55الكسور: العمليات الأربع

حل المسألة 55.1.

1. $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ و $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$. إذن $\frac56 = \frac12 + \frac13$ و $\frac34 = \frac12 + \frac14$ كتابتان مصريتان (كسران واحديان متمايزان في كل منهما).

2. بالمقام المشترك $28$:

3. $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$، و $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$. وعمومًا، المقام المشترك للكسرين $\frac{1}{n+1}$ و $\frac{1}{n(n+1)}$ هو $n(n+1)$:

4. اِنطلق من $1 = \frac12 + \frac12$ وشطّر النصف الثاني بالسؤال 3:

أي ثلاثة كسور واحدية متمايزة.

5. تشطير $\frac13$ في $\frac56 = \frac12 + \frac13$ يعطي

ولا تكون أيّ كتابة مصرية وحيدة أبدًا: فمتطابقة التشطير تستطيع دائمًا أن تعوّض الكسر الواحدي ذا المقام الأكبر بكسرين واحديين جديدين أصغر — فمن أيّ كتابة يُصنع أخرى.

6. بالمقام $21$: $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$. وبالمقام $28$: $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$. والكسور الواحدية تصغر كلما كبرت مقاماتها، $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$؛ وبما أن $\frac13$ (وكل ما فوقه) كبير جدًّا و $\frac14$ يدخل، فإن $\frac14$ أكبر كسر واحدي أصغر من $\frac27$.

7. $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$: فتنتج الطريقة الجشعة $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$، وهو بالضبط مدخل الكتبة في السؤال 2.

8. بالمقام $14$: $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$، بينما الكسر الواحدي الوحيد الأكبر، وهو $1$، يتجاوز $\frac57$. إذن $\frac12$ هو الأكبر الذي يدخل، ومنه

9. بالمقام $28$: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$، إذن $\frac14$ كبير جدًّا. وبالمقام $70$: $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$، إذن $\frac15$ يدخل: فهو أكبر كسر واحدي أصغر من $\frac{3}{14}$. ثم

والتحقّق: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$.

10. الخطوة الأولى: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ و $1 > \frac45$، إذن اِطرح $\frac12$: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$. والخطوة الثانية: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ كبير جدًّا، و $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ يدخل، إذن اِطرح $\frac14$: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$. والخاتمة:

11. بسوط البواقي المتعاقبة هي: من أجل $\frac27$: $2$ ثم $1$؛ ومن أجل $\frac57$: $5$ ثم $3$ ثم $1$؛ ومن أجل $\frac45$: $4$ ثم $3$ ثم $1$. وكل قائمة متناقصة تمامًا.

12. المقام المشترك للكسرين $\frac ab$ و $\frac1n$ هو $b \times n$:

13. على المقام المشترك $b \times (n-1)$، تقارن المتراجحة $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ البسطين $b$ و $a \times (n - 1)$:

وبجمع $a - b$ إلى الطرفين نجد $a > a \times n - b$. إذن بعد كل خطوة جشعة يكون بسط الباقي (السؤال 12) عددًا صحيحًا أصغر تمامًا من الذي قبله. والأعداد الصحيحة لا يمكن أن تتناقص تمامًا إلى الأبد: فبعد $a$ خطوة على الأكثر يصير بسط الباقي $1$ — أي كسر واحدي — أو $0$، فتتوقف الطريقة.

14. بالمقام المشترك $18$:

وهو أصغر من $1$: فقد نسيت الوصية $\frac{1}{18}$ من القطيع. وتلك الفجوة هي الحيلة كلها. فمن أصل $18$ جملًا تكون الأنصبة $\frac12$ و $\frac13$ و $\frac19$ الأعداد الصحيحة $9$ و $6$ و $2$، ومجموعها $9 + 6 + 2 = 17$: أي القطيع بالضبط، ويعود الجمل الثامن عشر إلى بيته. ولا يستطيع أحد أن يشتكي: فقد وعدت الوصية، من أصل $17$ جملًا، $\frac{17}{2} = 8.5$، ثم $\frac{17}{3} \approx 5.67$، ثم $\frac{17}{9} \approx 1.89$ جملًا، ونال كل اِبن أكثر من ذلك تمامًا ($9$ و $6$ و $2$). والكسر $\frac{1}{18}$ المنسيّ هو ما ملأه جمل الجار مؤقتًا.

15. يقدّم السؤال 4 الوصية المُصلَحة:

وتكون الأنصبة أعدادًا صحيحة حين يكون حجم القطيع قابلًا للقسمة على $2$ وعلى $3$ وعلى $6$ — أي قابلًا للقسمة على $6$. وأصغر قطيع كهذا $6$ جمال: فالأنصبة $3$ و $2$ و $1$، ولا يفضل شيء.