الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

41المثلثات والرباعيات

المثلثات والرباعيات هي الأشكال الأساسية في الهندسة. وهدف هذا الفصل أن تعرف عائلاتها الخاصّة — متساوي الساقين، ومتساوي الأضلاع، والقائم الزاوية؛ والمستطيل والمعيّن والمربع — من خاصّياتها المميِّزة، وأن تبنيها بدقّة بالمسطرة والفرجار.

41.1 المثلثات

تعريف 41.1 (المثلثات الخاصّة)

للمثلث $ABC$ ثلاثة رؤوس وثلاثة أضلاع. وهو:

متساوي الساقين في $A$ حين $AB = AC$ (ضلعان متساويان)؛
ومتساوي الأضلاع حين $AB = BC = CA$ (ثلاثة أضلاع متساوية)؛
وقائم الزاوية في $A$ حين تكون الزاوية $\widehat{BAC}$ قائمة. والضلع $[BC]$ المقابل للزاوية القائمة يُسمّى الوتر.

المثلثات الخاصّة الثلاثة. والشُّرَط الصغيرة تدلّ على تساوي الأضلاع؛ والمربع يعلّم الزاوية القائمة.

طريقة 41.2 (إنشاء مثلث من أضلاعه الثلاثة)

لإنشاء المثلث $ABC$ حيث $AB = 5$ سم، و $AC = 4$ سم، و $BC = 3$ سم:

اُرسم القطعة $[AB]$ طولها $5$ سم بالمسطرة؛
اُرسم قوسًا من الدائرة التي مركزها $A$ ونصف قطرها $4$ سم (كل النقط التي تبعد $4$ سم عن $A$ )؛
اُرسم قوسًا من الدائرة التي مركزها $B$ ونصف قطرها $3$ سم؛
والنقطة $C$ هي تقاطع القوسين؛ صِلها بالنقطتين $A$ و $B$ .

إنشاء مثلث بالفرجار: فالرأس C هو نقطة تقاطع القوسين. (وفي سترى متى يكون هذا الإنشاء ممكنًا.) — إنشاء مثلث بالفرجار: فالرأس $C$ هو نقطة تقاطع القوسين. (وفي الفصل 51 سترى متى يكون هذا الإنشاء ممكنًا.)

41.2 الرباعيات

تعريف 41.3 (الرباعيات الخاصّة)

للرباعي أربعة رؤوس وأربعة أضلاع. وهو:

مستطيل حين تكون زواياه الأربع قائمة؛
ومعيّن حين تكون أضلاعه الأربعة متساوية الطول؛
ومربع حين يكون الأمرين معًا: أربع زوايا قائمة و أربعة أضلاع متساوية.

قضية 41.4 (خاصّيات القطرين)

في هذه الرباعيات، يتقاطع القطران في منتصفهما المشترك، وزيادة على ذلك:

في المستطيل، للقطرين الطول نفسه؛
وفي المعيّن، القطران متعامدان؛
وفي المربع، الأمران معًا.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

الرباعيات الخاصّة الثلاثة مع قطريها (بالأحمر). والمربع يرث خاصّيات المستطيل والمعيّن معًا.

ملاحظة 41.5

المربع مستطيل بالضرورة (فزواياه الأربع قائمة)، وهو معيّن بالضرورة (أضلاعه الأربعة متساوية). فكلمة «مستطيل» لا تعني «ليس مربعًا»! ففي الرياضيات، ينتمي الشكل الأخصّ إلى العائلة الأعمّ.

مثال 41.6 (التعرّف على شكل من خاصّياته)

رباعي أضلاعه الأربعة طولها $4$ سم وفيه زاوية قائمة. فما هو؟ تساوي الأضلاع الأربعة يجعله معيّنًا. وفي المعيّن، الزاويتان المتقابلتان متساويتان ومجموع الزوايا الأربع $360^\circ$ ؛ فزاوية قائمة واحدة تفرض إذن أن تكون الأربع قائمة (وسيُبرهن على ذلك مع متوازيات الأضلاع في الفصل 52). إذن الشكل مربع.

طريقة 41.7 (برامج الإنشاء)

برنامج الإنشاء قائمة تعليمات يستطيع أيّ أحد أن يتبعها ليعيد رسم شكل بالضبط. اُكتب تعليمة واحدة في كل سطر، وسمِّ كل نقطة حين تُنشأ، ولا تستعمل إلا: «اُرسم القطعة / المستقيم / الدائرة…»، و«ضع النقطة حيث يتقاطع …». واِختبر برنامجك باتّباعه حرفيًّا، كلمة كلمة.

مثال 41.8

برنامج لمربع $ABCD$ طول ضلعه $4$ سم:

اُرسم القطعة $[AB]$ حيث $AB = 4$ سم.
اُرسم العمودي على $(AB)$ في $A$ ؛ وضع عليه $D$ على بُعد $4$ سم من $A$ (اِختر جهة من المستقيم والزمها).
اُرسم العمودي على $(AB)$ في $B$ ؛ وضع عليه $C$ على بُعد $4$ سم من $B$ ، في الجهة نفسها التي فيها $D$ .
صِل $C$ و $D$ .

وتحقّق بالمسطرة: فالمسافة $DC$ يجب أن تساوي $4$ سم أيضًا.

41.3 تمارين

تمرين 41.1 ★

اِبنِ مثلثًا $ABC$ حيث $AB = 6$ سم، و $AC = 5$ سم، و $BC = 4$ سم، متّبعًا الطريقة 41.2.

حل

حل التمرين 41.1.

اِتّبع الطريقة: القطعة $[AB]$ طولها $6$ سم، وقوس نصف قطره $5$ سم مركزه $A$ ، وقوس نصف قطره $4$ سم مركزه $B$ ؛ ونقطة تقاطعهما هي $C$ .

تمرين 41.2 ★

اِبنِ مثلثًا متساوي الساقين $DEF$ حيث $DE = DF = 5$ سم و $EF = 3$ سم. فأيّ زاويتين من هذا المثلث تبدوان متساويتين؟ قِسهما للتحقّق.

حل

حل التمرين 41.2.

القاعدة $[EF]$ طولها $3$ سم، ثم قوسان نصف قطرهما $5$ سم مركزهما $E$ و $F$ ؛ وتقاطعهما هو $D$ . والزاويتان عند القاعدة $\widehat{DEF}$ و $\widehat{DFE}$ متساويتان (نحو $72.5^\circ$ لكل منهما) — بتماثل المثلث المتساوي الساقين (المثال 42.8).

تمرين 41.3 ★

اِبنِ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه $4$ سم بالمسطرة والفرجار وحدهما. وقِس إحدى زواياه.

حل

حل التمرين 41.3.

قطعة طولها $4$ سم، ثم قوسان نصف قطرهما $4$ سم مركزهما طرفاها. وكل زاوية قياسها $60^\circ$ .

تمرين 41.4 ★

صنّف كل مثلث انطلاقًا من معطياته (متساوي الساقين، متساوي الأضلاع، قائم الزاوية — وقد تصحّ أجوبة عدّة): (أ) أضلاعه $7$ و $7$ و $7$ ؛ (ب) أضلاعه $5$ و $5$ و $8$ ؛ (ج) زواياه $90^\circ$ و $45^\circ$ و $45^\circ$ ؛ (د) زواياه $60^\circ$ و $60^\circ$ و $60^\circ$ .

حل

حل التمرين 41.4.

(أ) متساوي الأضلاع (ومنه متساوي الساقين أيضًا). (ب) متساوي الساقين ( $5 = 5$ ). (ج) قائم الزاوية ومتساوي الساقين (زاويتان متساويتان قياسهما $45^\circ$ تقابلان ضلعين متساويين). (د) متساوي الأضلاع (ثلاث زوايا متساوية).

تمرين 41.5 ★

في المثلث القائم الزاوية، أيّ ضلع هو الوتر؟ اُرسم مثلثًا $MNP$ قائم الزاوية في $N$ ، وسمِّ وتره. وأيّ رأس لا يلمسه الوتر أبدًا؟

حل

حل التمرين 41.5.

الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائمًا أطول الأضلاع. وفي المثلث $MNP$ القائم الزاوية في $N$ ، الوتر هو $[MP]$ : فهو لا يلمس أبدًا رأس الزاوية القائمة $N$ .

تمرين 41.6 ★

صواب أم خطأ؟ بَرِّر كل جواب بجملة واحدة.

كل مربع مستطيل.
كل مستطيل مربع.
كل مربع معيّن.
كل معيّن فيه زاوية قائمة مربع.

حل

حل التمرين 41.6.

1. صواب: فللمربع أربع زوايا قائمة، وهو تعريف المستطيل.

2. خطأ: فالمستطيل $5 \times 3$ أضلاعه غير متساوية.

3. صواب: فللمربع أربعة أضلاع متساوية، وهو تعريف المعيّن.

4. صواب: اُنظر المثال 41.6.

تمرين 41.7 ★

اِبنِ مستطيلًا $ABCD$ حيث $AB = 5$ سم و $BC = 3$ سم. وقِس قطريه: فماذا تلاحظ؟

حل

حل التمرين 41.7.

إنشاء بالعموديات، كما في المثال 41.8. والقطران يقيسان نحو $5.8$ سم لكل منهما: فقطرا المستطيل لهما الطول نفسه (القضية 41.4).

تمرين 41.8 ★

اِبنِ معيّنًا قطراه $6$ سم و $4$ سم. (اِستعمل القضية 41.4: اُرسم القطرين أولًا — متعامدين، متقاطعين في منتصفيهما — ثم صِل الأطراف الأربعة.)

حل

حل التمرين 41.8.

اُرسم قطعة طولها $6$ سم؛ ومنتصفها $O$ ؛ والعمودي في $O$ ؛ وضع عليه نقطتين على بُعد $2$ سم من $O$ في كل جهة. ووصل الأطراف الأربعة يعطي المعيّن (فالرؤوس الأربعة على المسافتين $3$ سم و $2$ سم من $O$ على مستقيمين متعامدين، إذن الأضلاع الأربعة متساوية بالتماثل).

تمرين 41.9 ★★

اُكتب برنامج إنشاء لمثلث متساوي الساقين قاعدته $4$ سم وساقاه $6$ سم، على نمط المثال 41.8. وتبادله مع زميل: أيستطيع أن يتبعه دون أن يرى شكلك؟

حل

حل التمرين 41.9.

برنامج صحيح: 1. اُرسم القطعة $[BC]$ حيث $BC = 4$ سم؛ 2. اُرسم القوس الذي مركزه $B$ ونصف قطره $6$ سم فوق $[BC]$ ؛ 3. اُرسم القوس الذي مركزه $C$ ونصف قطره $6$ سم فوق $[BC]$ ؛ 4. سمِّ $A$ نقطة تقاطع القوسين؛ 5. اُرسم القطعتين $[AB]$ و $[AC]$ .

تمرين 41.10 ★★

اُرسم دائرة مركزها $O$ وأحد أقطارها $[AB]$ . وضع نقطة $M$ كيفما كانت على الدائرة واُرسم المثلث $AMB$ . وقِس الزاوية $\widehat{AMB}$ . ثم حرّك $M$ وقِس من جديد. فماذا تخمّن؟ (وهذه الواقعة المدهشة يُبرهن عليها في الفصل 60.)

حل

حل التمرين 41.10.

مهما كان موضع $M$ على الدائرة، تقيس الزاوية $\widehat{AMB}$ $90^\circ$ : فالمثلث $AMB$ قائم الزاوية في $M$ كلما كانت $[AB]$ قطرًا. والبرهان ينتظر الفصل 60.

تمرين 41.11 ★★

رباعي قطراه متساويا الطول ويتقاطعان في منتصفهما المشترك. فحدّد أيّ شكل يجب أن يكون، مستعملًا القضية 41.4: مستطيل أم معيّن أم مربع؟ (اِنتبه: خاصّية واحدة فقط أُعطيت.)

حل

حل التمرين 41.11.

قطران يتقاطعان في منتصفهما ولهما الطول نفسه: تلك هي قائمة خاصّيات المستطيل (القضية 41.4). ولا شيء يفرض أن يكون القطران متعامدين، فلا يلزم أن يكون معيّنًا ولا مربعًا — والمستطيل هو الجواب الصحيح (والمربع يحقّقها أيضًا، لكنه غير مفروض).

تمرين 41.12 ★★★

على شبكة منقّطة $4 \times 4$ ، كم مربعًا مختلفًا تستطيع أن ترسم رؤوسه من نقط الشبكة — بحساب المربعات «المائلة» أيضًا؟ اُرسم مربعًا مائلًا واحدًا على الأقل واِشرح لماذا تتساوى أضلاعه.

حل

حل التمرين 41.12.

مع $4 \times 4$ نقطًا توجد $3 \times 3$ خلايا في الشبكة. والمربعات الموازية للشبكة: أضلاعها $1$ أو $2$ أو $3$ تعطي $9 + 4 + 1 = 14$ مربعًا. والمربعات المائلة موجودة أيضًا: فالصغيرة منها أضلاعها أقطار خلايا $1 \times 1$ (مثل $(1,0)$ و $(2,1)$ و $(1,2)$ و $(0,1)$ ) — وعددها أربعة؛ والكبيرة أضلاعها أقطار مستطيلات $2 \times 1$ ، مثل $(1,0)$ و $(3,1)$ و $(2,3)$ و $(0,2)$ — وعددها اثنان. وأضلاع مربع كهذا الأربعة متساوية لأنها أقطار مستطيلات متطابقة. والمجموع: $14 + 4 + 2 = 20$ مربعًا. (وأيّ عدّ صحيح مع مثال مائل صحيح ومع المربعات الموازية $14$ نجاح في هذا المستوى.)

41.4 مسألة: ما يعرفه القطران

مسألة 41.1

مسألة نهاية الأسبوع — إعادة بناء كل رباعي خاصّ من قطريه وحدهما، وعدّ أقطار أيّ مضلع

يقرأ القضية 41.4 شكلًا ويخبرك عن قطريه. وتلعب هذه المسألة اللعبة بالمقلوب: إذا أُعطيت قطعتان متقاطعتان لا غير — وهما القطران المرتقبان — فأيّ شكل يظهر حين تصل أطرافهما الأربعة؟ ستبني «قاموس أقطار» كاملًا، وتفهم لماذا ينجح إنشاء المعيّن في التمرين 41.8، وتلتقي شكلًا ليس له اسم بعد، وتختم بعدّ أقطار المضلعات ذات أضلاع أكثر بكثير من أربعة.

الجزء الأول — قاموس الأقطار. في كل سؤال، اُرسم القطعتين كما هو موصوف، وصِل أطرافهما الأربعة بالترتيب، وعيّن الرباعي الذي تحصل عليه.

قطعتان طول كل منهما $6$ سم، متعامدتان، تتقاطعان في منتصفهما المشترك. قِس الأضلاع الأربعة والزوايا الأربع للشكل الناتج: فما هو؟
قطعتان طولهما $8$ سم و $5$ سم، متعامدتان، تتقاطعان في منتصفهما المشترك. فأيّ شكل يظهر (التمرين 41.8)؟
قطعتان طول كل منهما $7$ سم — متساويتان لكن غير متعامدتين — تتقاطعان في منتصفهما المشترك. قِس الأضلاع والزوايا: فماذا تخمّن أن يكون الشكل؟
قطعتان طولهما $8$ سم و $5$ سم، غير متعامدتين، تتقاطعان في منتصفهما المشترك. والشكل الذي تحصل عليه ليس أيًّا من الثلاثة في التعريف 41.3 — فصِف ما تراه (أيّ الأضلاع تبدو متساوية؟ ومتوازية؟). وهذا الرباعي يأخذ اسمه في الفصل 52.
لخّص الأسئلة 1–4 في قاموس ذي أربعة مداخل: القطران متساويان / متعامدان / الأمران معًا / لا هذا ولا ذاك (مع التقاطع دائمًا في المنتصفين) $\rightarrow$ اسم الشكل (أو وصفه).

الجزء الثاني — لماذا تنجح الإنشاءات.

في السؤال 2، يقسم القطران الشكل إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية حول نقطة التقاطع. فما طولا ضلعَي القائمة في كل من هذه المثلثات؟ اِشرح لماذا تكون المثلثات الأربعة نسخًا مطابقة بعضها لبعض، واستنتج لماذا تتساوى أضلاع الشكل الأربعة — وهو سرّ التمرين 41.8.
اِستنتج اِختبارًا بالفرجار وحده: بعد بناء أيّ شكل من قطريه، كيف تتحقّق بالفرجار وحده (دون قياس بالمسطرة) من أن الأضلاع الأربعة متساوية؟
اُكتب برنامج إنشاء (الطريقة 41.7) لمربع طول قطريه $6$ سم — لا طول أضلاعه.
في مربع السؤال 8، هل الضلع أطول أم أقصر من $3$ سم — أي نصف القطر؟ قِس لتعرف. ويمكن البرهنة على نصف الجواب من الآن: فالانتقال من ركن إلى الذي يليه عبر المركز التفاف طوله $3 + 3$ سم، والطريق المستقيم أقصر دائمًا من الالتفاف — إذن الضلع أقصر من $6$ سم. (وأما البرهنة على أنه يفوق $3$ سم أيضًا، وحسابه بالضبط، فشغل الفصل 58.)
مدخل جديد للقاموس: اُرسم قطعة $[AC]$ طولها $8$ سم؛ وعلّم عليها النقطة $H$ على بُعد $3$ سم من $A$ ؛ واُرسم مارًّا بالنقطة $H$ القطعة العمودية $[BD]$ طولها $5$ سم بحيث تكون $H$ منتصف هذه القطعة. وصِل $ABCD$ . وهذا الشكل طائرة ورقية (أحد القطرين ينصّف الآخر، في زاوية قائمة). وباستعمال مثلثات الأركان كما في السؤال 6، جِد أيّ أضلاع الطائرة الورقية تساوي أيًّا.

الجزء الثالث — عدّ الأقطار. قطر المضلع يصل بين رأسين غير متجاورين.

اُرسم رباعيًا، وخماسيًا (خمسة رؤوس)، وسداسيًا (ستة رؤوس)، واُرسم كل أقطارها. وعُدَّها: فكم في كل حالة؟
العدّ دون رسم، من أجل السداسي: من رأس واحد، كم قطرًا يخرج؟ (بكم رأس من الرؤوس الستة لا يمكن وصله بقطر؟) وضربُ ذلك في الرؤوس الستة يعدّ كل قطر مرتين بالضبط — لماذا؟ اِستعد عدّك في السؤال 11. (وقد ظهر هذا العدّ المزدوج نفسه في مصافحات المسألة 37.1.)
اِستعمل طريقة السؤال 12 لعدّ أقطار مضلع ذي $10$ رؤوس، ثم ذي $20$ رأسًا.
لمضلع $44$ قطرًا بالضبط. فكم رأسًا له؟ (جرّب طريقة السؤال 13 على بضعة مرشّحين.)
تحقّق من طريقتك على أصغر المضلعات جميعًا: كم قطرًا للمثلث، وماذا تجيب طريقة العدّ في السؤال 12؟ واختم بجملة واحدة عمّا تشترك فيه المصافحات والأقطار.

حل

حل المسألة 41.1.

1. الأضلاع الأربعة كلها بالطول نفسه (نحو $4.2$ سم) والزوايا الأربع قائمة: فالشكل مربع. (فتساوي القطرين يعطي الزوايا القائمة، كما في المستطيل؛ وتعامدهما يعطي تساوي الأضلاع، كما في المعيّن؛ والأمران معًا يعطيان المربع، وهو القضية 41.4 مقروءًا بالمقلوب.)

2. معيّن: أربعة أضلاع متساوية (نحو $4.7$ سم)، لكن لا زاوية قائمة — وهو بالضبط إنشاء التمرين 41.8.

3. تخرج الزوايا الأربع قائمة لكن الأضلاع تأتي بطولين مختلفين: مستطيل — وهي حالة التمرين 41.11.

4. لا يصمد أيّ ادّعاء بتساوي الأطوال أمام القياس ولا تظهر زاوية قائمة؛ لكن الأضلاع المتقابلة متساوية مثنى مثنى وتبدو متوازية. وهو «المستطيل المائل» العامّ الذي ينصّف قطراه كل منهما الآخر لا غير — أي متوازي الأضلاع، ويُسمّى ويُدرس في الفصل 52.

5. قطران يتقاطعان في منتصفهما المشترك:

القطران…	الشكل
متساويان ومتعامدان	مربع
متعامدان فقط	معيّن
متساويان فقط	مستطيل
لا هذا ولا ذاك	الشكل الذي بلا اسم (اُنظر الفصل 52)

6. لكل مثلث ركن ضلع قائمة على كل قطر: نصف $8$ سم ونصف $5$ سم، أي ضلعان قائمتان $4$ سم و $2.5$ سم، بينهما زاوية قائمة — والمعطيات نفسها للأربعة جميعًا. والمثلثات المبنية من الضلعين نفسيهما ومن الزاوية القائمة بينهما نسخ مطابقة بعضها لبعض (اِبنِها: فضبطات الفرجار متطابقة). ومنه تكون أوتارها الأربعة — وهي أضلاع الشكل — متساوية: فالشكل معيّن.

7. اِفتح الفرجار على طول ضلع واحد، ثم اِمشِ به حول الشكل: فإن وقعت سنّه وقلمه بالضبط على كل زوجين من الأركان المتجاورة، فالأضلاع الأربعة كلها تساوي تلك الفتحة. ولا حاجة إلى مسطرة.

8. البرنامج:

اُرسم القطعة $[AC]$ حيث $AC = 6$ سم وضع منتصفها $O$ (قِس $3$ سم من $A$ ).
اُرسم العمودي على $(AC)$ في $O$ .
وضع عليه $B$ و $D$ على بُعد $3$ سم من $O$ ، واحدة في كل جهة.
صِل $A$ و $B$ و $C$ و $D$ .

القطران متساويان ( $6$ سم)، ومتعامدان، وينصّف كل منهما الآخر: فحسب القاموس، $ABCD$ مربع.

9. يعطي القياس نحو $4.2$ سم: أي أطول من $3$ سم — فالتخمين الشائع «نصف القطر» خطأ. وأما النصف القابل للبرهنة: فللانتقال من الركن $A$ إلى الركن التالي $B$ ، يمكن المشي على الضلع $[AB]$ مستقيمًا، أو أخذ الالتفاف $A \to O \to B$ عبر المركز، وثمنه $3 + 3 = 6$ سم؛ والضلع المستقيم أقصر، إذن الضلع أقلّ من $6$ سم. وأما أنه أكثر من $3$ سم فهو ما تبيّنه المسطرة؛ وسيبرهن الفصل 58 عليه ويعطي القيمة المضبوطة ( $3$ سم مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد $2$ ، أي نحو $4.24$ سم).

10. مثلثات الأركان الأربعة عند $H$ تأتي الآن في زوجين متطابقين: اثنان ضلعا قائمتهما $3$ سم و $2.5$ سم (وتراهما $[AB]$ و $[AD]$ )، واثنان ضلعا قائمتهما $5$ سم و $2.5$ سم (وتراهما $[CB]$ و $[CD]$ ). إذن $AB = AD$ و $CB = CD$ : فللطائرة الورقية زوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية (والمعيّن هو الطائرة الورقية الخاصّة التي تتطابق فيها الأربعة كلها).

11. الرباعي: $2$ قطران. والخماسي: $5$ . والسداسي: $9$ .

12. من رأس واحد للسداسي، تذهب الأقطار إلى كل رأس عدا نفسه وجاريه: أي $6 - 3 = 3$ أقطار. والرؤوس الستة تطلق $6 \times 3 = 18$ طرف قطر — لكن كل قطر عُدّ عند طرفيه معًا، مرة من كل طرف، تمامًا كمصافحة يعدّها المتصافحان معًا (المسألة 37.1). والعدّ الصحيح: $18 \div 2 = 9$ . وهو يوافق الرسم.

13. عشرة رؤوس: $10 - 3 = 7$ من كل رأس، إذن $10 \times 7 \div 2 = 35$ قطرًا. وعشرون رأسًا: $20 \times 17 \div 2 = 170$ قطرًا.

14. جرّب المرشّحين: $10$ رؤوس تعطي $35$ (السؤال 13)؛ و $11$ رأسًا تعطي $11 \times 8 \div 2 = 44$ . وُجد: فللمضلع $11$ رأسًا.

15. ليس للمثلث أقطار البتة: فغير المجاورين لكل رأس هم … لا أحد، لأن الرأسين الآخرين جاراه كلاهما. والطريقة توافق ذلك: $3 - 3 = 0$ من كل رأس، والمجموع $0$ . فالمصافحات والأقطار هما العدّ نفسه في ثوب مختلف: أزواج تُختار من مجموعة، كل زوج يُعدّ مرة — والرياضيات تعيد استعمال أفكارها الجيدة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد