الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

66الجبر والمعادلات

الحروف تنوب عن الأعداد، والحساب بالحروف يبرهن على وقائع تخصّ كل الأعداد دفعةً واحدة. ويتمرّن هذا الفصل على النشر والتفكيك — بما فيه المتطابقات الثلاث التي سترافقك في الرياضيات كلّها — ويحلّ معادلات الدرجة الأولى، ومعادلات الجداء، والمتباينات البسيطة، خطوةً مبرَّرة في كل مرّة.

66.1 النشر

تعريف 66.1 (النشر)

النشر هو تحويل جداء إلى مجموع، باِستعمال التوزيعية:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

مثال 66.2

كل حدّ من القوس الأول يضرب كل حدّ من الثاني:

\begin{align*} (x + 3)(2x + 5) &= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\ &= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\ &= 2x^2 + 11x + 15 . \end{align*}

والإشارات ترافق الحدود:

\begin{align*} (3x - 2)(x - 4) &= 3x^2 - 12x - 2x + 8 = 3x^2 - 14x + 8 . \end{align*}

مبرهنة 66.3 (المتطابقات الثلاث)

من أجل كل عددين $a$ و $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

برهان. اُنشر الطرف الأول من كل متطابقة. ففي الأولى: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . وفي الثانية، يكفي أن يصير $b$ هو $-b$ في الأولى. وفي الثالثة: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (فالحدّان المتقاطعان يتلاشيان). ∎

المتطابقة (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 منظورًا إليها كمساحات: المربّع الكبير ذو الضلع a+b مؤلّف من مربّعين ومستطيلين متساويين. ونسيان «2ab» هو نسيان المستطيلين! — المتطابقة $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ منظورًا إليها كمساحات: المربّع الكبير ذو الضلع $a+b$ مؤلّف من مربّعين ومستطيلين متساويين. ونسيان « $2ab$ » هو نسيان المستطيلين!

مثال 66.4

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad (2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .

وحساب ذهني: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$ ، و $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$ .

66.2 التفكيك

طريقة 66.5 (التفكيك)

لتفكيك عبارة، جرّب بالترتيب:

العامل المشترك: $ka + kb = k(a + b)$ ، حيث قد يكون $k$ نفسه قوسًا؛
فرق مربّعين: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ؛
المربّع التامّ: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (ومع $-2ab$ ، يكون $(a-b)^2$ ).

وتحقّق دائمًا بنشر النتيجة.

مثال 66.6

العامل المشترك: $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$ .

القوس المشترك:

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr] = (x+2)(4x+3).

فرق مربّعين: $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$ ، و

(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).

ولكل عامل عامل مشترك بعدُ: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$ .

66.3 المعادلات

طريقة 66.7 (معادلات الدرجة الأولى)

لحلّ معادلة مثل $5x - 3 = 2x + 9$ :

اِجمع حدود $x$ في طرف، والأعداد في الطرف الآخر، بإضافة المقدار نفسه إلى الطرفين؛
واِختزل كل طرف؛
واِقسم الطرفين على معامل $x$ ؛
وتحقّق من الحل في المعادلة الأصلية.

مثال 66.8

\begin{align*} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(بإضافة $3 - 2x$ إلى الطرفين)}\\ 3x &= 12 \\ x &= 4 && \text{(بالقسمة على 3).} \end{align*}

التحقّق: $5 \times 4 - 3 = 17$ و $2 \times 4 + 9 = 17$ . فالحل هو $4$ .

ومع الأقواس، اُنشر أولًا: $3(x - 2) = x + 8$ تصير $3x - 6 = x + 8$ ، إذن $2x = 14$ و $x = 7$ .

مبرهنة 66.9 (قاعدة الجداء المعدوم)

الجداء معدوم إذا وفقط إذا كان أحد عوامله على الأقل معدومًا:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ أو } \ B = 0 .

برهان. إذا كان أحد العوامل معدومًا فمن الواضح أنّ الجداء معدوم. وبالعكس، إذا كان $A B = 0$ مع $A \neq 0$ ، فبقسمة الطرفين على $A$ نجد $B = 0$ . ∎

مثال 66.10

حُلّ $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : إمّا $x - 3 = 0$ أو $2x + 10 = 0$ ، إذن الحلّان $3$ و $-5$ .

وحُلّ $x^2 - 49 = 0$ : فكّك أولًا، $(x-7)(x+7) = 0$ ، والحلّان $7$ و $-7$ .

وحُلّ $x^2 = 3x$ : لا تقسم على $x$ أبدًا! اِنقل وفكّك: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$ ، والحلّان $0$ و $3$ .

66.4 المتباينات

قضية 66.11 (قواعد المتباينات)

تُحفظ المتباينة عند إضافة العدد نفسه إلى الطرفين، وعند ضرب الطرفين في العدد الموجب نفسه. أمّا الضرب في عدد سالب فيعكس إشارة المتباينة.

برهان. إذا كان $a \leq b$ فإنّ $b - a \geq 0$ . وبإضافة $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$ ، إذن $a + c \leq b + c$ . وبالضرب في $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$ ، إذن $ac \leq bc$ . وبالضرب في $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$ ، إذن $ac \geq bc$ : فينعكس الترتيب. ∎

مثال 66.12

حُلّ $7 - 2x < 15$ :

\begin{align*} 7 - 2x &< 15 \\ -2x &< 8 && \text{(بطرح 7)} \\ x &> -4 && \text{(بالقسمة على $-2$: اِعكس الإشارة).} \end{align*}

الحلول هي كل الأعداد الأكبر من $-4$ : وعلى مستقيم الأعداد، نقطة مجوّفة عند $-4$ وتظليل نحو اليمين.

حلول 7 - 2x < 15: كل x > -4 (نقطة مجوّفة: فالعدد -4 نفسه ليس حلًّا). — حلول $7 - 2x < 15$ : كل $x > -4$ (نقطة مجوّفة: فالعدد $-4$ نفسه ليس حلًّا).

66.5 تمارين

تمرين 66.1 ★

اُنشر واِختزل:

4(3x - 2), \qquad (x + 6)(x + 2), \qquad (2x - 3)(x + 5), \qquad (x - 1)(x - 9).

حل

حل التمرين 66.1.

$4(3x - 2) = 12x - 8$ .

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$ .

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ .

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

تمرين 66.2 ★

اُنشر باِستعمال المتطابقات:

(x + 8)^2, \qquad (3x - 4)^2, \qquad (x + 10)(x - 10), \qquad (5x + 2)(5x - 2).

حل

حل التمرين 66.2.

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$ .

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ .

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$ .

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$ .

تمرين 66.3 ★

اِحسب ذهنيًّا، باِستعمال متطابقة: $101^2$ ؛ $59^2$ (اُكتب $59 = 60 - 1$ )؛ $53 \times 47$ .

حل

حل التمرين 66.3.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$ .

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$ .

تمرين 66.4 ★

فكّك:

9x + 12, \qquad x^2 - 64, \qquad x^2 + 14x + 49, \qquad 18x^2 - 6x .

حل

حل التمرين 66.4.

$9x + 12 = 3(3x + 4)$ .

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ .

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$ .

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$ .

تمرين 66.5 ★

حُلّ، كاتبًا كل خطوة:

4x + 7 = 19, \qquad 6x - 5 = 2x + 11, \qquad 5(x - 3) = 3x + 1 .

حل

حل التمرين 66.5.

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$ ، إذن $x = 3$ .

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$ ، إذن $x = 4$ .

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$ ، إذن $2x = 16$ و $x = 8$ .

تمرين 66.6 ★★

حُلّ باِستعمال قاعدة الجداء المعدوم:

(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad x^2 - 121 = 0, \qquad (2x - 1)^2 = 0, \qquad x^2 = 8x .

حل

حل التمرين 66.6.

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ أو $x = 4$ .

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ أو $x = -11$ .

$(2x-1)^2 = 0$ : الحل الوحيد $x = \frac12$ .

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$ ، إذن $x = 0$ أو $x = 8$ .

تمرين 66.7 ★★

فكّك $E = (3x + 2)^2 - 25$ ، ثم حُلّ $E = 0$ .

حل

حل التمرين 66.7.

فرق مربّعين مع $a = 3x + 2$ و $b = 5$ :

E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).

وقاعدة الجداء المعدوم: $3x + 7 = 0$ يعطي $x = -\frac73$ ، و $3x - 3 = 0$ يعطي $x = 1$ .

تمرين 66.8 ★★

حُلّ المتباينات ومثّل الحلول على مستقيم الأعداد:

3x - 4 \geq 8, \qquad 5 - 2x > 1, \qquad 4(x + 1) \leq x - 5 .

حل

حل التمرين 66.8.

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$ ، إذن $x \geq 4$ (نقطة ممتلئة عند $4$ ، وتظليل نحو اليمين).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$ ، والقسمة على $-2$ تعكس الإشارة: $x < 2$ (نقطة مجوّفة عند $2$ ، وتظليل نحو اليسار).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$ ، إذن $3x \leq -9$ ، إذن $x \leq -3$ (نقطة ممتلئة عند $-3$ ، وتظليل نحو اليسار).

تمرين 66.9 ★★

أفكّر في عدد، فأضربه في $3$ ، وأضيف $7$ ، فأحصل على النتيجة نفسها التي أحصل عليها لو ضربته في $5$ وطرحت $9$ . فما عددي؟ (كوّن معادلة وحُلّها.)

حل

حل التمرين 66.9.

ليكن $x$ العدد: $3x + 7 = 5x - 9$ . إذن $16 = 2x$ ، ومنه $x = 8$ . والتحقّق: $3 \times 8 + 7 = 31$ و $5 \times 8 - 9 = 31$ .

تمرين 66.10 ★★★

ليكن $n$ عددًا صحيحًا.

اُنشر $(n + 1)(n - 1)$ واِستنتج أنّ جداء جاري العدد $n$ يساوي دائمًا $n^2 - 1$ (مثلًا $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
وبيّن أنّ مجموع ثلاثة أعداد صحيحة متتالية هو دائمًا مضاعف للعدد $3$ .

حل

حل التمرين 66.10.

1. $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (المتطابقة الثالثة). وجارا العدد $n$ هما $n - 1$ و $n + 1$ ، فيكون جداؤهما $n^2 - 1$ : مثلًا $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$ .

2. تُكتب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية $n - 1$ و $n$ و $n + 1$ . ومجموعها

(n-1) + n + (n+1) = 3n ,

وهو مضاعف للعدد $3$ (ثلاثة أمثال الأوسط).

66.6 مسألة: جبر الأرقام

مسألة 66.1

مسألة نهاية الأسبوع — لماذا تشتغل قواعد قابلية القسمة، وكشف حيلة 1089، وحساب ذهني يشبه السحر

علّمتك المدرسة قواعد (فالعدد قابل للقسمة على $9$ حين يكون مجموع أرقامه كذلك)؛ ويؤدّي السحرة حيلًا (فينتهي الجميع عند $1089$ )؛ وتعرف الأسواق اِختصارات ( $35^2 = 1225$ ، في الحال). وكل ذلك سرّ واحد: فالعدد ذو الأرقام $a$ و $b$ و $c$ هو العبارة $100a + 10b + c$ ، وجبر هذا الفصل (المبرهنة 66.3، والنشر، والتفكيك) قادر على تفكيكه. وفي نهاية هذه المسألة تكون قد برهنت على القواعد، وكشفت الحيلة، وتعلّمت السحر.

الجزء الأول — الأرقام تحت المجهر.

العدد ذو الرقمين الذي رقم عشراته $a$ ورقم آحاده $b$ هو $10a + b$ . اُنشر وفكّك الفرق بين العدد ومقلوبه، $(10a + b) - (10b + a)$ ، واُذكر الاِكتشاف. وتحقّق منه على $72 - 27$ .
وبرهن على قاعدة التسعة من أجل الأعداد ذات الثلاثة أرقام: تحقّق من المتطابقة

$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$

وفسّر لماذا تبيّن أنّ العدد ومجموع أرقامه يتركان الباقي نفسه في القسمة على $9$ — فيكون أحدهما قابلًا للقسمة على $9$ بالضبط حين يكون الآخر كذلك (القضية 64.3، وقد بُرهن عليها الآن).
واِستنتج قاعدة الثلاثة من المتطابقة نفسها، في جملة واحدة.
و«طرح التساعات»، تحقّق المحاسبين: لاِختبار $47 \times 86 = 4\,042$ ، اِستبدل بكل عدد مجموع مجموع أرقامه: $47 \to 11 \to 2$ ، و $86 \to 14 \to 5$ ، و $2 \times 5 = 10 \to 1$ ؛ ثم $4\,042 \to 10 \to 1$ : فمتّسق. فسّر لماذا يجب أن يجتاز الجداء الصحيح الاِختبار (اُكتب $47 = 9k + 2$ ، و $86 = 9l + 5$ واُنشر)، وجِد نتيجة خاطئة يعجز الاِختبار عن اِلتقاطها (لماذا تكون الأرقام المتبادلة غير مرئية له؟).
وبرهن على قاعدة الأحد عشر من أجل الأعداد ذات الأربعة أرقام: تحقّق من

$1000a + 100b + 10c + d = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$

واِستعملها لتقرّر ما إذا كان $2\,926$ قابلًا للقسمة على $11$ .

الجزء الثاني — حيلة 1089. الحيلة: فكّر في عدد ذي ثلاثة أرقام يختلف رقمه الأول وآخره بمقدار $2$ على الأقل؛ واِقلبه؛ واِطرح الأصغر من الأكبر؛ واِقلب النتيجة؛ واِجمع العددين الأخيرين. فيعلن الساحر: 1089.

أدِّ الحيلة على $742$ وعلى عدد من اِختيارك.
وليكن العدد ذا الأرقام $a$ و $b$ و $c$ مع $a > c$ . فكّك الطرح الأول، $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ ، واُذكر كل القيم التي يمكن أن يأخذها حين يمشي $a - c$ من $2$ إلى $9$ .
ولكل مضاعف من مضاعفات $99$ هذه نمط لافت في أرقامه. وبكتابة $m = a - c$ ، تحقّق من المتطابقة

$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$

واِقرأ منها الأرقام الثلاثة للعدد $99m$ .
واِجمع $99m$ مع مقلوبه، مستعملًا أرقام السؤال 8، وبرهن أنّ المجموع هو $1089$ — مهما كان $m$ . ماتت الحيلة؛ فليحيَ الجبر.
ولماذا اِشترط الساحر أن يختلف الرقمان الأول والأخير بمقدار $2$ على الأقل؟ اُنظر في الحالتين $a = c$ و $a - c = 1$ (حيث يعطي الطرح $99$ ، الذي يجب أن يُكتب $099$ ليشتغل القلب)، واُذكر الشرط الصغير الذي يُبقي الحيلة أمينة.

الجزء الثالث — سحر للاِستعمال اليومي.

حيلة عيد الميلاد: «اِضرب شهر ميلادك في $5$ ، وأضِف $7$ ، وضاعِف، وأضِف يوم ميلادك، واِطرح $14$ ». بيّن أنّ النتيجة هي دائمًا $10m + d$ — الشهر واليوم، مقروءين بنظرة واحدة. (جرّبها على أحدهم.)
وتعيد تصميم الحيلة هكذا: «اِضرب الشهر في $5$ ، وأضِف $9$ ، وضاعِف، وأضِف اليوم». فما العدد الذي يجب أن يطرحه المتفرّج في النهاية ليقرأ الشهر واليوم نفسيهما؟
وحيلة الرقم الناقص: يختار المتفرّج عددًا ما، ويطرح منه مجموع أرقامه (ويقول السؤال 2 إنّ النتيجة مضاعف للعدد $9$ دائمًا — فسّر ذلك من أجل عدد ذي ثلاثة أرقام)، ثم يشطب رقمًا غير معدوم ويقرأ عليك الأرقام الباقية. فسّر كيف تستعيد الرقم المشطوب، ولماذا وجب اِستبعاد $0$ .
وسحر السوق: برهن على المتطابقة $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ ، واُذكر قاعدة تربيع أيّ عدد ينتهي بالرقم $5$ ، واِحسب $45^2$ و $85^2$ و $105^2$ في رأسك.
والختام، بتوسيع التمرين 66.10: برهن أنّ مجموع خمسة أعداد صحيحة متتالية هو دائمًا مضاعف للعدد $5$ ، لكنّ مجموع أربعة أعداد صحيحة متتالية ليس أبدًا مضاعفًا للعدد $4$ . (حسابان قصيران — وعبرة واحدة عمّا يصنعه الجبر بكلمتَي «دائمًا» و«أبدًا».)

حل

حل المسألة 66.1.

1. $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$ : فالفرق بين عدد ذي رقمين ومقلوبه هو دائمًا مضاعف للعدد $9$ . والتحقّق: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$ ، و $a - b = 7 - 2 = 5$ .

2. بنشر الطرف الثاني: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c = 100a + 10b + c$ . إذن العدد يساوي مضاعفًا للعدد $9$ مضافًا إليه مجموع أرقامه: فبالقسمة على $9$ يتركان الباقي نفسه. وبخاصّة، الباقي $0$ لأحدهما يعني الباقي $0$ للآخر: وهي قاعدة التسعة، مبرهنًا عليها.

3. والعدد $9(11a + b)$ مضاعف للعدد $3$ أيضًا، فالمتطابقة نفسها تبيّن أنّ العدد ومجموع أرقامه يتركان الباقي نفسه في القسمة على $3$ : وهي قاعدة الثلاثة.

4. اُكتب $47 = 9k + 2$ و $86 = 9l + 5$ . إذن

47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5) = 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :

فيترك الجداء الباقي نفسه الذي يتركه $2 \times 5 = 10$ ، أي $1$ . ومن ثمّ يجب أن تترك النتيجة الصحيحة الباقي $1$ أيضًا — وهذا ما يفعله $4\,042$ . لكنّ الاِختبار لا يرى سوى البواقي: فالعددان $4\,042$ و $4\,402$ (بتبادل الرقمين) يجتازانه سواءً بسواء، فالنجاح لا يبرهن على شيء — والرسوب هو الذي يُدين.

5. بالنشر: $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d = 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d = 1000a + 100b + 10c + d$ . إذن العدد قابل للقسمة على $11$ بالضبط حين يكون مجموعه المتناوب $-a + b - c + d$ كذلك. ومن أجل $2\,926$ : $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$ ، وهو قابل للقسمة على $11$ : نعم، $2\,926 = 11 \times 266$ .

6. $742 - 247 = 495$ ؛ و $495 + 594 = 1\,089$ . وكل مثال صالح يقع على $1\,089$ أيضًا.

7. $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$ . ومن أجل $a - c = 2, 3, \dots, 9$ :

198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .

8. $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10 - m = 99m$ . إذن أرقام العدد $99m$ الثلاثة هي $m - 1$ ، ثم $9$ ، ثم $10 - m$ (تحقّق على $495$ : فالقيمة $m = 5$ تعطي $4$ و $9$ و $5$ ).

9. ومقلوب $99m$ أرقامه $10 - m$ و $9$ و $m - 1$ ، فهو يساوي $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$ . وبالجمع:

100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1) = 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,

من غير تعلّق بالعدد $m$ . فمهما كان العدد المنطلق منه، الساحر في أمان.

10. إذا كان $a = c$ ، أعطى الطرح $0$ وماتت الحيلة في الحال. وإذا كان $a - c = 1$ ، أعطى $99$ ، الذي يجب أن يُعامل كسلسلة من ثلاثة أرقام $099$ (مقلوبها $990$ ، و $99 + 990 = 1\,089$ : نجت!). والشرط الصغير: فروق $1$ لا تشتغل إلا إذا كتب المتفرّج نتيجة الطرح بثلاثة أرقام، بما فيها الصفر الأول — واِشتراط فجوة $2$ على الأقل يتجنّب الجدال.

11. $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$ : فالعشرات (والمئات، من أجل الشهور من العاشر إلى الثاني عشر) تعطي الشهر، والآحاد (والعشرات) تعطي اليوم.

12. $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$ : فليطرح $18$ .

13. حسب السؤال 2، $n - (\text{مجموع أرقام } n) = 9(11a + b)$ من أجل $n$ ذي ثلاثة أرقام: أي مضاعف للعدد $9$ دائمًا (وتشتغل متطابقات مشابهة مهما كان الطول). ومضاعف العدد $9$ مجموع أرقامه مضاعف للعدد $9$ (السؤال 2 مرّة أخرى)، فالأرقام التي يقرؤها المتفرّج يجب أن تُكمَّل إلى المضاعف التالي للعدد $9$ : والرقم الناقص هو ذلك المكمّل. والاِلتباس: إذا كان مجموع الأرقام المقروءة مضاعفًا للعدد $9$ أصلًا، فقد يكون الرقم المشطوب $0$ أو $9$ — واِستبعاد $0$ يزيل الشكّ.

14. $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 = 100\,t(t + 1) + 25$ : اُكتب $t(t+1)$ ، ثم أَلصِق $25$ خلفه. ففي $45^2$ : $4 \times 5 = 20$ ، إذن $2\,025$ . وفي $85^2$ : $8 \times 9 = 72$ ، إذن $7\,225$ . وفي $105^2$ : $10 \times 11 = 110$ ، إذن $11\,025$ .

15. خمسة متتالية: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$ : أي مضاعف للعدد $5$ ، دائمًا. وأربعة متتالية: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ : أي الباقي $2$ في القسمة على $4$ ، فلا يكون مضاعفًا أبدًا. والجبر يحوّل «يبدو أنّه يشتغل» إلى دائمًا، و«لم أجد مثالًا» إلى أبدًا — وهما كلمتان لا يبلغهما أيّ قدر من الاِختبار (الطريقة 48.8).

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

النشر

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد