الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

30الحساب بالأعداد العشرية

الأعداد العشرية تُجمع وتُطرح وتُضرب كالأعداد الصحيحة تقريبًا — والفنّ كله معرفة أين تقع النقطة. يغطي هذا الفصل طرائق الأعمدة وسحر الضرب أو القسمة على $10$ و $100$ و $1000$ . (أما ضرب عددين عشريين فينتظر الفصل 38.)

30.1 الجمع والطرح

طريقة 30.1 (الأعمدة مع نقطة)

اُكتب الأعداد مع محاذاة النقاط العشرية (فتصير الآحاد تحت الآحاد، والأعشار تحت الأعشار)؛
واحشُ الجزء العشري الأقصر بالأصفار؛
واجمع أو اطرح كما في الأعداد الصحيحة؛
وأنزِل نقطة النتيجة مستقيمةً إلى الأسفل.

مثال 30.2

$27.5 + 3.86$ (باحتشاء $27.5 = 27.50$ ):

\begin{array}{r} 2\,7.5\,0 \\ +\ \ \ 3.8\,6 \\ \hline 3\,1.3\,6 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 1\,2.4\,0 \\ -\ \ \ 5.6\,5 \\ \hline \ \ \,6.7\,5 \end{array}

وفي الطرح ( $12.4 - 5.65$ ): اِحشُ، واستلف كالعادة، وتحقّق بالجمع العكسي: $6.75 + 5.65 = 12.4$ .

مثال 30.3 (المتمّمات الذهنية)

ماذا يجب أن نضيف إلى $7.6$ لنبلغ $10$ ؟ اِصعد: من $7.6 \to 8$ مقداره $0.4$ ، ثم من $8 \to 10$ مقداره $2$ : فالمتمّم هو $2.4$ . وهو مفيد في الباقي: ادفع $10$ ثمنًا لشيء قيمته $7.60$ ، تسترد $2.40$ .

30.2 عشر مرات أكبر، وعشر مرات أصغر

قضية 30.4 (الضرب والقسمة على 10 و100 و1000)

الضرب في $10$ يجعل كل رقم يساوي عشرة أمثال ما كان: فتنزلق الأرقام مرتبة واحدة إلى اليسار — وهو ما يبدو كأنّ النقطة تنتقل مرتبة واحدة إلى اليمين. والقسمة تفعل العكس:

3.47 \times 10 = 34.7, \qquad 3.47 \times 100 = 347, \qquad 52.1 \div 10 = 5.21, \qquad 6 \div 100 = 0.06 .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

الضرب في 10: كل رقم يصعد مرتبة واحدة إلى اليسار. والنقطة لا تتحرك حقًّا — بل الأرقام هي التي تتحرك. — الضرب في $10$ : كل رقم يصعد مرتبة واحدة إلى اليسار. والنقطة لا تتحرك حقًّا — بل الأرقام هي التي تتحرك.

مثال 30.5 (التحويلات من جديد)

وحدات القياس تفصل بينها قوى العشرة، فالتحويلات ليست إلا هذه الانزلاقات: $2.35$ م $= 235$ سم ( $\times 100$ )؛ و $470$ غ $= 0.47$ كغ ( $\div 1000$ )؛ و $1.5$ ل $= 150$ سل.

30.3 ضرب عدد عشري في عدد صحيح

طريقة 30.6 (عشري في صحيح)

احسب كأن لا نقطة هناك، ثم أعطِ النتيجة من الأرقام العشرية بعدد ما في العامل العشري:

4.35 \times 6: \quad 435 \times 6 = 2\,610 \ \to\ 4.35 \times 6 = 26.10 = 26.1 .

وقدِّر لتضع النقطة بثقة: فالعدد $4.35$ قريب من $4$ ، و $4 \times 6 = 24$ — إذن $26.1$ ، لا $2.61$ ولا $261$ .

مثال 30.7 (الجمع المتكرر ما زال يعمل)

$0.75 \times 4 = 0.75 + 0.75 + 0.75 + 0.75 = 3$ : فأربعة أرباع تصنع وحدة كاملة، بلباس عشري. والضرب في عدد صحيح ما زال يعني «كذا مرة».

مثال 30.8 (التسوّق)

ثلاثة دفاتر ثمن الواحد $2.45$ وقلم ثمنه $1.20$ :

الدفاتر: $2.45 \times 3 = 7.35$ ؛
والمجموع: $7.35 + 1.20 = 8.55$ ؛
والباقي من $10$ : $10 - 8.55 = 1.45$ .

30.4 تمارين

تمرين 30.1 ★

احسب بالأعمدة: $45.7 + 8.93$ ؛ $16.25 + 3.75$ ؛ $0.86 + 12.4$ .

حل

حل التمرين 30.1.

$45.7 + 8.93 = 54.63$ ؛ $16.25 + 3.75 = 20$ ؛ $0.86 + 12.4 = 13.26$ .

تمرين 30.2 ★

احسب بالأعمدة وتحقّق: $9.4 - 2.72$ ؛ $20 - 13.45$ ؛ $6.03 - 5.9$ .

حل

حل التمرين 30.2.

$9.4 - 2.72 = 6.68$ (التحقّق: $6.68 + 2.72 = 9.4$ ).

$20 - 13.45 = 6.55$ (التحقّق: $6.55 + 13.45 = 20$ ).

$6.03 - 5.9 = 0.13$ .

تمرين 30.3 ★

المتمّمات الذهنية إلى $10$ (كما في المثال 30.3): $6.2$ ؛ $3.75$ ؛ $9.99$ .

حل

حل التمرين 30.3.

$6.2 \to 10$ : $3.8$ . $3.75 \to 10$ : $6.25$ . $9.99 \to 10$ : $0.01$ .

تمرين 30.4 ★

احسب بلا أعمدة:

7.24 \times 10, \qquad 0.58 \times 100, \qquad 34.5 \div 10, \qquad 7 \div 100, \qquad 0.3 \times 1000 .

حل

حل التمرين 30.4.

$72.4$ ؛ $58$ ؛ $3.45$ ؛ $0.07$ ؛ $300$ .

تمرين 30.5 ★

حوِّل: $4.05$ م بالسنتيمتر؛ $325$ سم بالمتر؛ $0.6$ كغ بالغرام؛ $85$ سل باللتر.

حل

حل التمرين 30.5.

$4.05$ م $= 405$ سم؛ $325$ سم $= 3.25$ م؛ $0.6$ كغ $= 600$ غ؛ $85$ سل $= 0.85$ ل.

تمرين 30.6 ★

قدِّر أولًا، ثم احسب: $6.2 \times 4$ ؛ $3.45 \times 8$ ؛ $12.5 \times 6$ .

حل

حل التمرين 30.6.

$6.2 \times 4$ : التقدير $24$ ؛ وبالضبط $24.8$ .

$3.45 \times 8$ : التقدير $28$ ( $3.5 \times 8$ )؛ وبالضبط $27.6$ .

$12.5 \times 6$ : التقدير $75$ ؛ وبالضبط $75$ .

تمرين 30.7 ★

طول لفّة واحدة من مضمار $0.4$ كم. فكم يبلغ طول $7$ لفّات؟ و $25$ لفّة؟

حل

حل التمرين 30.7.

$7$ لفّات: $0.4 \times 7 = 2.8$ كم. و $25$ لفّة: $0.4 \times 25 = 10$ كم.

تمرين 30.8 ★

تشتري لينا $2$ من الأرغفة ثمن الواحد $1.15$ وكعكة ثمنها $12.60$ . وتدفع بورقة $20$ . احسب مجموع ما دفعت والباقي لها.

حل

حل التمرين 30.8.

الأرغفة: $1.15 \times 2 = 2.30$ . والمجموع: $2.30 + 12.60 = 14.90$ . والباقي: $20 - 14.90 = 5.10$ .

تمرين 30.9 ★

تسع قنينة $1.5$ ل. فكم لترًا في رزمة من $6$ قنينات؟ وتشرب أسرة $0.75$ ل في اليوم: فكم يومًا تكفيها الرزمة الواحدة؟ (كم مرة يدخل $0.75$ في $9$ ؟)

حل

حل التمرين 30.9.

الرزمة: $1.5 \times 6 = 9$ ل. والأيام: $0.75 + 0.75 = 1.5$ ل كل يومين، إذن تكفي $9$ ل مدة $12$ يومًا (اثنتا عشرة حصة من $0.75$ : $12 \times 0.75 = 9$ ).

تمرين 30.10 ★★

يحسب مالك $5.6 \times 3 = 15.18$ ، محتجًّا بأن « $5 \times 3 = 15$ و $6 \times 3 = 18$ ». اِستعمل تقديرًا لتبيّن أن الجواب لا بد أن يكون خاطئًا، ثم احسب بالصواب.

حل

حل التمرين 30.10.

التقدير: $5.6$ أكبر من $5.5$ ، و $5.5 \times 3 = 16.5$ — إذن يجب أن يكون الجداء أكبر من $16.5$ ، والعدد $15.18$ أصغر من ذلك. وبالصواب: $56 \times 3 = 168$ ، ورقم عشري واحد، إذن $5.6 \times 3 = 16.8$ . وقد ألصق مالك جداءيه الجزئيين ( $15$ و $18$ ) جنبًا إلى جنب بدل جمعهما بمراتبهما: $15 + 1.8 = 16.8$ .

تمرين 30.11 ★★

دارت أربع لفّات لعدّاءة في $65.4$ ثا و $64.9$ ثا و $65.0$ ثا و $66.1$ ثا.

احسب الزمن الكلي للفّات الأربع.
والرقم القياسي لأربع لفّات هو $260$ ثا. فهل حطّمته؟ وبكم؟

حل

حل التمرين 30.11.

1. $65.4 + 64.9 + 65.0 + 66.1 = 261.4$ ثا.

2. $261.4 > 260$ : فهي لم تحطّم الرقم القياسي؛ بل تجاوزته بمقدار $1.4$ ثا.