:30 يشير عقرب الدقائق إلى العلامة $6$ . فأين عقرب الساعات بالضبط؟ اِحسب زاوية كل عقرب انطلاقًا من العلامة $12$ (بالقياس في اتجاه عقارب الساعة)، واستنتج الزاوية بين العقربين.
عند 6:30 يظنّ كثيرون أن العقربين أحدهما فوق الآخر. خمّن أولًا، ثم اِحسب الزاوية كما في السؤال 6. فمن كان على صواب؟
اِحسب الزاوية بين العقربين عند 9:15.
اِشرح لماذا يجب، في مكان ما بين 1:00 و1:10، أن يكون العقربان أحدهما فوق الآخر تمامًا: أين عقرب الدقائق بالنسبة إلى عقرب الساعات عند 1:00، وأين هو عند 1:10؟ وأيّ عقرب يجري أسرع، ولماذا يحسم ذلك الأمر؟
في اثنتي عشرة ساعة، كم مرة يجلس العقربان أحدهما فوق الآخر تمامًا؟ (يقع لقاء واحد في كل امتداد بين ساعتين متعاقبتين — مع استثناء واحد: ماذا يحدث بين 11 و12؟ اُذكر أوقات اللقاء التقريبية وعُدَّها.) وكم مرة في يوم كامل؟

الجزء الثالث — الزوايا حول نقطة: مخططات القطاعات.

تملأ قطاعات وجه الساعة الاثنا عشر الوجه كله: فمجموع زواياها $360^\circ$ . اِشرح لماذا يصحّ هذا في أيّ مجموعة زوايا تشترك في رأس وتملأ دورة كاملة حوله، دون تراكب ودون فراغ.
تسجّل زينة يومها ذا $24$ ساعة: نوم $9$ ساعات، ومدرسة $6$ ساعات، ولعب $3$ ساعات، ووجبات $2$ ساعة، وكل ما تبقّى $4$ ساعات. وهي تريد مخطط قطاعات: قرصًا يأخذ فيه كل نشاط قطاعًا، بزوايا متناسبة مع الأزمنة. فأيّ كسر من اليوم هو كل نشاط، وكم درجة يأخذ قطاعه؟ وتحقّق من أن مجموع الزوايا الخمس $360^\circ$ .
صِف، خطوة خطوة، كيف يُرسم مخطط قطاعات زينة بالفرجار والمنقلة (الطريقة 40.8): أين يقع نصف القطر الأول، وكيف يبدأ كل قطاع جديد حيث ينتهي السابق.
في مخطط قطاعات آخر ليوم، قطاع قياسه $90^\circ$ بالضبط. فأيّ كسر من القرص هو ذلك، وكم ساعة يمثّل؟
الخاتمة، عودًا إلى الساعة: في $24$ ساعة، كم دورة كاملة يتمّ عقرب الساعات؟ وعقرب الدقائق؟ وعقرب الثواني؟ (أحد هذه الأجوبة يتجاوز الألف.)

حل

حل المسألة 40.1.

1. نصف دورة: $360 \div 2 = 180^\circ$ . والربع: $360 \div 4 = 90^\circ$ . والجزء من اثني عشر: $360 \div 12 = 30^\circ$ .

2. اثنتا عشرة زاوية متساوية تملأ $360^\circ$ : إذن $30^\circ$ بين علامتين متجاورتين. وعند الساعة 3 يمتدّ العقربان على $3$ علامات: $3 \times 30 = 90^\circ$ — زاوية قائمة، كما وُجد في التمرين 40.11.

3. عند الساعة 1: $1 \times 30 = 30^\circ$ . وعند الساعة 4: $4 \times 30 = 120^\circ$ . وعند الساعة 7 يمتدّ العقربان على $7$ علامات في جهة، أي $7 \times 30 = 210^\circ$ ، فتكون الزاوية بين العقربين هي الجهة الأخرى: $360 - 210 = 150^\circ$ .

4. $360^\circ$ في $60$ دقيقة: $360 \div 60 = 6^\circ$ في الدقيقة.

5. $30^\circ$ في $60$ دقيقة: $30 \div 60 = 0.5^\circ$ في الدقيقة — أي نصف درجة. فعقرب الساعات يدبّ، وعقرب الدقائق يخطو.

6. في $30$ دقيقة منذ الساعة 3:00، تحرّك عقرب الساعات $30 \times 0.5 = 15^\circ$ متجاوزًا العلامة $3$ : فهو يجلس بالضبط في منتصف ما بين العلامة $3$ والعلامة $4$ ، عند $90 + 15 = 105^\circ$ من العلامة $12$ . ويشير عقرب الدقائق إلى العلامة $6$ : أي $180^\circ$ . والزاوية بين العقربين: $180 - 105 = 75^\circ$ .

7. الحساب يغلب التخمين: فعقرب الدقائق عند $180^\circ$ ، لكن عقرب الساعات غادر العلامة $6$ — فهو عند $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$ . والزاوية بين العقربين $195 - 180 = 15^\circ$ : قريبان، لكن ليس أحدهما فوق الآخر.

8. عقرب الدقائق عند العلامة $3$ : أي $90^\circ$ . وعقرب الساعات: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$ . والفرق: $277.5 - 90 = 187.5^\circ$ ، فتكون الزاوية بين العقربين $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — أي زاوية مستقيمة تقريبًا.

9. عند الساعة 1:00 يكون عقرب الدقائق ( $0^\circ$ ) خلف عقرب الساعات ( $30^\circ$ ). وعند 1:10 يكون عقرب الدقائق ( $60^\circ$ ) أمامه ( $30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$ ). وعقرب الدقائق يجري أسرع ( $6^\circ$ في الدقيقة مقابل $0.5^\circ$ )، إذن بين 1:00 و 1:10 يلحق به ويتجاوزه — وعند لحظة التجاوز يكون العقربان أحدهما فوق الآخر تمامًا.

10. يتكرّر اللحاق نفسه مرة بعد مرة: فيلتقي العقربان عند 12:00 بالضبط، ثم عند 1:05 و2:11 و3:16 و4:22 و5:27؛ ثم عند 6:33 و7:38؛ ثم عند 8:44 و9:49 و10:55 تقريبًا. واللقاء الذي قد يُتوقَّع بين 11 و12 يقع عند 12:00 بالضبط، وهي التي تبدأ بها الجولة التالية — إذن في اثنتي عشرة ساعة ينطبق العقربان $11$ مرة، لا $12$ . وفي يوم كامل: $22$ مرة.

11. الزوايا التي تشترك في رأس، دون تراكب ودون فراغ، تبلّط الدورة الكاملة حول ذلك الرأس: فالمسح مرة واحدة حول النقطة يمرّ بكل زاوية مرة واحدة بالضبط، والمسح الكامل $360^\circ$ . إذن مجموع القياسات $360^\circ$ — مهما كان عدد الزوايا وأحجامها.

12. كل ساعة من اليوم تساوي $360 \div 24 = 15^\circ$ . ومنه:

\text{النوم } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad \text{المدرسة } 90^\circ, \quad \text{اللعب } 45^\circ, \quad \text{الوجبات } 30^\circ, \quad \text{غير ذلك } 60^\circ,

و $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : فالقرص ممتلئ، دون فراغ ودون تراكب (السؤال 11).

13. اُرسم دائرة بالفرجار ونصف قطر واحدًا (وهو خط البداية). وضع مركز المنقلة على مركز الدائرة، وخطّها $0^\circ$ على نصف القطر، وعلّم $135^\circ$ ؛ ثم اُرسم نصف القطر الجديد: وبذلك يتمّ قطاع النوم. ثم ضع الخطّ $0^\circ$ على ذلك نصف القطر وعلّم $90^\circ$ للمدرسة، وهكذا — فكل قطاع يبدأ حيث ينتهي السابق. وبعد القطاع الأخير ينغلق الرسم تمامًا على نصف القطر الأول.

14. القياس $90^\circ$ هو $\frac{90}{360} = \frac14$ من القرص (الطريقة 39.7)، فهو يمثّل رُبع اليوم: أي $24 \div 4 = 6$ ساعات.

15. يتمّ عقرب الساعات دورة في $12$ ساعة: أي $2$ دورتان في اليوم. وعقرب الدقائق دورة في الساعة: أي $24$ دورة. وعقرب الثواني دورة في الدقيقة: أي $24 \times 60 = 1\,440$ دورة في اليوم.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد