53المساحات والأحجام

حل المسألة 53.1.

1. المربع: $8 \times 8 = 64$. والمستطيل: $5 \times 13 = 65$. فالقطع الأربع نفسها تبدو وكأنها تغطّي $64$ وحدة مربعة في شكل و $65$ في الآخر: أي إن وحدة مساحة خُلقت من العدم — زعمًا.

2. كل مثلث: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$. وكل شبه منحرف: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$.

3. $12 + 12 + 20 + 20 = 64$: فمجموع القطع $64$، إذن تستطيع ملء المربع بالضبط — ولا تستطيع ملء المستطيل ذي $65$ وحدة. فلا بدّ أن تحوي صورة المستطيل ثقبًا.

4. الميل نفسه يعني أن $3$ على مدى $8$ متناسب مع $2$ على مدى $5$؛ والجداءان المتقاطعان: $3 \times 5 = 15$ و $2 \times 8 = 16$. وهما غير متساويين: إذن الوتر والحرف المائل لا يصطفّان. و«قطر» المستطيل كذبة — أي ميلان مختلفان قليلًا يلتقيان بزاوية ضحلة.

5. على طول القطر الزائف تترك القطع الأربع فجوة طويلة رفيعة جدًّا — شظية على شكل متوازي أضلاع مسطّح جدًّا — مساحتها بالضبط الوحدة المربعة الناقصة $65 - 64 = 1$. وممدودةً على قطر طوله نحو $13$ وحدة، يكون عرضها المتوسط نحو $1 \div 13 \approx 0.08$ وحدة: أي، على رسم حقيقي، أرفع من خطّ القلم الذي يخفيها.

6. كل مثلث قاعدته $6$ سم واِرتفاعه $4$ سم — وهو المسافة بين المتوازيين، أينما وقع الرأس — إذن مساحة كل واحد $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ سم$^2$ (المبرهنة 53.3). وإزلاق الرأس على الموازي يغيّر الشكل، لا القاعدة ولا الارتفاع: فالمساحات متساوية إلى الأبد.

7. القطر يقطع شبه المنحرف إلى مثلث قاعدته $B$ ومثلث قاعدته $b$، كلاهما باِرتفاع $h$ (وهو المسافة بين الضلعين المتوازيين):

8. $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ سم$^2$.

9. متوسط الضلعين المتوازيين هو $\frac{B + b}{2}$، إذن (المتوسط) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$: أي الصيغة نفسها، معمّلة تعميلًا مختلفًا. والتحقّق: المتوسط $= \frac{9+5}{2} = 7$، و $7 \times 4 = 28$ سم$^2$.

10. الكدس المائل يحوي الورق نفسه بالضبط — الطبقات نفسها، وكل واحدة بالمساحة نفسها — إذن الحجم نفسه. وفي $V = B \times h$، يجب أن يُقاس الارتفاع عموديًّا على القاعدة (أي اِرتفاع الكدس العمودي)، لا على طول الميل: تمامًا كما تريد مساحة متوازي الأضلاع الارتفاعَ العمودي، لا الضلع المائل (التمرين 53.2)، ببُعد إضافي.

11. الحلقة $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi \approx 50$ م$^2$ (المبرهنة 53.5).

12. القرص ذو المساحة $16\pi$ نصف قطره $4$، لأن $\pi \times 4^2 = 16\pi$. وأنصاف الأقطار $3$ و $4$ و $5$: أشهر ثلاثية في الرياضيات، تلعب البطولة في الفصل 58.

13. البيتزا الواحدة $40$ سم: نصف قطرها $20$، ومساحتها $\pi \times 400 \approx 1\,257$ سم$^2$. والبيتزاتان $28$ سم: نصف القطر $14$، ومعًا $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ سم$^2$. فالبيتزا الكبيرة الواحدة بيتزا أكثر من المتوسطتين.

14. تكبير نصف القطر بالمعامل $1.4$ يكبّر المساحة بالمعامل $1.4^2 = 1.96$ — أي الضعف تقريبًا. والمعامل المضبوط هو العدد الذي مربّعه $2$، ونحوه $1.414$: وهو عدد القطر في المثال 58.9. (وقاعدة تقريبية: نصف زيادة في العرض يعطي ضعف البيتزا تقريبًا.)

15. $13 \times 13 = 169$، لكن $8 \times 21 = 168$: ففي هذه المرة تختفي وحدة مربعة — إذ تتراكب القطع في شظية رفيعة بدل أن تترك فجوة. ومع الحدود المتتالية $3, 5, 8, 13, 21$ من متتالية هيماشندرا–فيبوناتشي، تتقلّب الجداءات بين واحد زائد وواحد ناقص عن المربع ($5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$، ثم $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$): فالساحر «يكسب» و«يخسر» وحدة بالتناوب. والمساحات لا تكذب أبدًا: فالقطع التي مجموعها $64$ تغطّي $64$، أينما اِنزلقت — وكل وحدة ناقصة أو زائدة مختبئة في شظية، تنتظر فحص ميل يفضحها.