48العبارات الحرفية

حل المسألة 48.1.

1. الأشكال من $1$ إلى $4$ تحتاج $4$ و $7$ و $10$ و $13$ عودًا.

2. المربع الجديد يشترك في ضلع واحد مع الشكل السابق، فلا يكون جديدًا إلا $3$ من أضلاعه $4$. واِنطلاقًا من الشكل $4$ ($13$ عودًا)، تكلّف ستة مربعات أخرى $6 \times 3 = 18$: فالشكل $10$ يحتاج $13 + 18 = 31$ عودًا.

3. بقراءة الصفّ من اليسار: يبدأ بعود عمودي واحد، ثم يسهم كل واحد من المربعات $n$ بضلع أعلى وضلع أسفل وضلع أيمن — أي $3$ أعواد لكل مربع. والمجموع: $3n + 1$؛ و«$+1$» هي أول عود عمودي. والتحقّق: $n = 1, 2, 3, 4$ تعطي $4, 7, 10, 13$.

4. $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$: فصيغة أمير تنتشر إلى العبارة المختزلة نفسها بالضبط. فالتوافق تامّ.

5. لينا: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — وهي نفسها من جديد. ثلاث طرق للرؤية، وصورة مختزلة واحدة. والشكل $100$: $3 \times 100 + 1 = 301$ عودًا.

6. الأعداد: $3$ و $5$ و $7$ أعواد. وكل مثلث جديد يتّكئ على ضلع موجود ولا يضيف إلا $2$ عودين، اِنطلاقًا من $3$: فالشكل $n$ يحتاج $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ عودًا.

7. اِعكس $2n + 1 = 49$: فنزع العود الأول يترك $48$، ثم يقابل كل مثلث $2$: $48 \div 2 = 24$ مثلثًا.

8. في صفّ من $n$ طاولة، تقدّم كل طاولة ضلعها الأعلى والأسفل ($2n$ مقعدًا)، وتقدّم الطاولتان الطرفيتان ضلعًا إضافيًّا لكل منهما ($+2$): أي $2n + 2$ مقعدًا. والتحقّق: $4$ و $6$ و $8$ من أجل $n = 1, 2, 3$.

9. صفّ واحد: $2n + 2 \geq 30$ يحتاج $2n \geq 28$، إذن $14$ طاولة. وبقسمة الطاولات $14$ نفسها إلى صفّين من $7$: يجلس في كل صفّ $2 \times 7 + 2 = 16$، ومعًا $32$ — أي اِثنان أكثر من الصفّ الواحد، لأن كل صفّ جديد يجلب طرفين جديدين. (وكل قسمة تكسب $2$ مقعدين؛ والمُطعِمون يعرفون ذلك.)

10. حرف L ذو الحجم $n$ فيه $n$ نقطة صاعدة و $n$ نقطة عرضية، مع اِشتراك نقطة الركن: أي $n + n - 1 = 2n - 1$ نقطة. والأشكال $1$ و $2$ و $3$: $1$ و $3$ و $5$ نقط — وهي الأعداد الفردية. وبتعشيش كل واحد حول الذي يليه، تملأ الحروف مربع نقط $n \times n$: وهي قصة المسألة 57.1.

11. $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$: فالادّعاء يُختزل إلى الصيغة المبرهن عليها، إذن هو صحيح من أجل كل $n$ — ثبت بالجبر، لا بالأمثلة.

12. الاختبارات: $4 \geq 2$ و $9 \geq 3$ و $100 \geq 10$: وكلها تنجح. لكن $n = 0.5$ تعطي $n^2 = 0.25 < 0.5$: فيفشل الادّعاء. ولم تبرهن الاختبارات الثلاثة على شيء بخصوص كل الأعداد (فهي لم تفشل إلا في إيجاد مشكلة)؛ أما المثال المضادّ الواحد فيبرهن على أن الادّعاء العامّ خطأ (الطريقة 48.8). فالحرف يمثّل كل عدد — والأعداد العشرية منها.

13. المناطق: $2$ نقطتان $\to 2$؛ و $3$ نقط $\to 4$؛ و $4$ نقط $\to 8$؛ و $5$ نقط $\to 16$. ويهمس النمط بأن «كل نقطة تضاعف العدد»: فتُتوقَّع $32$ منطقة من أجل $6$ نقط.

14. العدّ الدقيق يعطي $31$ منطقة — لا $32$. فتخمين المضاعفة ميّت: نجا من أربعة فحوص وفشل في الخامس. (وهذا المثال المضادّ مشهور بما يكفي ليكون له اِسم، «فخّ مناطق الدائرة»؛ ولا اِختصارات بتباعد منتظم — فتلاقي ثلاثة أوتار في نقطة واحدة يدمج المناطق ويفسد العدّ.)

15. كان البرهان يحتاج سببًا بنيويًّا لكون إضافة نقطة تضاعف المناطق — ولا سبب كهذا: فالمضاعفة كانت مصادفة في الحالات الصغيرة. وأما صيغ أعواد الثقاب فكانت آمنة لأن كل واحدة قُرئت من البناء نفسه (فكل مربع يكلّف ظاهرًا $3$ أعواد، وكل طاولة تقدّم ظاهرًا $2$ مقعدين): بنية لا اِختبارًا. والتوقّع المبرهن عليه: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ عودًا.