الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

42التماثل المحوري

اِطوِ ورقة على طول مستقيم: فكل نقطة تسقط على نقطة أخرى، هي صورتها في المرآة. وهذا الطيّ هو التماثل المحوري (أو الانعكاس)، وهو أول تحويل هندسي في الكتاب — أما الثاني، وهو التماثل المركزي، فيأتي في الفصل 52.

42.1 الانعكاسات

تعريف 42.1 (النقطة المماثلة)

ليكن $d$ مستقيمًا. مماثلة النقطة $M$ بالنسبة إلى $d$ هي النقطة $M'$ التي يكون معها $d$ الواسط العمودي للقطعة $[MM']$ : أي إن القطعة $[MM']$ عمودية على $d$ ، و $d$ يقطعها في منتصفها. والنقطة الواقعة على $d$ هي مماثلة نفسها.

الانعكاس بالنسبة إلى المستقيم d: فالمحور عمودي على [MM'] ويمرّ بمنتصفها (الشُّرَط المتساوية). والنقطة P الواقعة على المحور لا تتحرّك. — الانعكاس بالنسبة إلى المستقيم $d$ : فالمحور عمودي على $[MM']$ ويمرّ بمنتصفها (الشُّرَط المتساوية). والنقطة $P$ الواقعة على المحور لا تتحرّك.

طريقة 42.2 (إنشاء نقطة مماثلة)

لإنشاء مماثلة $M'$ للنقطة $M$ بالنسبة إلى المستقيم $d$ :

اُرسم العمودي على $d$ المارّ بالنقطة $M$ (بالكوس)؛ وسمِّ $H$ النقطة التي يقطع فيها $d$ ؛
قِس $MH$ بالفرجار أو بالمسطرة؛
وضع $M'$ على العمودي نفسه، في الجهة الأخرى من $d$ ، بحيث $HM' = MH$ .

وعلى الورق المربّعات يكون أسرع: عُدّ المربعات من $M$ إلى المحور، وعُدّ العدد نفسه في الجهة الأخرى.

مثال 42.3 (على الشبكة)

إذا كان المحور خطًّا عموديًّا من الشبكة وكانت $M$ على بُعد $3$ مربعات إلى يساره، فإن $M'$ على بُعد $3$ مربعات إلى يمينه، في السطر نفسه. وأما المحور المائل، فالعدّ فيه يسير على الأقطار — عموديًّا دائمًا على المحور.

شكل وانعكاسه بالنسبة إلى المحور العمودي: فكل رأس ينعكس مربعًا مربعًا، ويتبادل اليمين واليسار.

قضية 42.4 (ما يحفظه الانعكاس)

مماثلة شكل بالنسبة إلى مستقيم شكل بالشكل نفسه والحجم نفسه: فالأطوال والزوايا والمحيطات والمساحات كلها محفوظة. ومماثلة القطعة قطعة، ومماثلة الدائرة دائرة بنصف القطر نفسه، ومماثلة المستقيم مستقيم.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 42.5

وشيء واحد لا يُحفظ: هو الاتجاه. فحرف «b» المنعكس يصير «d» — أي الكتابة المرآتية. وإن كان نسخ شكلك على ورق الشفّ وقلبه يعيد الصورة، فالانعكاس صحيح.

42.2 محاور تماثل شكل

تعريف 42.6 (محور التماثل)

يكون المستقيم $d$ محور تماثل لشكل حين يرسل الانعكاس بالنسبة إلى $d$ الشكلَ على نفسه بالضبط — فالطيّ على طول $d$ يجعل النصفين ينطبقان.

محاور تماثل الأشكال المألوفة. واِنتبه إلى المستطيل: فقطراه ليسا محورَي تماثل (اِطوِ على طول قطر — فالنصفان لا ينطبقان إلا إذا كان مربعًا). — محاور تماثل الأشكال المألوفة. واِنتبه إلى المستطيل: فقطراه *ليسا* محورَي تماثل (اِطوِ على طول قطر — فالنصفان لا ينطبقان إلا إذا كان مربعًا).

مثال 42.7

عدّ محاور التماثل:

المثلث المتساوي الساقين: $1$ (يمرّ بالرأس الأعلى ووسط القاعدة)؛ والمثلث المتساوي الأضلاع: $3$ ؛
والمستطيل: $2$ («الخطان الوسطيان»، لا القطران)؛ والمعيّن: $2$ (قطراه!)؛ والمربع: $4$ ؛
والدائرة: كل مستقيم يمرّ بالمركز — وهي بلا نهاية.

مثال 42.8 (التماثل يبرهن على التساوي)

لماذا تتساوى زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين؟ اِطوِ المثلث على طول محور تماثله: فالنصف الأيسر يسقط بالضبط على النصف الأيمن، فتسقط زاوية القاعدة اليسرى على زاوية القاعدة اليمنى — فلا بدّ أن يكون لهما القياس نفسه (القضية 42.4: فالانعكاسات تحفظ الزوايا).

42.3 الواسط العمودي

تعريف 42.9 (الواسط العمودي)

الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ هو المستقيم العمودي على $[AB]$ المارّ بمنتصفها — وهو محور التماثل الذي يبادل $A$ و $B$ .

قضية 42.10 (تساوي البُعد)

تكون النقطة $M$ على الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ بالضبط حين تكون على المسافة نفسها من $A$ ومن $B$ : أي $MA = MB$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

طريقة 42.11 (الإنشاء بالفرجار)

لرسم الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ دون قياس:

اِفتح الفرجار على أكثر من نصف $AB$ ؛
اُرسم قوسين مركزهما $A$ ، فوق القطعة وتحتها؛
وبالفتحة نفسها، اُرسم قوسين مركزهما $B$ ؛
صِل نقطتَي التقاطع: فهذا المستقيم هو الواسط العمودي (فكل نقطة تقاطع على بُعد متساوٍ من $A$ و $B$ ).

42.4 تمارين

تمرين 42.1 ★

اِنقل على الورق المربّعات: محورًا عموديًّا $d$ ، ونقطة $A$ على بُعد مربعين إلى يساره، ونقطة $B$ على بُعد خمسة مربعات إلى يساره ومربع واحد أعلى. واِبنِ مماثلتيهما $A'$ و $B'$ بالنسبة إلى $d$ .

حل

حل التمرين 42.1.

النقطة $A'$ على بُعد مربعين إلى يمين $d$ ، في السطر نفسه الذي فيه $A$ ؛ والنقطة $B'$ على بُعد خمسة مربعات إلى اليمين، ومربع واحد أعلى — أي مواضع مرآتية.

تمرين 42.2 ★

اُرسم مستقيمًا $d$ ونقطة $M$ على بُعد $3$ سم من $d$ (لا على ورق مربّعات). واِبنِ مماثلة $M'$ للنقطة $M$ بالنسبة إلى $d$ بالكوس والمسطرة، متّبعًا الطريقة 42.2. فكم تبعد $M$ عن $M'$ ؟

حل

حل التمرين 42.2.

العمودي على $d$ المارّ بالنقطة $M$ ، وقدمه $H$ ؛ ثم $M'$ في الجهة الأخرى حيث $HM' = MH = 3$ سم. والمسافة $MM'$ هي $3 + 3 = 6$ سم.

تمرين 42.3 ★

أيّ الحروف اللاتينية الكبيرة، مكتوبة في أبسط صورها، له محور تماثل عمودي (مثل A)؟ وأيّها له محور أفقي (مثل B)؟ وأيّها له الاثنان معًا؟

حل

حل التمرين 42.3.

المحور العمودي (مثل A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. والمحور الأفقي (مثل B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. والاثنان معًا: H, I, O, X. (وتتوقف الأجوبة المضبوطة قليلًا على طريقة رسم الحروف.)

تمرين 42.4 ★

كم محور تماثل لكل من: المثلث المتساوي الأضلاع؟ والمستطيل (غير المربع)؟ والمعيّن (غير المربع)؟ والمربع؟ والدائرة؟ اُرسم كل شكل مع محاوره.

حل

حل التمرين 42.4.

المثلث المتساوي الأضلاع: $3$ محاور. والمستطيل: $2$ (وهما الواسطان العموديان لضلعيه). والمعيّن: $2$ (قطراه). والمربع: $4$ . والدائرة: بلا نهاية (كل مستقيم يمرّ بالمركز).

تمرين 42.5 ★

صواب أم خطأ؟ «قطرا المستطيل محورا تماثل للمستطيل.» اِشرح بحجّة الطيّ أو برسم.

حل

حل التمرين 42.5.

خطأ. فطيّ مستطيل (غير مربع) على طول قطر لا يجعل النصفين ينطبقان: فللمثلثين الشكل نفسه لكنهما يقعان بشكل مختلف — جرّب ذلك بورقة. والمربع وحده يعمل فيه القطران محورين.

تمرين 42.6 ★

اِنعكس المثلث $ABC$ بالنسبة إلى مستقيم $d$ فصار $A'B'C'$ . وإذا كان $AB = 4$ سم، و $\widehat{BAC} = 70^\circ$ ، ومحيط $ABC$ يساوي $12$ سم: فأعطِ، دون أيّ إنشاء، $A'B'$ و $\widehat{B'A'C'}$ ومحيط $A'B'C'$ .

حل

حل التمرين 42.6.

الانعكاسات تحفظ الأطوال والزوايا والمحيطات (القضية 42.4): إذن $A'B' = 4$ سم، و $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ ، ومحيط $A'B'C' = 12$ سم.

تمرين 42.7 ★

اُرسم قطعة $[AB]$ طولها $7$ سم واِبنِ واسطها العمودي بالفرجار (الطريقة 42.11). واِختر نقطة $M$ عليه كيفما كانت وتحقّق بالمسطرة من أن $MA = MB$ .

حل

حل التمرين 42.7.

إنشاء بالفرجار كما في الطريقة 42.11. ومن أجل أيّ نقطة $M$ على المستقيم، تؤكد المسطرة أن $MA = MB$ (القضية 42.10).

تمرين 42.8 ★★

شجرتان تقومان عند النقطتين $A$ و $B$ من حديقة (مستوية). فأين يمكن غرس نافورة تكون على المسافة نفسها من الشجرتين؟ صِف كل المواضع الممكنة.

حل

حل التمرين 42.8.

كل النقط التي على بُعد متساوٍ من $A$ و $B$ تكوّن الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ (القضية 42.10). فيمكن أن تُغرس النافورة في أيّ موضع من ذلك المستقيم (داخل الحديقة).

تمرين 42.9 ★★

على الورق المربّعات، اُرسم المحور $d$ (قطرًا من الشبكة في $45^\circ$ ) وشكلًا صغيرًا على هيئة حرف L في جهة منه. واِبنِ شكله المماثل بالنسبة إلى $d$ . (اِعكس كل رأس: فمن أجل محور في $45^\circ$ ، النقطة التي تبعد $2$ مربعين إلى يمين المحور تسقط $2$ مربعين فوقه.)

حل

حل التمرين 42.9.

كل رأس ينعكس عموديًّا على المحور: فمن أجل المحور في $45^\circ$ ، النقطة التي تبعد $k$ مربعًا إلى يمين المحور تسقط $k$ مربعًا فوقه (والعكس بالعكس) — فيتبادل الانتقالان الأفقي والعمودي. اِعكس الرؤوس واحدًا واحدًا، ثم صِلها بالترتيب.

تمرين 42.10 ★★

اُرسم دائرة مركزها $O$ ، ومستقيمًا $d$ يمرّ بالنقطة $O$ ، ونقطة $M$ على الدائرة. فأين تقع مماثلة $M$ بالنسبة إلى $d$ ؟ واِشرح لماذا يرسل الانعكاس الدائرة على نفسها.

حل

حل التمرين 42.10.

مماثلة $M$ هي التقاطع الثاني للدائرة مع العمودي على $d$ المارّ بالنقطة $M$ — وهي تقع على الدائرة. والسبب: أن الانعكاس يحفظ المسافات ويثبّت $O$ (الواقعة على $d$ )، إذن صورة أيّ نقطة تبعد $r$ عن $O$ تبعد أيضًا $r$ عن $O$ : فالدائرة ترتسم على نفسها.

تمرين 42.11 ★★

باستعمال خاصّية تساوي البُعد (القضية 42.10)، اِشرح لماذا تقع نقطتا تقاطع القوسين في الطريقة 42.11 فعلًا على الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ .

حل

حل التمرين 42.11.

كل نقطة تقاطع $P$ رُسمت بفتحة الفرجار نفسها $\rho$ من $A$ ومن $B$ : إذن $PA = \rho = PB$ . وحسب القضية 42.10، النقطة المتساوية البُعد عن $A$ و $B$ تقع على الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ ؛ ونقطتان كهاتين تعيّنان المستقيم.

تمرين 42.12 ★★★

كرة بلياردو عند النقطة $A$ يجب أن ترتدّ عن جدار مستقيم $d$ لتبلغ النقطة $B$ (وكلتاهما في جهة واحدة من الجدار). اِعكس $B$ بالنسبة إلى $d$ فتحصل على $B'$ ، واُرسم القطعة $[AB']$ . اِشرح لماذا يكون أفضل موضع للارتداد هو حيث تقطع $[AB']$ الجدار. (الفكرة: فللمسار $A \to P \to B$ الطول نفسه الذي للمسار $A \to P \to B'$ .)

حل

حل التمرين 42.12.

من أجل أيّ نقطة اِرتداد $P$ على الجدار، $PB = PB'$ (فالانعكاس بالنسبة إلى $d$ يحفظ المسافات)، إذن طول المسار $AP + PB = AP + PB'$ . والخط المنكسر $A \to P \to B'$ أقصر ما يكون حين يكون مستقيمًا، أي حين تقع $P$ على القطعة $[AB']$ . إذن أفضل نقطة اِرتداد هي تقاطع $[AB']$ مع الجدار.

42.5 مسألة: النافورة، والصحن المكسور، والمرآة الماشية

مسألة 42.1

مسألة نهاية الأسبوع — الوسائط العمودية الثلاثة لمثلث تلتقي في نقطة واحدة: الدائرة المارّة بثلاث نقط، وما تفعله مرآتان معًا

في التمرين 42.8 كان على النافورة أن تقف على بُعد متساوٍ من شجرتين اثنتين، وكان الجواب مستقيمًا كاملًا من المواضع. وتغرس هذه المسألة شجرة ثالثة — فينهار المستقيم كله إلى نقطة واحدة معيّنة تمامًا. وتخبئ تلك النقطة كنزًا هندسيًّا: فهي تتيح لك رسم الدائرة الوحيدة المارّة بثلاث نقط معطاة، وإعادة بناء صحن كامل من شظية مكسورة، وهي تنتمي إلى كل مثلث. ويجري الجزء الأخير تجربة بمرآتين نتيجتها تُعلن هندسة السنة المقبلة.

الجزء الأول — شجرتان، ثم خريطة مناطق.

اُرسم نقطتين $A$ و $B$ حيث $AB = 6$ سم واِبنِ الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ بالفرجار (الطريقة 42.11). واِختر نقطة $M$ عليه وتحقّق بالمسطرة من أن $MA = MB$ .
يقول القضية 42.10 أمرين في آن واحد: كل نقطة على الواسط على بُعد متساوٍ من $A$ و $B$ ، وكل نقطة على بُعد متساوٍ تقع على الواسط. فأيّهما يجيب عن سؤال النافورة في التمرين 42.8؟ وماذا تقول القضية عن نقطة ليست على الواسط؟
خذ نقطة $M$ في جهة الواسط التي فيها $A$ . فالقطعة $[MB]$ تقطع الواسط في نقطة $P$ . قارن المسار $M \to P \to B$ بالمسار $M \to P \to A$ ، واِشرح لماذا تكون $M$ أقرب إلى $A$ منها إلى $B$ : فالواسط يشقّ الورقة إلى «جهة $A$ » و«جهة $B$ ».
مدرستان $A$ و $B$ تخدمان مدينة. وكل طفل يمشي إلى المدرسة الأقرب. اُرسم خريطة صغيرة فيها $A$ و $B$ ، وظلّل المنطقة المضبوطة من المدينة التي تخدمها المدرسة $A$ . فأيّ مستقيم يكوّن الحدّ؟
تُفتح مدرسة ثالثة $C$ (ضعها بحيث تكوّن المدارس الثلاث مثلثًا). اِبنِ الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ والواسط العمودي للقطعة $[BC]$ ، وسمِّ $O$ نقطة تقاطعهما. فأيّ تساويين بين المسافات يحقّقهما $O$ ، ولماذا؟

الجزء الثاني — ثلاث أشجار، ونقطة واحدة، ودائرة واحدة.

اِستنتج من السؤال 5 أن $OA = OC$ — وأن $O$ يقع إذن أيضًا على الواسط العمودي للقطعة $[AC]$ ، التي لم ترسمها قطّ. واِستنتج: الوسائط العمودية الثلاثة لأضلاع مثلث كلها تمرّ بنقطة واحدة.
اِشرح لماذا تمرّ الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $OA$ بالنقطة $B$ وبالنقطة $C$ أيضًا: فهي الدائرة المارّة بالنقط الثلاث — أي الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$ .
اِبنِ مثلثًا أضلاعه $6$ سم و $5$ سم و $4$ سم (الطريقة 41.2)، ثم دائرته المحيطة. ولماذا يكفي رسم واسطين اثنين لإيجاد المركز؟
الصحن المكسور: يستخرج عالِم آثار شظية لم يبقَ سليمًا منها إلا قطعة من حافة الصحن الدائرية. صِف وصفة تستعيد المركز ونصف قطر الصحن الأصلي — واِختبرها: اُرسم قوس دائرة بفرجارك، و«اِنسَ» المركز، وعلّم ثلاث نقط على القوس، ثم أعِد بناءه.
أيمكن أن تكون ثلاث نقط بلا دائرة تمرّ بها؟ اِفترض أن $A$ و $B$ و $C$ مستقيمية. فماذا يمكن أن يقال عن الواسطين العموديين للقطعتين $[AB]$ و $[BC]$ (القضية 40.3)؟ واِستنتج.

الجزء الثالث — محاور في كل مكان، والمرآة الماشية.

عدّ المثال 42.7 $3$ محاور للمثلث المتساوي الأضلاع و $4$ للمربع. فخمّن العدد لخماسي منتظم ولسداسي منتظم، وصِف أين تمرّ المحاور في كل حالة (العدد الفردي للأضلاع مقابل الزوجي: فالحالتان تختلفان).
اِطوِ ورقة مرة واحدة وقُصّ شكلًا عبر الطبقتين معًا؛ ثم اُنشرها. ولماذا يكون للثقب دائمًا محور تماثل، مهما قصصت، وأيّ مستقيم هو المحور؟
اِطوِ الورقة مرتين — والطيّة الثانية عمودية على الأولى — ثم قُصّ واُنشر. فكم محور تماثل للثقب على الأقلّ، وكم نسخة من قصّتك ترى؟ (وقصاصات الثلج الورقية هي هذه الفكرة مطويّة أكثر.)
المرآة الماشية: على الورق المربّعات، اُرسم محورًا عموديًّا $d_1$ ، وعَلَمًا صغيرًا $F$ في يساره، ومحورًا عموديًّا ثانيًا $d_2$ على بُعد $4$ مربعات إلى يمين $d_1$ . واِعكس $F$ بالنسبة إلى $d_1$ (فتحصل على الصورة $F'$ )، ثم اِعكس $F'$ بالنسبة إلى $d_2$ (فتحصل على $F''$ ). قارن $F$ و $F''$ : الاتجاه نفسه أم مرآتيّ؟ وبكم مربعًا اِنتقل الشكل؟ قارن ذلك بالمسافة بين المحورين.
التجربة نفسها مع $d_2$ عموديًّا على $d_1$ : اِعكس العَلَم بالنسبة إلى المحور العمودي، ثم الصورة بالنسبة إلى الأفقي. صِف كيف يقع $F''$ بالنسبة إلى $F$ وإلى نقطة تقاطع المحورين. (فقد اِكتشفت للتوّ تحويل السنة المقبلة: الفصل 52.)

حل

حل المسألة 42.1.

1. إنشاء كما في الطريقة 42.11؛ ومن أجل أيّ نقطة $M$ على المستقيم، تؤكد المسطرة أن $MA = MB$ (القضية 42.10).

2. يحتاج سؤال النافورة إلى الاتجاه الثاني: كل النقط المتساوية البُعد تقع على الواسط، إذن المواضع الممكنة هي ذلك المستقيم بالضبط ولا شيء غيره. والنقطة التي ليست على الواسط ليست إذن متساوية البُعد: فهي أقرب تمامًا إلى إحدى الشجرتين.

3. يشترك المساران في الضلع $[MP]$ ، و $PB = PA$ لأن $P$ على الواسط. إذن للمسار $M \to P \to B$ الطول نفسه الذي للمسار $M \to P \to A$ ، وهو $MP + PA$ . والآن $MB$ هو الطريق المستقيم إلى $B$ — وهو هنا نفسه المسار عبر $P$ ، إذن $MB = MP + PA$ ؛ والطريق المستقيم إلى $A$ أقصر من الالتفاف عبر $P$ : أي $MA < MP + PA = MB$ . فكل نقطة في جهة $A$ من الواسط أقرب إلى $A$ .

4. الحدّ هو الواسط العمودي للقطعة $[AB]$ : فالمدرسة $A$ تخدم بالضبط نصف المدينة الواقع في جهتها من ذلك المستقيم (السؤال 3)، والمدرسة $B$ تخدم النصف الآخر، والأطفال الساكنون على المستقيم نفسه يختارون أيًّا منهما.

5. تقع $O$ على واسط $[AB]$ ، إذن $OA = OB$ ؛ وعلى واسط $[BC]$ ، إذن $OB = OC$ (القضية 42.10).

6. من $OA = OB$ و $OB = OC$ ينتج $OA = OC$ . وحسب الاتجاه الثاني في القضية 42.10، النقطة المتساوية البُعد عن $A$ و $C$ تقع على الواسط العمودي للقطعة $[AC]$ : فالواسط الثالث يمرّ بالنقطة $O$ دون أن يُطلب. إذن الوسائط العمودية الثلاثة لأيّ مثلث متلاقية.

7. الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $OA$ تتألف من كل النقط التي تبعد $OA$ عن $O$ (التعريف 40.5)؛ وبما أن $OB = OA$ و $OC = OA$ ، فالنقطتان $B$ و $C$ عليها. مركز واحد، ونصف قطر واحد، وثلاث نقط تُخدَم: فهي الدائرة المارّة بالنقط $A$ و $B$ و $C$ .

8. يكفي واسطان لأن الثالث تلقائي (السؤال 6): فنقطة تقاطعهما تحقّق أصلًا التساويات الثلاثة بين المسافات. وتُرسم الدائرة بمركز $O$ وبفتح الفرجار من $O$ إلى أيّ رأس من الرؤوس الثلاثة.

9. الوصفة: علّم ثلاث نقط $A$ و $B$ و $C$ على القوس الباقي؛ واُرسم الواسطين العموديين للوترين $[AB]$ و $[BC]$ ؛ فنقطة تقاطعهما هي مركز الصحن، ومسافتها إلى $A$ هي نصف القطر. وهي تنجح لأن حافة الصحن دائرة تمرّ بالنقط الثلاث المعلَّمة — والسؤال 8 يجد الدائرة المارّة بها. والقوس المختبَر يُعاد بناؤه بالضبط.

10. إذا كانت $A$ و $B$ و $C$ مستقيمية، فواسط $[AB]$ وواسط $[BC]$ كلاهما عمودي على المستقيم $(AB) = (BC)$ نفسه — إذن هما متوازيان (القضية 40.3)، وبما أنهما متمايزان فلا يتقاطعان أبدًا. ولا نقطة على بُعد متساوٍ من الثلاث، ولا دائرة تمرّ بثلاث نقط مستقيمية.

11. الخماسي المنتظم: $5$ محاور، كل واحد يمرّ برأس ومنتصف الضلع المقابل (العدد الفردي: فكل المحاور من هذا النوع الواحد). والسداسي المنتظم: $6$ محاور — ثلاثة تمرّ برأسين متقابلين وثلاثة بمنتصفَي ضلعين متقابلين (العدد الزوجي: نوعان، نصف ونصف). والنمط: المضلع المنتظم ذو $n$ ضلعًا له $n$ محورًا.

12. القصّ يمرّ بالطبقتين معًا، إذن تفقد الطبقتان قطعتين متطابقتين بالضبط؛ والنشر هو الانعكاس بالنسبة إلى خط الطيّ، وهو يرسل حافة كل طبقة على حافة الأخرى. فالثقب صورته المرآتية نفسها: أي إن خط الطيّ محور تماثله — مهما كان المقصوص.

13. للثقب المنشور $2$ محورا تماثل على الأقلّ، وهما خطّا الطيّ، وتظهر القصّة في $4$ نسخ (فكل نشر يضاعف الصورة: $1 \to 2 \to 4$ ). والطيّ مرات أكثر على نمط قصاصات الثلج يضاعف النسخ والمحاور أكثر.

14. للشكل $F''$ الاتجاه نفسه الذي للشكل $F$ (فقلبتا المرآة تلغي إحداهما الأخرى)، والحجم نفسه والارتفاع نفسه — فهو ببساطة $F$ منزلقًا إلى اليمين. والانزلاق يقيس $8$ مربعات: أي ضعف المسافة بين المحورين. فالمرآتان المتوازيتان معًا لا تعكسان البتة: بل تنقلان.

15. الشكل $F''$ بالحجم نفسه من جديد، لكنه يظهر الآن مقلوبًا، مُدارًا نصف دورة حول نقطة تقاطع المحورين: فكل نقطة من $F''$ تقابل قطريًّا النقطة الموافقة من $F$ عبر ذلك المركز. فالمرآتان المتعامدتان تتركّبان في نصف الدورة — وهو التماثل المركزي في الفصل 52.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد