39الكسور: الخطوات الأولى

مسألة 39.1

مسألة نهاية الأسبوع — أنصاف الأنصاف: المجموع $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ يزحف نحو $1$ دون أن يبلغه أبدًا

خذ لوح شوكولاتة. كُلْ نصفه. ثم كُلْ نصف ما بقي. ثم نصف ما بقي مرة أخرى، وهكذا. ويبدو أمران صحيحين في آن واحد: أنك لا تنهي اللوح أبدًا (فشيء ما يبقى دائمًا)، ومع ذلك تأكل منه كل شيء تقريبًا. وتحوّل هذه المسألة الشعورين إلى عبارتين مضبوطتين عن الكسور — وتلتقي في الطريق عدّاءً من اليونان القديمة، ولغز تقاسم يُحلّ بسكين لا يقطع إلا أنصافًا.

الجزء الأول — أنصاف الأنصاف. اللوح مستطيل من $16$ مربعًا متساويًا.

1. القضمة الأولى: تأكل نصف اللوح. فكم مربعًا يساوي ذلك؟ اُكتب القضمة على صورة كسر من اللوح بطريقتين، بالمقام $2$ ثم بالمقام $16$ (القضية 39.6).
2. القضمة الثانية: نصف ما بقي. فكم مربعًا؟ بيّن، بالصورة أو بالكسور المتكافئة، أن هذه القضمة هي $\frac14$ من اللوح كله: فنصف النصف رُبع.
3. القضمتان الثالثة والرابعة، بالقاعدة نفسها: أعطِ كلًّا منهما بالمربعات وبكسر من اللوح. وماذا يحدث للمقام من قضمة إلى التي بعدها؟
4. بعد القضمات الأربع، كم مربعًا أُكل في المجموع؟ وأيّ كسر من اللوح هو ذلك، وأيّ كسر بقي؟

5. يقول السؤال 4، مكتوبًا بالأجزاء من ستة عشر:

   $$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}, \qquad\text{أي}\qquad \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} .$$

   تحقّق من كل واحدة من عمليات إعادة الكتابة الأربع ($\frac12 = \frac{8}{16}$، وهكذا).

الجزء الثاني — السُّلَّم نحو $1$. لمواصلة القضم، تخيّل لوحًا أدقّ من $64$ مربعًا.

6. اُذكر أحجام القضمات الست الأولى، بالمربعات ($32$، ثم …)، وتحقّق من أنه بعد القضمة السادسة يبقى مربع واحد بالضبط. وأيّ كسر من اللوح يبقى؟
7. بعد كل قضمة، أيّ كسر من اللوح يبقى؟ اُكتب القائمة ($\frac12$، $\frac14$، …) إلى القضمة السادسة، وصِف النمط. ولو كان سكين خيالي يستطيع أن يشطر حتى المربع الأخير، فماذا يبقى بعد قضمة سابعة؟
8. اِشرح لماذا لا يمكن للمجموع المأكول أن يبلغ $1$ أبدًا، مهما كثُر عدد القضمات. (قارن مع التسعات العشرين في المسألة 38.1: أهي القصة نفسها؟)
9. ومع ذلك يتجاوز المجموع أيّ هدف دون $1$. يتحدّاك صديق أن تأكل أكثر من $\frac{99}{100}$ من اللوح. فأيّهما أصغر، $\frac{1}{128}$ أم $\frac{1}{100}$ — وبعد أيّ قضمة يُربح التحدي؟
10. على مستقيم أعداد من $0$ إلى $1$ مدرّج بالأجزاء من ستة عشر، ضع المجاميع المأكولة بعد كل قضمة من القضمات الأربع الأولى: $\frac12$، $\frac34$، $\frac78$، $\frac{15}{16}$. وأين يقع كل مجموع جديد، بالمقارنة مع السابق ومع $1$؟

الجزء الثالث — عدّاء زينون، وسكين لا يشطر إلا إلى نصفين.

11. قبل أربعة وعشرين قرنًا، روى الفيلسوف اليوناني زينون هذه الحكاية: لكي يبلغ العدّاء جدارًا، عليه أولًا أن يقطع نصف المسافة، ثم نصف ما بقي، ثم نصف ما بقي مرة أخرى … «فالعدّاء لا يبلغ الجدار أبدًا!» باستعمال السؤالين 8 و9، قل ما هو الصحيح في حكاية زينون، وأين الفخّ. (أيحتاج العدّاء حقًّا إلى زمن لا ينتهي ليقطع كل تلك الخطوات؟)
12. لغز التقاسم: اِقسم $15$ لوح شوكولاتة متطابقًا بالعدل بين $16$ طفلًا، مستعملًا القطع إلى أنصاف فقط (لوحٍ، أو نصف لوح، أو ربع لوح …). صِف كيف تقطع: كم لوحًا يُقطع إلى أنصاف، وكم إلى أرباع، وإلى أثمان، وإلى أجزاء من ستة عشر، بحيث يأخذ كل طفل قطعة واحدة من كل حجم.
13. تحقّق من تقاسمك: اُكتب نصيب كل طفل على صورة مجموع كسور، واحسبه بالأجزاء من ستة عشر، وتأكّد من أن الأنصبة $16$ كلها تستهلك الألواح $15$ بالضبط.
14. في القسم المجاور، تُقسم $7$ ألواح بالعدل بين $8$ أطفال. فأيّ طفل يأخذ شوكولاتة أكثر — طفل من المجموعة ذات $16$ أم طفل من المجموعة ذات $8$؟ (اُكتب النصيبين بالمقام $16$، التمرين 39.8.)
15. الخاتمة: يزعم صديق أنه بعدد لا نهائي من القضمات يأكل المرء اللوح كله بالضبط. اُرسم مربعًا وظلّل القضمات داخله: نصف المربع، ثم رُبعًا، ثم ثُمنًا … فماذا تلاحظ على الركن غير المظلل؟ اُذكر بعناية الحقيقتين الصحيحتين في هذه المسألة كلها: ما الذي يبقى بعد كل عدد منته من القضمات، وكم يصغر ذلك الباقي. (وأما ما يعنيه «المجموع اللانهائي» بالضبط فقصة تُروى في مجلّد المرحلة الثانوية.)