45أولويات العمليات

مسألة 45.1

مسألة نهاية الأسبوع — حيل الحساب الذهني من التوزيعية، وضرب المضاعفة والتنصيف المستعمل منذ أربعة آلاف سنة

قبل الحاسبات بزمن طويل — وقبل أن تُحفَّظ جداول الضرب في المدرسة — كان كتبة مصر وفلاحو روسيا يضربون أيّ عددين مستعملين المضاعفة والتنصيف والجمع وحدها. وتبدو طريقتهم سحرًا؛ وهي في الحقيقة التوزيعية (المبرهنة 45.6) تعمل بكل طاقتها. وتشحذ هذه المسألة حسابك الذهني، ثم تعلّمك الطريقة القديمة، ثم ترفع الغطاء لترى بالضبط لماذا تعمل.

الجزء الأول — فنّ عدم الحساب.

1. اِحسب ذهنيًّا، بالنشر كما في المثال 45.7: $7 \times 102$ و $9 \times 98$.
2. اِحسب ذهنيًّا، بالتعميل: $17 \times 13 + 17 \times 7$ و $45 \times 101 - 45$.
3. حيلة «الضرب في $5$»: للضرب في $5$، اِضرب في $10$ ثم نصّف. اِحسب $5 \times 87$ بهذه الطريقة، واِشرح لماذا تكون الحيلة مشروعة.
4. وحيلتان أخريان للتبرير والاستعمال: اِضرب في $25$ بالضرب في $100$ والقسمة على $4$ (اِحسب $25 \times 32$)؛ واِضرب في $99$ بالضرب في $100$ والطرح مرة واحدة (اِحسب $99 \times 47$).
5. وطلقة تحذير: التوزيعية تنشر عاملًا على مجموع، لا على جداء. قارن $8 \times (5 + 3)$ بالمقدار $8 \times 5 + 8 \times 3$، ثم $8 \times (5 \times 3)$ بالمقدار $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$: فأيّ زوج يتطابق، وأيّهما لا؟

الجزء الثاني — طريقة المضاعفة والتنصيف. وإليك وصفة $13 \times 24$. اُكتب عمودين. العمود الأيسر: اِبدأ من $13$ ونصّف، مهملًا أيّ باقٍ، نزولًا إلى $1$: $13,\ 6,\ 3,\ 1$. والعمود الأيمن: اِبدأ من $24$ وضاعِف العدد نفسه من المرات: $24,\ 48,\ 96,\ 192$. ثم اِشطب كل سطر عدده الأيسر زوجي، واجمع الأعداد اليمنى الباقية.

6. نفّذ الوصفة من أجل $13 \times 24$: فأيّ سطر يُشطب، وأيّ مجموع يبقى، وهل يساوي $13 \times 24$؟
7. اِضرب $21 \times 17$ بالطريقة (نصّف $21$، وضاعِف $17$)، وتحقّق من الجواب بالضرب العادي.
8. اِضرب $16 \times 25$ بالطريقة. فكم سطرًا ينجو، وما الخاصّ في عمود أيسر يبدأ من $1$ و $2$ و $4$ و $8$ و $16, \dots$؟

9. والآن لماذا تعمل، خطوة خطوة. بَرِّر كل تساوٍ بالتوزيعية:

   $$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$$

   والدرس: التنصيف على اليسار والمضاعفة على اليمين يحفظان الجداء — لكن حين يكون العدد الأيسر فرديًّا، تنفصل نسخة واحدة من العدد الأيمن ويجب إيداعها. فأيّ عدد يودعه السطر الأول من الجدول؟

10. تابع المحاسبة نزولًا في الجدول: $6 \times 48 = 3 \times 96$، ثم $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$، ثم $1 \times 192 = 192$. واجمع كل ما أُودع في الطريق، واِشرح لماذا تكون الأعداد المودَعة بالضبط أعداد العمود الأيمن للسطور ذات اليسار الفردي — وهي السطور التي تحتفظ بها الوصفة.

الجزء الثالث — تحت الغطاء: مجاميع المضاعفات.

11. في السؤال 6، كانت السطور الناجية تساوي $1$ و $4$ و $8$ مضاعفات للعدد $24$: فقد كتبت الطريقة ضمنًا $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$. تحقّق من أن $1 + 4 + 8 = 13$، وجِد أيّ المضاعفات ($1$ و $2$ و $4$ و $8$ و $16$) اِحتفظت بها الطريقة من أجل $21$ في السؤال 7.
12. اُكتب $25$ و $42$ مجموعَي أعداد من قائمة المضاعفة $1, 2, 4, 8, 16, 32$، مستعملًا كل واحد مرة واحدة على الأكثر.
13. اِشرح لماذا يمكن كتابة كل عدد صحيح بهذه الطريقة: خذ أكبر عدد مضاعفة يدخل فيه، واطرح، وكرّر — ولماذا يجب أن يتوقف هذا؟ واُكتب $100$ مجموعًا كهذا.
14. فعل كتبة مصر هذا بالضبط، قبل أربعة آلاف سنة: فلضرب $19 \times 35$، صنعوا جدول مضاعفة للعدد $35$ ($1 \to 35$، و $2 \to 70$، و $4 \to 140$، و $8 \to 280$، و $16 \to 560$)، واِختاروا السطور التي مجموعها $19$، وجمعوها. أنجز الحساب على طريقتهم.
15. الخاتمة: الحاسوب الحديث، الذي يعدّ بالرمزين $0$ و $1$، يضرب أساسًا كما يضرب الكتبة — بالمضاعفات والجمع. فأيّ ثلاث عمليات جمع يجريها الحاسوب من أجل $13 \times 24$؟ (وأما لماذا ينقسم كل عدد إلى مضاعفات، وما علاقة الرمزين $0$ و $1$ بذلك، فمسألة نهاية الأسبوع في فصل القوى: المسألة 56.1.)