الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

34المحيط والمساحة

في السنة الماضية عددنا مربعات الشبكة (الفصل 28)؛ وهذا الفصل ينال أول صيغة للمساحة — الطول في العرض للمستطيل — ويتعلم الوحدتين سم $^2$ و م $^2$ . أما صيغ المثلثات وغيرها من الأشكال فتنضج في الفصل 43 و الفصل 53.

34.1 قياسان مختلفان

مثال 34.1 (الحدّ مقابل السطح)

يحتاج البستانيّ إلى المحيط ليشتري السياج، وإلى المساحة ليشتري بذور العشب. والقياسان لا يتبع أحدهما الآخر: فمدّ مستطيل ليصير أرفع وأطول قد يحفظ مساحته بينما ينمو محيطه — قارن مستطيل $6 \times 2$ ومستطيل $4 \times 3$ (المساحة نفسها $12$ ، والمحيطان $16$ و $14$ ).

34.2 صيغة المستطيل

قضية 34.2 (مساحة المستطيل)

مستطيل طوله $L$ وعرضه $w$ (بالوحدة نفسها) مساحته

A = L \times w ,

بوحدات مربعة: سم $^2$ (مربعات طول ضلعها $1$ سم)، و م $^2$ (مربعات طول ضلعها $1$ م)، …

بيان بالعدّ. غطِّ المستطيل بمربعات واحدية: $w$ صفًّا في كل منها $L$ مربعًا، أي $L \times w$ مربعًا في المجموع — وهو بالضبط مستطيل الضرب في الفصل 16. ∎

ثلاثة صفوف من ستة مربعات سنتيمترية: فالصيغة L × w هي العدّ نفسه، مكتوبًا مرة واحدة وإلى الأبد. — ثلاثة صفوف من ستة مربعات سنتيمترية: فالصيغة $L \times w$ هي العدّ نفسه، مكتوبًا مرة واحدة وإلى الأبد.

مثال 34.3

سجادة قياسها $2.5$ م في $2$ م: مساحتها $2.5 \times 2 = 5$ م $^2$ . وطابع بريد قياسه $3$ سم في $2.4$ سم: مساحته $3 \times 2.4 = 7.2$ سم $^2$ . الصيغة نفسها بأي وحدة — ما دام الضلعان يستعملان الوحدة نفسها.

مثال 34.4 (وحدات المساحة تتحول بالمئات)

$1$ م $= 100$ سم، لكن $1$ م $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ سم $^2$ : فالمتر المربع شبكة $100$ في $100$ من السنتيمترات المربعة. ووحدات المساحة تقفز بالمئات، لا بالعشرات.

34.3 الأشكال المركّبة

طريقة 34.5 (اقطع، واجمع، واطرح)

في الشكل المصنوع من مستطيلات (مثل L أو T أو إطار):

اقطعه إلى مستطيلات، أو أكمله إلى مستطيل كبير؛
واحسب مساحة كل مستطيل بالصيغة؛
ثم اجمع القطع — أو اطرح الفجوة من المستطيل الكبير؛
وتحقّق بعدّ تقريبي لمربعات الشبكة.

مثال 34.6

غرفة على هيئة L: مستطيل $6$ م $\times$ $4$ م ينقصه ركن $2$ م $\times$ $2$ م.

\text{المساحة} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ م}^2 .

أو اقطع الشكل L إلى شريط $6 \times 2$ وشريط $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ م $^2$ — طريقان وجواب واحد.

مثال 34.7 (نصف مستطيل)

قطع مستطيل على قطره يعطي مثلثين متساويي المساحة: كل منهما نصف المستطيل. فمثلث قائم ضلعا قائمته $6$ سم و $4$ سم مساحته إذن $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ سم $^2$ — وهي صورة جديرة بالحفظ من أجل الفصل 43، حيث تصير صيغة.

القطر يقطع المستطيل 6 × 4 إلى مثلثين متساويين مساحة كل منهما 12 مربعًا. — القطر يقطع المستطيل $6 \times 4$ إلى مثلثين متساويين مساحة كل منهما $12$ مربعًا.

34.4 تمارين

تمرين 34.1 ★

احسب مساحة ومحيط مستطيل $8$ سم $\times$ $5$ سم. فأي الجوابين بوحدة سم وأيّهما بوحدة سم $^2$ ؟

حل

حل التمرين 34.1.

المساحة: $8 \times 5 = 40$ سم $^2$ . والمحيط: $2 \times (8 + 5) = 26$ سم.

تمرين 34.2 ★

احسب المساحات: مربع طول ضلعه $9$ سم؛ ومستطيل $12$ م $\times$ $7$ م؛ ومستطيل $4.5$ سم $\times$ $6$ سم.

حل

حل التمرين 34.2.

$9 \times 9 = 81$ سم $^2$ ؛ $12 \times 7 = 84$ م $^2$ ؛ $4.5 \times 6 = 27$ سم $^2$ .

تمرين 34.3 ★

مستطيل مساحته $63$ سم $^2$ وطوله $9$ سم. جِد عرضه، ثم محيطه.

حل

حل التمرين 34.3.

العرض: $63 \div 9 = 7$ سم. والمحيط: $2 \times (9 + 7) = 32$ سم.

تمرين 34.4 ★

اُرسم مستطيلين مختلفين مساحة كل منهما $24$ مربعًا على الورق المربّعات، واحسب المحيطين. أفالمساحة نفسها تعني المحيط نفسه؟

حل

حل التمرين 34.4.

مثلًا $6 \times 4$ (المحيط $20$ ) و $8 \times 3$ (المحيط $22$ ): المساحة نفسها $24$ ، والمحيطان مختلفان.

تمرين 34.5 ★

حوِّل: $3$ م $^2$ إلى سم $^2$ ؛ $50\,000$ سم $^2$ إلى م $^2$ . (وتذكّر المثال 34.4: بالمئات!)

حل

حل التمرين 34.5.

$3$ م $^2 = 30\,000$ سم $^2$ ؛ $50\,000$ سم $^2 = 5$ م $^2$ .

تمرين 34.6 ★

شكل على هيئة T مصنوع من شريط أفقي $8 \times 2$ فوق شريط رأسي $2 \times 5$ (بالسنتيمتر). احسب مساحته بجمع مستطيلين.

حل

حل التمرين 34.6.

الشريط: $8 \times 2 = 16$ سم $^2$ ؛ والساق: $2 \times 5 = 10$ سم $^2$ ؛ والمجموع $26$ سم $^2$ .

تمرين 34.7 ★

إطار صورة: مستطيل $30$ سم $\times$ $20$ سم قُطعت منه نافذة مستطيلة $24$ سم $\times$ $14$ سم. فما مساحة الخشب الذي يستعمله الإطار؟

حل

حل التمرين 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ سم $^2$ من الخشب.

تمرين 34.8 ★

احسب مساحة مثلث قائم ضلعا قائمته $8$ سم و $6$ سم (نصف مستطيل، المثال 34.7).

حل

حل التمرين 34.8.

نصف المستطيل $8 \times 6$ : $48 \div 2 = 24$ سم $^2$ .

تمرين 34.9 ★

حوض خضار مستطيل قياسه $7$ م في $4$ م. وثمن البذور $2$ للمتر المربع، والسياج $3$ للمتر. احسب ثمن البذور، ثم ثمن السياج.

حل

حل التمرين 34.9.

البذور: المساحة $7 \times 4 = 28$ م $^2$ ، والثمن $28 \times 2 = 56$ . والسياج: المحيط $2 \times (7 + 4) = 22$ م، والثمن $22 \times 3 = 66$ .

تمرين 34.10 ★★

أرضية ممرّ طولها $12$ م وعرضها $2$ م، ويجب تغطيتها ببلاطات مربعة طول ضلعها $50$ سم. فكم بلاطة تلزم؟ (حوّل أولًا، أو عُدّ البلاطات في كل اتجاه.)

حل

حل التمرين 34.10.

بلاطتان من $50$ سم تصنعان مترًا: فعلى امتداد الطول $12$ م، $24$ بلاطة؛ وعلى امتداد العرض $2$ م، $4$ بلاطات. والمجموع: $24 \times 4 = 96$ بلاطة.

تمرين 34.11 ★★

ضاعِف ضلعَي مستطيل $4$ سم $\times$ $3$ سم. فماذا يحدث لمحيطه؟ ولمساحته؟ (احسبهما قبل وبعد — فالجوابان مختلفان!)

حل

حل التمرين 34.11.

قبل: المحيط $2 \times (4 + 3) = 14$ سم، والمساحة $12$ سم $^2$ . وبعد (والضلعان $8$ و $6$ ): المحيط $28$ سم، والمساحة $48$ سم $^2$ . فالمحيط تضاعف؛ أما المساحة فضُربت في أربعة ( $2 \times 2$ ): فالأطوال والمساحات لا تتغير بالمقياس نفسه.