56القوى

حل المسألة 56.1.

1. تتضاعف الحبّات من مربع إلى مربع اِنطلاقًا من $1 = 2^0$: فالمربع $k$ يحمل $2^{k-1}$ حبة (التعريف 56.1). والمربع $64$ يحمل $2^{63}$.

2. $S_1 = 1$، و $S_2 = 1 + 2 = 3$، و $S_3 = 3 + 4 = 7$، و $S_4 = 7 + 8 = 15$، و $S_5 = 15 + 16 = 31$: أي دائمًا أقلّ بواحد من القوة التالية للعدد $2$ ($2$ و $4$ و $8$ و $16$ و $32$). والتخمين: $S_n = 2^n - 1$.

3. مضاعفة كل حدّ من $S_n$ ترفع كل قوة بواحد ($2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$):

وبطرح السطر الأول من الثاني، يظهر كل حدّ من $2$ إلى $2^{n-1}$ في الاثنين فيتلاشى:

4. المجموع هو $S_{64} = 2^{64} - 1$ حبة. والمربع الخامس والستون كان سيحمل $2^{64}$ حبة: فالرقعة كلها تحمل بالضبط حبة واحدة أقلّ مما كان يحمله ذلك المربع وحده.

5. النصف الأول يحمل $S_{32} = 2^{32} - 1$ حبة. والرقعة كلها تحمل $2^{64} - 1$، إذن يحمل النصف الثاني

(بتعميل $2^{32}$، مستعملين $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$، المبرهنة 56.3): أي بالضبط $2^{32}$ مثل النصف الأول.

6. بقواعد الأُسُس، $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$. وبما أن $2^{10} = 1024 > 10^3$،

7. أكثر من $1.6 \times 10^{19}$ حبة، وزن كل منها $5 \times 10^{-2}$ غ:

وبالقسمة على $10^6$ غ للطن: أكثر من $8 \times 10^{11}$ طن — أي ثمانمئة مليار طن.

8. $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$: فقد وعد الملك بما لا يقلّ عن ألف سنة من حصاد العالم كله اليوم. (وتقول الأسطورة إن مستشاريه أخبروه بذلك.)

9. $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$، بينما $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$. إذن أصغر أُسّ هو $n = 20$: أي عشرون مضاعفة تتجاوز المليون.

10. الأجر في اليوم $n$ هو $2^{n-1}$ سنتًا (فاليوم 1: $2^0 = 1$). والآن

إذن يتجاوز الأجر اليومي $10^8$ سنت أول مرة حين $n - 1 = 27$: أي في اليوم $28$.

11. $21 = 16 + 4 + 1$: أي الصنجات $16$ و $4$ و $1$ غ. و $27 = 16 + 8 + 2 + 1$: أي الصنجات $16$ و $8$ و $2$ و $1$ غ.

12. بالسؤال 3، تزن الصنجات $1, 2, 4, 8$ معًا $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ غ. إذن دون الصنجة $16$ غ لا تستطيع التاجرة تجاوز $15$ غ: فأيّ هدف من $16$ غ فأكثر يجب أن يستعملها. وأيّ هدف من $15$ غ فأقلّ يجب ألا يستعملها، لأن الصنجة $16$ غ وحدها تتجاوز الهدف أصلًا. ومنه يكون اِختيار الصنجة الأكبر مفروضًا. ويبقى هدف لا يتجاوز $15$ غ يُكوَّن من $1, 2, 4, 8$ — ويتكرّر الاستدلال نفسه: فالصنجة $8$ مفروضة (تُستعمل إذا كان الهدف الباقي $\geq 8$، وتُترك وإلا، لأن $1 + 2 + 4 = 7$)، ثم $4$ (لأن $1 + 2 = 3$)، ثم $2$، ثم $1$.

13. باتّباع الاختيارات المفروضة، يكون الهدف الباقي بعد كل مرحلة لا يتجاوز مجموع الصنجات الباقية، فتنتهي العملية بباقٍ $0$: أي إن كل هدف من $1$ إلى $31$ يُبلَغ. وبما أن كل اِختيار في الطريق كان مفروضًا، فلا يمكن لأيّ اِنتقاء آخر من الصنجات أن يبلغ الهدف نفسه: فكتابة كل عدد من $1$ إلى $31$ مجموعَ قوى متمايزة للعدد $2$ موجودة ووحيدة.

14. تزن الصنجات الست $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ غ، ويغطّي اِستدلال الاختيار المفروض نفسه كل هدف من $1$ إلى $63$ غ. ومن أجل $45$: الهدف $\geq 32$، إذن اِستعمل $32$؛ فيبقى $13 < 16$، إذن اُترك $16$؛ واِستعمل $8$ (فيبقى $5$)، واِستعمل $4$ (فيبقى $1$)، واُترك $2$، واِستعمل $1$:

15. اِختيار $0$ أو $1$ على كل مربع من المربعات $64$ يعادل اِختيار أيّ القوى $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ تُدرَج في مجموع — وهو بالضبط وزن التاجرة بالصنجات $64$. وأصغر عدد يمكن تخزينه هو $0$ (فكل المربعات على $0$)؛ وأكبره مجموع كل القوى، وهو مجموع الملك: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (الجزء الأول). وباستدلال الاختيار المفروض، يُبلَغ كل عدد صحيح بينهما مرة واحدة بالضبط: فالآلة ذات $64$ خانة تخزّن بالضبط الأعداد الصحيحة من $0$ إلى $2^{64} - 1$.