47الكسور: المقارنة والجمع

مسألة 47.1

مسألة نهاية الأسبوع — قيم العلامات كسور يجب أن تتجمّع بالضبط، وعدّ الإيقاع يخفي متتالية مشهورة، والزوجية تحكم إيقاع البلقان

تُكتب الموسيقى بالكسور. فالعلامة الكاملة تدوم $1$ ميزانًا (في الميزان الشائع «أربعة أرباع»)؛ وعلامة النصف تدوم $\frac12$؛ ثم تأتي علامة الربع $\frac14$، وعلامة الثمن $\frac18$ وعلامة الجزء من ستة عشر $\frac{1}{16}$. وقانون واحد لا يُخرق: مجموع المدد داخل الميزان يجب أن يساوي بالضبط مجموع الميزان — أي $1$ في ميزان أربعة أرباع. وكل سؤال أدناه هو حساب هذا الفصل (المبرهنة 47.4، الطريقة 47.5) موضوعًا على الموسيقى؛ وستلتقي في الطريق متتالية عدّ اِكتشفها علماء الهند قبل ألف سنة.

الجزء الأول — علامات يجب أن تتجمّع.

1. تحقّق من أن كلًّا من هذه الموازين مشروع في ميزان أربعة أرباع: (أ) نصف $+$ ربع $+$ ربع؛ (ب) ربع $+$ ثمن $+$ ثمن $+$ نصف.
2. كتب ناسخ: نصف $+$ ربع $+$ ثمن. فأيّ كسر من الميزان كُتب، وأيّ علامة واحدة تكمله؟
3. كم علامة جزء من ستة عشر تملأ ميزانًا كاملًا؟ وكم جزءًا من ستة عشر يصنع علامة ثمن واحدة؟
4. النقطة بعد العلامة تضيف نصف قيمتها: فالنصف المنقوط هو $\frac12 + \frac14$، والربع المنقوط هو $\frac14 + \frac18$. اِحسب القيمتين.
5. تُكتب الفالس في ميزان ثلاثة أرباع: فيجب أن يبلغ كل ميزان $\frac34$. تحقّق من أن نصفًا منقوطًا واحدًا يملأ ميزان فالس، واُكتب ميزانَي فالس مشروعين آخرين لا تستعمل فيهما إلا الأرباع والأثمان.

الجزء الثاني — ورشة الناسخ.

6. ميزان أربعة أرباع يحوي: ربعًا منقوطًا $+$ ثمنًا $+$ ربعًا. فما الناقص؟
7. أيّهما أطول، الثمن المنقوط أم علامة الربع؟ قارن بالأجزاء من ستة عشر.
8. الرباط يلصق المدد معًا في صوت واحد طويل: فكم تدوم علامة نصف مربوطة بثمن؟ وكم جزءًا من ستة عشر يساوي ذلك؟
9. مجموع علامات ميزان هو $\frac{11}{16}$؛ والباقي صمت (أي سكتة). فكم تدوم السكتة؟
10. يملأ قارع الطبل علامة ربع واحدة ($\frac{4}{16}$ من الميزان) مستعملًا الأثمان ($\frac{2}{16}$) والأجزاء من ستة عشر ($\frac{1}{16}$) فقط، مع أهمية الترتيب: فمثلًا ثمن–جزء–جزء، أو جزء–ثمن–جزء. تحقّق من أن المثالين مشروعان، ثم اُذكر كل الإيقاعات الممكنة. فكم عددها؟

الجزء الثالث — متتالية عمرها ألف سنة، وميزان فردي.

11. لنعُدّ إيقاعات قارع الطبل من أجل علامات أطول. فكل إيقاع ينتهي إما بجزء من ستة عشر وإما بثمن؛ اِشرح لماذا يعطي هذا القاعدة: (الإيقاعات التي تملأ $n$ جزءًا) $=$ (الإيقاعات التي تملأ $n - 1$) $+$ (الإيقاعات التي تملأ $n - 2$). واِنطلاقًا من إيقاع $1$ لجزء واحد و $2$ لجزأين، اِبنِ الجدول إلى $n = 8$: فكم إيقاعًا يملأ علامة نصف؟
12. والأعداد التي وجدتها — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — نشرها العالِم الهندي هيماشندرا نحو سنة 1150، عادًّا هذه الإيقاعات بالضبط، قبل جيلين من تدوين فيبوناتشي لها في إيطاليا. اُذكر نمطها المميِّز في جملة واحدة، وتحقّق منه على المداخل الثلاثة الأخيرة من جدولك.
13. يستبدل أسلوب التأرجح بثمنين متساويين زوجًا طويلًا–قصيرًا: $\frac16$ ثم $\frac{1}{12}$. تحقّق من أن التبديل مشروع (المدّة الكلية نفسها)، مستعملًا المقام المشترك $12$.
14. الثلاثية تحشر ثلاث علامات متساوية في علامة ربع واحدة. فكم تدوم كل علامة (تحقّق من جوابك بضربه في $3$، القضية 47.8)؟ والسؤال نفسه من أجل ثلاث علامات متساوية تملأ علامة نصف.
15. تستعمل موسيقى رقص البلقان ميزان سبعة أثمان: فيبلغ كل ميزان $\frac78$. تحقّق من أن ربعًا منقوطًا $+$ ربعًا $+$ ربعًا يملؤه. ثم اِشرح لماذا لا يمكن لأيّ تركيب من علامات النصف وعلامات الربع وحدها، مهما كثُر، أن يملأ ميزان سبعة أثمان. (عُدّ بالأثمان وفكّر في الزوجي والفردي.)