38الأعداد العشرية

حل المسألة 38.1.

1. العدد $3$ أكبر: فبالحشو، $3.000 > 2.999$. والفرق هو $3.000 - 2.999 = 0.001$، أي جزء واحد من ألف.

2. تقع تمامًا بين $7.4 = 7.40$ و $7.5 = 7.50$ الأعداد

أي تسعة أعداد، واحد لكل تدريجة جديدة.

3. الصورة نفسها، أصغر عشر مرات: فبين $7.440$ و $7.450$ تقع $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — أي تسعة أعداد من جديد.

4. بين $7.400$ و $7.500$، الأعداد ذات الأرقام العشرية الثلاثة هي $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: أي كل الأجزاء من ألف من $401$ إلى $499$، وذلك $99$ عددًا.

5. وصفة التكبير: اُكتب العددين بالعدد نفسه من المراتب العشرية، ثم أضف مرتبة عشرية واحدة — فالعدد الأصغر متبوعًا برقم من $1$ إلى $9$ يقع تمامًا بينهما. وفعلًا $5.67 = 5.670$ و $5.68 = 5.680$، و

وكذلك $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. فبين تدريجتين متجاورتين يوجد دائمًا مستوى كامل جديد من تسع تدريجات أدقّ.

6. $3 < 3.05 < 3.1$؛ ثم $3 < 3.005 < 3.01$؛ ثم $3 < 3.0005 < 3.001$. فكل مرشّح يغلبه تكبير إضافي.

7. مهما اقترح عمر من عدد — سمِّه مرشّحه، وهو أكبر تمامًا من $3$ — ينتج السؤال 5 عددًا يقع تمامًا بين $3$ والمرشّح. فالمرشّح إذن ليس أقرب الأعداد إلى $3$: فهناك ما هو أقرب منه. وبما أن هذا يحدث لكل مرشّح بلا استثناء، فلا يمكن لعدد أن يكون «العدد الذي يلي $3$ مباشرة»: فهو ببساطة لا وجود له.

8. $2.9 < 2.95 < 3$، $2.99 < 2.995 < 3$، $2.999 < 2.9995 < 3$. و $3 - 2.999 = 0.001$. ومع عشرين تسعة، يكون الفرق نقطة عشرية متبوعة بتسعة عشر صفرًا ثم $1$ — أي وحدة واحدة في المرتبة العشرية العشرين: ضئيلة، لكنها ليست صفرًا. ومهما كتب عمر من تسعات، فلن يبلغ $3$ أبدًا.

9. الأعداد الصحيحة تصعد بخطوات من $1$: فأن يكون العدد أكبر من $7$ وأصغر من $8$ يعني عددًا صحيحًا من الوحدات يقع تمامًا بين $7$ و $8$ وحدات، ولا وجود له. والتكبير لا يفلت من ذلك إلا بكتابة أرقام بعد النقطة — وهو بالضبط ما لا تملكه الأعداد الصحيحة.

10. أصغر طول يقرَّب إلى $3.7$ هو $3.65$ سم: فرقمه التالي $5$، وهو يقرِّب إلى الأعلى (التعريف 38.9). والعدد $3.75$ يقرَّب إلى $3.8$ للسبب نفسه. إذن «$3.7$ سم إلى أقرب عُشر» تعني: $3.65$ سم على الأقل، وأصغر تمامًا من $3.75$ سم — فقطعة كاملة مكبَّرة من الأطوال الممكنة تختبئ وراء قيمة مقرَّبة واحدة.

11. $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. وفي جملة واحدة: بالمقارنة رقمًا رقمًا من اليسار، في $0.0999$ يوجد $0$ من الأعشار وفي $0.6$ يوجد $6$، وعند ذلك ينتهي الأمر — فعدد الأرقام المكتوبة لا يقول شيئًا عن الحجم (الطريقة 38.3).

12. لا: فبالقروش، $4.99$ من العملة هي $499$ قرشًا و $5$ من العملة هي $500$ قرش — وهما عددان صحيحان متتاليان، ولا شيء بينهما. فالأثمان، إذ لها رقمان عشريان بالضبط، هي في الحقيقة أعداد صحيحة من القروش متنكرة: فهي كالأعداد الصحيحة في السؤال 9 لها جيران ملاصقون. أما التكبير اللانهائي فيحتاج إلى حق كتابة مراتب عشرية بلا حدّ.

13. المرشّحان القريبان من $6$ هما $5.82$ و $8.25$ (فالعدد الذي يبدأ بالرقم $2$، أو بالعدد $58$ أو $25$ أو $82$ أو $85$، بعيد عن $6$). والمسافتان: $6 - 5.82 = 0.18$ و $8.25 - 6 = 2.25$. فالأقرب هو $5.82$.

14. مثلًا $3.1415$، لأن $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$؛ ثم $3.14159$، لأن $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (وكلاهما خطوتان حقيقيتان في الصيد الفعلي للعدد $\pi = 3.14159\dots$)

15. اِفترض أن أحدًا سمّى عددًا، مهما كان كبيرًا. فتكبير واحد يحوّل كل زوج من التدريجات المتجاورة بين $0$ و $1$ إلى تسعة أعداد جديدة، ويمكن تكرار التكبير إلى الأبد — ولم تكن الأسئلة 2 و 3 و 4 إلا أول مستويين. وتكراره مرات كافية ينتج من الأعداد العشرية بين $0$ و $1$ أكثر من العدد المسمّى. فلا عدد يكفي لعدّها: فهي غير منتهية.