الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

70المجسّمات والحجوم

تبدأ هندسة الفضاء بأسرة صغيرة من المجسّمات — المواشير، والأسطوانات، والأهرام، والمخاريط، والكرات — وبسؤالين: كم تسع (الحجم)، وماذا ترى حين تقطعها (المقاطع)؟ وينتهي الفصل بواقعة بالغة الأهمية العملية: تحجيم مجسّم بالمعامل $k$ يضرب حجمه في $k^3$ .

70.1 المجسّمات الكلاسيكية وحجومها

مبرهنة 70.1 (صيغ الحجوم)

لنكتب $B$ لمساحة القاعدة و $h$ للاِرتفاع (وهو المسافة بين القاعدة والوجه المقابل أو الرأس).

المجسّم	الحجم
الموشور، والأسطوانة	$V = B \times h$
[5pt] الهرم، والمخروط	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] كرة نصف قطرها $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

ومن أجل أسطوانة ومخروط نصف قطرهما $r$ ، تكون مساحة القاعدة $B = \pi r^2$ ؛ ومساحة سطح الكرة $4\pi r^2$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مجسّمات هذا الفصل. ويضمّ حجم كل واحد منها مساحة قاعدة واِرتفاعًا — إلا الكرة، فلا تحتاج سوى نصف قطرها.

مثال 70.2

علبة أسطوانية نصف قطرها $4$ سم واِرتفاعها $10$ سم:

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ سم}^3 \approx 0.5 \text{ لتر}.

ومخروط له القاعدة والاِرتفاع نفسهما يسع ثلث ذلك: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ سم $^3$ . وكرة نصف قطرها $4$ سم: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ سم $^3$ .

مثال 70.3 (هرم خطوةً خطوة)

هرم قاعدته مربّعة ضلعها $6$ م واِرتفاعه $5$ م.

مساحة القاعدة: $B = 6^2 = 36$ م $^2$ .
والحجم: $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ م $^3$ .

واِنتبه للوحدات: لو أُعطي الضلع بالسنتيمتر والاِرتفاع بالمتر، لوجب تحويل أحدهما أولًا.

70.2 المقاطع بمستويات

قضية 70.4 (مقاطع المجسّمات الكلاسيكية)

قطع مجسّم بمستوٍ يعطي شكلًا مستويًا، هو المقطع:

الموشور أو الأسطوانة المقطوع موازيًا لقاعدته يعطي نسخة من القاعدة، عند كل اِرتفاع؛
والهرم أو المخروط المقطوع موازيًا لقاعدته يعطي تصغيرًا للقاعدة: فعلى بعد $d$ من الرأس، يكون معامل التحجيم $k = \frac{d}{h}$ ؛
والكرة ذات نصف القطر $r$ المقطوعة بمستوٍ على بعد $d < r$ من المركز تعطي دائرة نصف قطرها $\sqrt{r^2 - d^2}$ (حسب مبرهنة فيثاغورس).

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

على اليسار: قطع مخروط موازيًا لقاعدته على بعد d من الرأس يعطي قرصًا محجَّمًا بالمعامل k = dh. وعلى اليمين: مستوٍ على بعد d من مركز كرة يقطعها في دائرة نصف قطرها √r2 - d2. — على اليسار: قطع مخروط موازيًا لقاعدته على بعد $d$ من الرأس يعطي قرصًا محجَّمًا بالمعامل $k = \frac dh$ . وعلى اليمين: مستوٍ على بعد $d$ من مركز كرة يقطعها في دائرة نصف قطرها $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

مثال 70.5

مخروط نصف قطر قاعدته $6$ واِرتفاعه $9$ . والمقطع بمستوٍ موازٍ للقاعدة، على بعد $3$ من الرأس، قرص محجَّم بالمعامل $k = \frac39 = \frac13$ : فنصف قطره $6 \times \frac13 = 2$ .

وكرة نصف قطرها $5$ تُقطع بمستوٍ على بعد $3$ من مركزها: فالمقطع دائرة نصف قطرها $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 تحجيم المجسّمات

مبرهنة 70.6 (أثر التحجيم في الأطوال والمساحات والحجوم)

حين يُكبَّر مجسّم أو يُصغَّر بمعامل التحجيم $k > 0$ :

تُضرب كل الأطوال في $k$ ؛
وتُضرب كل المساحات في $k^2$ ؛
وتُضرب كل الحجوم في $k^3$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 70.7

نموذج سيارة بسلّم $\frac{1}{18}$ : فأطواله هي أطوال السيارة الحقيقية مضروبة في $k = \frac{1}{18}$ ، وسطحه المطليّ مضروب في $k^2 = \frac{1}{324}$ ، وحجمه في $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

ومضاعفة نصف قطر كرة ( $k = 2$ ) تضرب حجمها في $2^3 = 8$ : تحقّق على الصيغة، $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

مثال 70.8 (المخروط الناقص)

مخروط اِرتفاعه $9$ ونصف قطر قاعدته $6$ (وحجمه $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) يُقطع على بعد $3$ من الرأس، ويُزال المخروط الصغير فوق القطع. والمخروط الصغير هو التصغير بالمعامل $k = \frac13$ ، فحجمه $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . والمجسّم الباقي (مخروط ناقص) حجمه $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 تمارين

تمرين 70.1 ★

اِحسب الحجوم: علبة (موشور قائم) أبعادها $4 \times 5 \times 12$ ؛ وأسطوانة نصف قطرها $3$ واِرتفاعها $7$ (القيمة المضبوطة بالرمز $\pi$ ، ثم مقرّبة إلى الوحدة).

حل

حل التمرين 70.1.

العلبة: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

والأسطوانة: $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

تمرين 70.2 ★

اِحسب حجم مخروط نصف قطره $5$ واِرتفاعه $12$ ، وهرم قاعدته مستطيلة $8 \times 3$ واِرتفاعه $10$ .

حل

حل التمرين 70.2.

المخروط: $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

والهرم: مساحة القاعدة $B = 8 \times 3 = 24$ ، إذن $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

تمرين 70.3 ★

اِحسب حجم ومساحة سطح كرة نصف قطرها $6$ (القيمتين المضبوطتين بالرمز $\pi$ ).

حل

حل التمرين 70.3.

الحجم: $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

ومساحة السطح: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

تمرين 70.4 ★

كرة نصف قطرها $10$ تُقطع بمستوٍ على بعد $8$ من مركزها. فما نصف قطر دائرة المقطع؟

حل

حل التمرين 70.4.

نصف قطر المقطع: $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

تمرين 70.5 ★★

مخروط نصف قطر قاعدته $8$ واِرتفاعه $12$ . ويقطعه مستوٍ موازٍ للقاعدة على بعد $9$ من الرأس. اِحسب نصف قطر المقطع، ثم حجم المخروط الصغير فوق القطع.

حل

حل التمرين 70.5.

معامل التحجيم من المخروط كلّه إلى الصغير: $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . ونصف قطر المقطع: $8 \times \frac34 = 6$ .

وحجم المخروط كلّه: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . وحجم المخروط الصغير: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

تمرين 70.6 ★★

كأس أسطوانية نصف قطرها الداخلي $3$ سم فيها ماء إلى اِرتفاع $10$ سم. وتُغمر فيها كرة نصف قطرها $2$ سم غمرًا تامًّا. فكم يرتفع مستوى الماء؟ (فالحجم المضاف ينتشر على مساحة قاعدة الكأس؛ أعطِ الاِرتفاع المضبوط، ثم قرّب إلى المليمتر.)

حل

حل التمرين 70.6.

حجم الكرة: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ سم $^3$ . وينتشر هذا الحجم على مساحة القاعدة $\pi \times 3^2 = 9\pi$ سم $^2$ ، فيرتفع المستوى بمقدار

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ سم}

(أي نحو $12$ مم).

تمرين 70.7 ★★

وصفة تملأ قالبًا كرويًّا نصف قطره $6$ سم. وليس لديك سوى قالب كرويّ نصف قطره $3$ سم. فكم قالبًا صغيرًا تستطيع أن تملأ؟ (أجِب من غير حساب أيّ من الحجمين صراحةً.)

حل

حل التمرين 70.7.

القالب الصغير هو تصغير الكبير بالمعامل $k = \frac36 = \frac12$ ، فحجمه $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ من حجم الكبير: فتملأ الوصفة $8$ قوالب صغيرة.

تمرين 70.8 ★★

الهرم الأكبر بالجيزة قاعدته مربّعة ضلعها نحو $230$ م واِرتفاعه نحو $147$ م. قدّر حجمه، وعبّر عنه بملايين الأمتار المكعّبة.

حل

حل التمرين 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ م $^3$ — أي نحو $2.6$ مليون متر مكعّب.

تمرين 70.9 ★★★

قمع مخروطي نصف قطره $6$ سم واِرتفاعه $12$ سم، ورأسه إلى الأسفل، يُملأ ماءً إلى نصف اِرتفاعه (مقيسًا من الرأس).

فأيّ كسر من حجم القمع مملوء؟
وإذا مُلئ بدلًا من ذلك بنصف حجمه ماءً، بيّن أنّ اِرتفاع الماء $d$ يحقّق $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ ، وأعطِ $d$ إلى المليمتر ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

حل

حل التمرين 70.9.

1. يشكّل الماء مخروطًا محجَّمًا بالمعامل $k = \frac12$ (فالرأس إلى الأسفل، ونصف الاِرتفاع)، فحجمه $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ من حجم القمع: أي الثمن، وهو أقلّ بكثير من النصف!

2. والماء إلى الاِرتفاع $d$ يشكّل مخروطًا محجَّمًا بالمعامل $k = \frac{d}{12}$ ، وحجمه $k^3$ مرّة حجم القمع. ونصف الحجم يعني $k^3 = \frac12$ ، أي $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . ومنه $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ، إذن $d \approx 9.5$ سم: فالنصف الثاني من الحجم لا يشغل سوى أعلى $2.5$ سم — فالجزء العريض من المخروط يحمل معظم الماء.

70.5 مسألة: شاهد قبر أرخميدس

مسألة 70.1

مسألة نهاية الأسبوع — الكرة ثلثا أسطوانتها (مرّتين)، ورصّة 1:2:3، وقانون المربّع والمكعّب الذي يمنع العمالقة

برهن أرخميدس على مبرهنات كثيرة، لكنّ واحدة منها أفخرته حتى طلب أن يُنقش شكلها على قبره: كرة محشورة في أضيق أسطوانة لها. وبعد قرن، تعرّف الكاتب الروماني شيشرون، وهو يفتّش في العلّيق قرب سيراكوزا، على القبر «بالكرة والأسطوانة». وتستعيد هذه المسألة ما يرمز إليه النقش — معجزة ثلثين مزدوجة — ثم تتبع الحجوم والسطوح (المبرهنة 70.1 والمبرهنة 70.6) إلى قانون يحكم العمالقة والنمل والكواكب التي تبرد.

الجزء الأول — فكّ رموز النقش. كرة نصف قطرها $r$ تجلس بالضبط داخل أسطوانة: بنصف القطر نفسه، واِرتفاعها $2r$ .

اِحسب حجم الأسطوانة بدلالة $r$ .
واِحسب نسبة حجم الكرة إلى حجم الأسطوانة. ولماذا قد يكون أرخميدس أحبّ أنّ الجواب لا يحوي $\pi$ ولا $r$ ؟
والآن السطوح: قارن مساحة سطح الكرة بسطح الأسطوانة الكلّي (الجانب مضافًا إليه الغطاءان). فأيّ نسبة تظهر — من جديد؟
والفضاء الفارغ بين الكرة والأسطوانة حجمه $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . بيّن أنّ هذا الباقي يساوي بالضبط حجم مخروطين نصف قطرهما $r$ واِرتفاعهما $r$ .
وكرة سلّة نصف قطرها $12$ سم تُباع في أضيق علبة أسطوانية. اِحسب الحجمين (إلى أقرب $100$ سم $^3$ ) والنسبة المئوية للجزء الفارغ من العلبة.

الجزء الثاني — الأوعية والقوالب والأقمار.

وعاء نصف كروي نصف قطره $10$ سم. اِحسب سعته، بوحدة سم $^3$ وباللترات (إلى الديسيلتر).
ورصّة 1:2:3: مخروط، ونصف كرة، وأسطوانة، وكلّها نصف قطرها $10$ سم واِرتفاعها $10$ سم. اِحسب الحجوم الثلاثة وتحقّق من النسبة الأسطورية $1 : 2 : 3$ . (وكان أرخميدس ليقدّر هذه أيضًا.)
وكرة شوكولاتة نصف قطرها $3$ سم تُذاب في قالب أسطواني نصف قطره $3$ سم. فأيّ اِرتفاع تبلغه الشوكولاتة؟ (كسرًا مضبوطًا، ثم إلى المليمتر.)
ونصف قطر الأرض نحو $6\,371$ كلم، ونصف قطر القمر نحو $1\,737$ كلم. اِحسب نسبة نصفَي القطر، ثم — حسب المبرهنة 70.6 — نسبة الحجوم: فكم قمرًا يسع في أرض جوفاء، حجمًا؟
ومن المبرهنة نفسها: ما نسبة مساحتَي السطح بين الأرض والقمر؟ وفي العموم، حين يتضاعف نصف قطر بالون، ماذا يحدث لحجمه ولسطحه؟ اُذكر قانون المربّع والمكعّب: فحين يتحجّم شكل إلى أعلى، تسبق الحجوم السطوح.

الجزء الثالث — قانون المربّع والمكعّب يحكم العالم.

حجّة غاليليو ضدّ العمالقة: تخيّل إنسانًا محجَّمًا بالمعامل $10$ ، بالنسب نفسها. فبأيّ معامل ينمو الوزن (والوزن يتبع الحجم)؟ وبأيّ معامل ينمو مقطع العظام (وهو مساحة)؟ وبأيّ معامل إذن ينمو الضغط على كل سنتيمتر مربّع من العظم — وماذا يحدث للعملاق؟
والقانون نفسه معكوسًا يفسّر بطولات النمل: فالقوّة تتبع مقطع العضلة (وهو مساحة)، والوزن يتبع الحجم. ومن أجل حيوان أصغر $100$ مرّة في كل اِتّجاه، بأيّ معاملين ينكمش الوزن والقوّة، وبأيّ معامل تتحسّن نسبة القوّة إلى الوزن؟
والحرارة ينتجها حجم الجسم وتُفقد عبر سطحه. بيّن أنّ نسبة السطح إلى الحجم في الكرة هي $\frac{3}{r}$ ، واِحسبها من أجل $r = 1$ و $r = 2$ . فأيّهما يبرد أسرع، الفأر أم الدبّ — ولماذا يحتاج الرضّع قبّعات في الشتاء؟
وبرتقالتان كرويتان نصفا قطريهما $4$ سم و $5$ سم تُباعان بالثمن نفسه. اِحسب نسبة حجميهما: فكم من البرتقال تعطي الكبيرة أكثر مقابل المال نفسه؟
والختام: صِف بدقّة ما يرمز إليه شكل شاهد القبر — «الثلثان» في السؤالين 2 و 3 — وأجِب شيشرون في جملة واحدة: لماذا يختار عالم رياضيات، على كل فتوحات عبقريته الهندسية، كرةً في أسطوانة؟

حل

حل المسألة 70.1.

1. $V_{\text{الأسطوانة}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ .

2. $\dfrac{V_{\text{الكرة}}}{V_{\text{الأسطوانة}}} = \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$ . فيتلاشى $\pi$ و $r^3$ : والنسبة كونية — صحيحة من أجل كرية زجاج ومن أجل كوكب. وهي علاقة بين أشكال، لا بين أعداد: أي بالضبط نوع الحقيقة التي تستحقّ أن تُنقش في الحجر.

3. الكرة: $4\pi r^2$ . والأسطوانة: الجانب $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$ ، مضافًا إليه الغطاءان $2 \times \pi r^2$ : أي المجموع $6\pi r^2$ . والنسبة: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — الثلثان أنفسهما، من أجل السطوح. (وزيادة: مساحة الكرة تساوي بالضبط المساحة الجانبية للأسطوانة.)

4. الباقي: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$ . ومخروطان نصف قطرهما $r$ واِرتفاعهما $r$ : $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$ . متساويان.

5. الكرة: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ سم $^3$ ؛ والعلبة: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ سم $^3$ . والفارغ: ثلث العلبة، أي نحو $33\,\%$ — يضمنه السؤال 2، مهما كان حجم الكرة.

6. نصف كرة: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx 2\,094$ سم $^3 \approx 2.1$ لتر.

7. المخروط: $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ سم $^3$ . ونصف الكرة: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ سم $^3$ . والأسطوانة: $1\,000\pi \approx 3\,142$ سم $^3$ . والنسب: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ بالضبط.

8. $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ يعطي $h = \frac43 \times 3 = 4$ سم بالضبط.

9. نصفا القطر: $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$ . والحجوم تتحجّم كالمكعّب (المبرهنة 70.6): $3.67^3 \approx 49$ . أي نحو خمسين قمرًا تسع في الأرض.

10. والسطوح تتحجّم كالمربّع: $3.67^2 \approx 13.5$ . ومضاعفة نصف قطر بالون تضرب حجمه في $2^3 = 8$ لكن سطحه في $2^2 = 4$ فقط: فحين تكبر الأشياء، يسبق الحجم (الوزن، والمحتوى، والحرارة المنتَجة) السطح (الجلد، والمادّة، والحرارة المفقودة) — وهو قانون المربّع والمكعّب.

11. الوزن: $\times 10^3 = 1\,000$ . ومقطع العظم: $\times 10^2 = 100$ . والضغط — أي الوزن على مساحة العظم: $\times \frac{1000}{100} = 10$ . فالعظام المبنية لضغط إنسان تتلقّى عشرة أمثاله: فينكسر هيكل العملاق تحت وزنه هو. والعمالقة مستحيلون هندسيًّا؛ والحيوانات الكبيرة تحتاج عظامًا سميكة سمكًا غير متناسب (قارن قوائم الفيل بقوائم الغزال).

12. الوزن: $\div 100^3 = 10^6$ . والقوّة (مقطع العضلة): $\div 100^2 = 10^4$ . والقوّة إلى الوزن: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ . فالنملة التي ترفع خمسين مثل وزنها ليست بطلة خارقة — بل هي صغيرة فحسب؛ وإنسان مصغَّر إلى حجم نملة كان ليفعل مثلها.

13. $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$ : فمن أجل $r = 1$ تكون النسبة $3$ ، ومن أجل $r = 2$ تكون $1.5$ — فتنصيف الحجم يضاعف السطح المتاح لكل وحدة من الحجم المنتِج للحرارة. والأجسام الصغيرة تنزف حرارة: فالفأر مضطرّ إلى الأكل دائمًا، والدبّ يستطيع أن يشتو، والرضيع — كرة صغيرة، بنسبة $\frac Sr$ كبيرة — يحتاج القبّعة.

14. $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$ : فالبرتقالة الكبيرة تحمل ضِعف الفاكهة تقريبًا بالثمن نفسه. فاِشترِ نصف القطر.

15. يقول النقش: الكرة $= \frac23$ من الأسطوانة حجمًا، و $\frac23$ منها في السطح الكلّي — أي نسبتان مضبوطتان كونيّتان تربطان المجسّم الأكثر اِستدارة بالأبسط. وجواب شيشرون: لأنّ المبرهنة هي النصب الوحيد الذي لا تنال منه الجيوش ولا القرون — فقد اِحترقت آلات أرخميدس مع سيراكوزا، لكنّ الثلثين ما زالا ثلثين بالضبط.