57الحساب الحرفي والمعادلات

حل المسألة 57.1.

1. التوزيعية المضاعفة (المبرهنة 57.1) مع $c = a$ و $d = b$:

لأن $ab$ و $ba$ هما الجداء نفسه.

2. النشر نفسه، مع اِنتباه للإشارات:

وهذه المرة يتلاشى الحدّان المتقاطعان $-ab$ و $+ba$ بدل أن يتضاعفا.

3. المربع الذي طول ضلعه $a + b$ ينقطع إلى أربع قطع: مربع $a \times a$ (وهو $a^2$)، ومربع $b \times b$ (وهو $b^2$)، ومستطيلان $a \times b$ (وهما معًا $2ab$). والمتطابقة $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ هي القول بأن المساحات الأربع تملأ المربع الكبير — وهي صورة التوزيعية المضاعفة مع شقّ الطرفين بالطريقة نفسها.

4. بالمتطابقات:

5. من أجل $a = 3$ و $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$ لكن $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. فصيغة زينة تنسى المستطيلين $a \times b$ في الصورة — أي المقدار الناقص $2ab = 24$، وفعلًا $25 + 24 = 49$.

6. $1$؛ و $1 + 3 = 4$؛ و $1 + 3 + 5 = 9$؛ و $1 + 3 + 5 + 7 = 16$؛ و $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. والنتائج هي المربعات التامّة $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$.

7. تبدأ الأعداد الفردية من $1$ وتصعد بخطوات مقدارها $2$: فذو الرتبة $n$ يُبلَغ بعد $n - 1$ خطوة مقدارها $2$ من $1$، إذن يساوي $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. والتحقّق: $n = 1, 2, 3$ تعطي $1, 3, 5$.

8. بالمتطابقة الأولى،

فالفرق بين مربعين متتاليين هو بالضبط العدد الفردي ذو الرتبة $(n+1)$ (السؤال 7 مع $n + 1$ مكان $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$).

9. اِبنِ المربعات واحدًا بعد الآخر. اِبدأ بخلية واحدة: $1 = 1^2$. وللانتقال من المربع ذي الضلع $1$ إلى المربع ذي الضلع $2$، أضِف $2 \times 1 + 1 = 3$ خلايا (السؤال 8): فتجد $1 + 3 = 2^2$. وللانتقال إلى الضلع $3$، أضِف $2 \times 2 + 1 = 5$ خلايا: فتجد $1 + 3 + 5 = 3^2$. وكل عدد فردي جديد هو بالضبط الطبقة على شكل حرف L التي تكمل المربع التالي، إذن بعد إضافة الأعداد الفردية $n$ الأولى يكتمل المربع ذو الضلع $n$: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

10. الأعداد الفردية من $1$ إلى $99$ هي الأولى $50$ منها (فالمعادلة $2n - 1 = 99$ تعطي $n = 50$)، إذن

والمجموع $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ يستلزم $n = 20$: فالأعداد الفردية العشرون الأولى (من $1$ إلى $39$) مجموعها $400$.

11. $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: وهي المتطابقة الأولى مع $a = x$ و $b = 3$. إذن تُقرأ المعادلة $(x + 3)^2 = 0$. والمربع لا ينعدم إلا حين ينعدم العدد نفسه (المبرهنة 54.1: فالعدد غير المعدوم مسافته غير معدومة، إذن مسافة مربعه غير معدومة أيضًا). ومنه $x + 3 = 0$: فالحلّ الوحيد هو $x = -3$.

12. حسب المبرهنة 54.1، تكون مسافة الجداء جداء المسافتين. فإذا كان العاملان غير معدومين، كانت المسافتان غير معدومتين، فتكون مسافة الجداء غير معدومة: فلا يمكن للجداء أن يكون $0$. ومنه فالجداء المعدوم يفرض عاملًا معدومًا واحدًا على الأقلّ. ومن أجل $(x - 2)(x + 5) = 0$: إما $x - 2 = 0$ وإما $x + 5 = 0$، فيعطيان الحلّين $x = 2$ و $x = -5$.

13. تصير $x^2 = 49$ هي $x^2 - 49 = 0$، والمتطابقة الثالثة تعمّلها:

وبالسؤال 12، $x = 7$ أو $x = -7$: أي حلّان. وكل معادلة حُلّت حتى الآن في هذا الفصل كانت من الدرجة الأولى ولها حلّ واحد بالضبط؛ أما المربع في المعادلة فقد ينتج حلّين.

14. اُنقل كل شيء إلى الطرف الأيسر: $x^2 - 6x + 9 = 0$، وتعرّف على المتطابقة الثانية: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. إذن المعادلة هي $(x - 3)^2 = 0$، وهي تفرض $x - 3 = 0$ (كما في السؤال 11): فالقيمة $x = 3$ هي الحلّ الوحيد لا غير — وقد وجده تحقّق التمرين 57.3، والتعميل يبرهن على أنه لا حلول غيره.

15. بالمتطابقة الثالثة،

وعمومًا $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: أي إن فرق مربعين متتاليين هو مجموع العددين — وهو $2n + 1$ نفسه الذي في السؤال 8، محصولًا عليه الآن من المتطابقة الثالثة بدل الأولى.