الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

60المثلث القائم الزاوية وجيب التمام

واقعتان جميلتان تربطان المثلث القائم الزاوية بالدائرة: فالمثلث القائم الزاوية يسع بالضبط في نصف دائرة، ووتره قطر لها. وعدد واحد، هو جيب تمام الزاوية، يشفّر شكل كل مثلث قائم الزاوية فيه تلك الزاوية — وهو أول نسبة مثلثية، قبل أخويه الجيب والظلّ (الفصل 69).

60.1 المثلث القائم الزاوية ودائرته

مبرهنة 60.1 (مبرهنة الدائرة)

إذا كان مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ ، فإن $A$ تقع على الدائرة التي قطرها الوتر $[BC]$ .
وبالعكس، إذا كانت $A$ على دائرة قطرها $[BC]$ (مع $A \neq B, C$ )، فإن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ .

وبعبارة مكافئة: في المثلث القائم الزاوية، يكون منتصف الوتر على بُعد متساوٍ من الرؤوس الثلاثة — فالمتوسط الصادر من الزاوية القائمة يقيس نصف الوتر.

برهان 1. ليكن $O$ منتصف $[BC]$ و $D$ مماثلة $A$ بالنسبة إلى $O$ . فقطرا $ABDC$ يتقاطعان في منتصفهما المشترك $O$ ، إذن $ABDC$ متوازي أضلاع (التعريف 52.7) — فيه زاوية قائمة في $A$ : فهو مستطيل. وقطرا المستطيل متساويان، إذن $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : أي إن النقطة $A$ على بُعد $\frac{BC}{2}$ من $O$ ، أي على الدائرة التي قطرها $[BC]$ . (والنقطة 2 يُبرهن عليها بتشغيل الاستدلال بالمقلوب.) ∎

أينما وقعت A على الدائرة، تكون الزاوية BAC قائمة — وهو تخمين ، وقد صار مبرهنة. والمتوسط الأحمر [OA] نصف قطر: أي نصف الوتر. — أينما وقعت $A$ على الدائرة، تكون الزاوية $\widehat{BAC}$ قائمة — وهو تخمين التمرين 41.10، وقد صار مبرهنة. والمتوسط الأحمر $[OA]$ نصف قطر: أي نصف الوتر.

مثال 60.2

مثلث وتره $10$ سم. ودون معرفة أيّ شيء آخر، يقيس المتوسط الصادر من الزاوية القائمة $5$ سم، وتكون الدائرة المحيطة بالمثلث نصف قطرها $5$ سم، ومركزها منتصف الوتر.

60.2 جيب تمام زاوية حادّة

تعريف 60.3 (جيب التمام)

في مثلث قائم الزاوية، من أجل زاوية حادّة $\theta$ :

\cos\theta = \frac{\text{الضلع المجاور للزاوية } \theta}{\text{الوتر}}

— أي ضلع القائمة الملامس للزاوية $\theta$ ، مقسومًا على الوتر. وهذه النسبة تتوقف على الزاوية وحدها، لا على حجم المثلث: فكل المثلثات القائمة الزاوية ذات الزاوية الحادّة نفسها تكبيرات بعضها لبعض، والتكبيرات تحفظ نسب الأطوال (الفصل 59 بدأ هذه القصة؛ والفصل 68 يتمّها).

مثلثان قائما الزاوية يشتركان في الزاوية : فالصغير تصغير للكبير، إذن النسبة المجاور الوتر هي نفسها في الاثنين — وتلك القيمة المشتركة هي . — مثلثان قائما الزاوية يشتركان في الزاوية $\theta$ : فالصغير تصغير للكبير، إذن النسبة $\frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$ هي نفسها في الاثنين — وتلك القيمة المشتركة هي $\cos\theta$ .

قضية 60.4 (أول القيم والحدود)

من أجل كل زاوية حادّة $\theta$ : $0 < \cos\theta < 1$ ، وجيب التمام يتناقص كلما اِنفتحت الزاوية: فالزاوية الأوسع جيب تمامها أصغر. والمعالم: $\cos 0^\circ = 1$ ، و $\cos 60^\circ = \frac12$ ، و $\cos 90^\circ = 0$ (وهي القيم القصوى الموافقة لمثلثات مسطّحة).

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

طريقة 60.5 (اِستعمال جيب التمام)

في مثلث قائم الزاوية، حين تكون المقادير المعلومة والمطلوبة زاويةً حادّة وضلعها المجاور والوتر:

اُكتب التعريف: $\cos\theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$ مع وضع القيم المعلومة مكانها؛
وحُلّ المعادلة الصغيرة لإيجاد المجهول (بالضرب أو القسمة)؛
ومن أجل زاوية مجهولة، طبّق زرّ الآلة الحاسبة $\cos^{-1}$ على النسبة المحسوبة؛
وتحقّقات بالنظر: فالطول يجب أن يخرج أقصر من الوتر؛ والزاوية بين $0^\circ$ و $90^\circ$ تمامًا.

مثال 60.6 (إيجاد ضلع)

منحدر طوله $6$ م يصنع زاوية $20^\circ$ مع الأرض الأفقية. والمسافة الأفقية المقطوعة (المجاورة للزاوية $20^\circ$ ، والوتر $6$ م):

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ م}.

مثال 60.7 (إيجاد زاوية)

في مثلث قائم الزاوية، يقيس الضلع المجاور للزاوية $\theta$ $3.5$ والوتر $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 تمارين

تمرين 60.1 ★

مثلث قائم الزاوية وتره $13$ سم. فما طول المتوسط الصادر من رأس الزاوية القائمة؟ وما نصف قطر الدائرة المارّة بالرؤوس الثلاثة؟

حل

حل التمرين 60.1.

المتوسط الصادر من الزاوية القائمة: نصف الوتر، أي $6.5$ سم (المبرهنة 60.1). والدائرة المحيطة مركزها منتصف الوتر ونصف قطرها $6.5$ سم.

تمرين 60.2 ★

اُرسم دائرة قطرها $8$ سم مع قطر $[BC]$ ، واِختر نقطة $A$ كيفما كانت على الدائرة واُرسم $ABC$ . فأيّ زاوية قائمة؟ اُذكر المبرهنة. وقِس $AB$ و $AC$ وتحقّق من فيثاغورس.

حل

حل التمرين 60.2.

الزاوية عند $A$ قائمة (فالقطعة $[BC]$ قطر: النقطة 2 من المبرهنة 60.1). والقياسات تحقّق $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ ، في حدود دقّة القياس.

تمرين 60.3 ★

في مثلث $DEF$ قائم الزاوية في $D$ ، سمِّ الضلع المجاور للزاوية $\widehat E$ ، والضلع المقابل لها، والوتر. واُكتب $\cos \widehat E$ نسبةً.

حل

حل التمرين 60.3.

الوتر: $[EF]$ (المقابل للزاوية القائمة $D$ ). والمجاور للزاوية $\widehat E$ : $[ED]$ . والمقابل: $[DF]$ . إذن $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ .

تمرين 60.4 ★

اِحسب المقدار الناقص ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ ، و $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ):

الوتر $10$ ، والزاوية $35^\circ$ : فما الضلع المجاور؟
والضلع المجاور $6$ ، والزاوية $50^\circ$ : فما الوتر؟

حل

حل التمرين 60.4.

1. المجاور $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ .

2. الوتر $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ .

تمرين 60.5 ★

في مثلث قائم الزاوية، يقيس الضلع المجاور للزاوية $\theta$ $8$ و الوتر $10$ . اِحسب $\cos\theta$ ، ثم $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ ).

حل

حل التمرين 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ ، إذن $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ .

تمرين 60.6 ★

اِشرح لماذا لا يمكن أن يساوي $\cos\theta$ العدد $1.2$ من أجل زاوية حادّة في مثلث قائم الزاوية.

حل

حل التمرين 60.6.

جيب التمام $\cos\theta$ ضلع قائمة مقسوم على الوتر، والوتر هو أطول أضلاع المثلث القائم الزاوية: فخارج القسمة أصغر دائمًا من $1$ . والقيمة $1.2$ كانت ستعني ضلع قائمة أطول من الوتر — وهذا مستحيل.

تمرين 60.7 ★★

حبل اِنزلاقي طوله $25$ م ينزل من منصّة إلى الأرض، صانعًا زاوية $12^\circ$ مع الأفق ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ ). فما المسافة الأفقية التي يغطّيها؟

حل

حل التمرين 60.7.

المسافة الأفقية $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ م.

تمرين 60.8 ★★

رتّب دون آلة حاسبة: $\cos 20^\circ$ و $\cos 70^\circ$ و $\cos 45^\circ$ (اِستعمل القضية 60.4). ثم تحقّق بآلة حاسبة.

حل

حل التمرين 60.8.

جيب التمام يتناقص كلما كبرت الزاوية (القضية 60.4):

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(وبالآلة الحاسبة: $0.342 < 0.707 < 0.940$ .)

تمرين 60.9 ★★

سُلَّم طوله $L$ مسنود إلى جدار بزاوية $\theta$ بين السُّلَّم والأرض. وقدمه على بُعد $1.2$ م من الجدار و $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ ). اِحسب $L$ ، ثم الارتفاع المبلوغ (بفيثاغورس).

حل

حل التمرين 60.9.

المسافة على الأرض مجاورة للزاوية $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ ، إذن $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ م. والارتفاع (بفيثاغورس): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ م.

تمرين 60.10 ★★

القطعة $[BC]$ قطر لدائرة مركزها $O$ ونصف قطرها $4.5$ سم، والنقطة $A$ من الدائرة حيث $AB = 5.4$ سم.

فلماذا يكون $ABC$ قائم الزاوية في $A$ ؟
واِحسب $AC$ ، ثم $\cos \widehat B$ .

حل

حل التمرين 60.10.

1. النقطة $A$ على دائرة قطرها $[BC]$ : فالزاوية قائمة في $A$ (المبرهنة 60.1).

2. $BC = 9$ سم (ضعف نصف القطر). وبفيثاغورس: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ سم. و $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ .

تمرين 60.11 ★★★

باستعمال نصف مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه $1$ (مقطوعًا على طول اِرتفاع)، بَرِّر المعلم $\cos 60^\circ = \frac12$ في القضية 60.4. (فأين تقع قدم الارتفاع على القاعدة؟ والنسخة المثلثية الكاملة هي المثال 69.9.)

حل

حل التمرين 60.11.

في المثلث المتساوي الأضلاع الذي طول ضلعه $1$ ، يقع الارتفاع الصادر من رأس على منتصف الضلع المقابل (وهو محور تماثل). ونصف المثلث قائم الزاوية وتره $1$ (أي ضلع كامل)، وفيه زاوية $60^\circ$ عند رأس القاعدة، و ضلع مجاور $\frac12$ (أي نصف القاعدة). ومنه

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .

60.4 مسألة: علاقات إقليدس، وفيثاغورس من جديد

مسألة 60.1

مسألة نهاية الأسبوع — اِرتفاع المثلث القائم الزاوية: $AB^2 = BH \times BC$ و $AH^2 = BH \times HC$ ، وبرهان ثانٍ لفيثاغورس، وآلة لإنشاء الجذور التربيعية

أنزِل، من الزاوية القائمة في مثلث قائم الزاوية، العمودَ على الوتر: فهذه القطعة القصيرة — وهي الارتفاع — تحقّق علاقات من النفع بحيث وضعها إقليدس في قلب أصوله. وفي هذه المسألة تبرهن خاصّية جيب التمام المميِّزة، وهي «أن النسبة تتوقف على الزاوية وحدها» (التعريف 60.3)، على هذه العلاقات كلها؛ وستعيد في الطريق البرهنة على مبرهنة فيثاغورس بطريق مختلف تمامًا، وتنتهي بآلة بالمسطرة والفرجار تنشئ $\sqrt2$ و $\sqrt5$ و $\sqrt{n}$ من أجل كل عدد صحيح $n$ .

وفي كل ما يلي، $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ ، و $H$ قدم العمود النازل من $A$ على الوتر $[BC]$ ، بحيث تقع $H$ بين $B$ و $C$ ويكون $AH \perp BC$ .

الجزء الأول — زاوية واحدة، ومثلثان.

باستعمال مجموع زوايا المثلث (المبرهنة 51.3) في $ABH$ وفي $ABC$ ، بيّن أن $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : فالارتفاع يقطع المثلث القائم الزاوية إلى مثلثين أصغر يحملان الزوايا نفسها التي للأصل.
المثلثان $ABC$ (القائم الزاوية في $A$ ) و $ABH$ (القائم الزاوية في $H$ ) يشتركان في الزاوية $\widehat B$ . اُكتب $\cos\widehat B$ في كل منهما، واِستنتج من التعريف 60.3 أن

$AB^2 = BH \times BC .$

(وللانتقال من تساوي النسبتين إلى تساوي الجداءين، اِضرب الطرفين في المقامين معًا، المبرهنة 57.5.)
اُذكر العلاقة التوأم عند الرأس $C$ وبَرهِن عليها:

$AC^2 = CH \times CB .$
خذ المثلث $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ ، و $AC = 4$ ، و $BC = 5$ . اِحسب $BH$ و $CH$ من السؤالين 2 و3، وتحقّق من أن $BH + HC = BC$ .
وعمومًا، عبّر عن $BH$ و $CH$ بكسور لا تتضمّن إلا الأضلاع الثلاثة. وبأيّ معنى تشقّ القدم $H$ الوترَ «بتناسب مع مربعَي ضلعَي القائمة»؟

الجزء الثاني — فيثاغورس من جديد، والارتفاع.

اِجمع علاقتَي السؤالين 2 و3 واِستعمل $BH + HC = BC$ لتحصل على

$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$

أي مبرهنة فيثاغورس (المبرهنة 58.1)، مبرهنًا عليها من جديد — بلا أيّ أحجية مساحات (قارن التمرين 58.11).
طبّق فيثاغورس في المثلث الصغير $ABH$ لتكتب $AH^2 = AB^2 - BH^2$ ، وعوّض $AB^2$ بالمقدار $BH \times BC$ ، وعمّل $BH$ لتبرهن على علاقة اِرتفاع إقليدس:

$AH^2 = BH \times HC .$
اِحسب مساحة $ABC$ بطريقتين — بضلعَي القائمة قاعدةً واِرتفاعًا، ثم بالوتر قاعدةً (المبرهنة 53.3) — واِستنتج العلاقة الثالثة:

$AB \times AC = BC \times AH .$
عودًا إلى المثلث $3$ – $4$ – $5$ : اِحسب $AH$ بالسؤال 8، ثم تحقّق من علاقة اِرتفاع السؤال 7 عدديًّا، مستعملًا قيمتَي $BH$ و $CH$ الموجودتين في السؤال 4.
قدم اِرتفاع تشقّ وتر مثلث قائم الزاوية ما إلى قطعتين $BH = 2$ سم و $HC = 8$ سم. اِحسب الارتفاع $AH$ .

الجزء الثالث — آلة للجذور التربيعية. اُرسم قطعة $[BC]$ مكوّنة من قطعتين موضوعتين طرفًا لطرف: $BH = p$ و $HC = q$ . واُرسم نصف الدائرة التي قطرها $[BC]$ ، ولتكن $A$ النقطة التي يلتقيها فيها العمود على $(BC)$ في $H$ .

باستعمال المبرهنة 60.1، اِشرح لماذا يكون المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ — فينطبق السؤال 7 ويكون

$AH^2 = p \times q .$

(ويُسمّى الطول $AH$ المتوسط الهندسي للعددين $p$ و $q$ .)
خذ $p = 1$ و $q = 2$ . فما $AH^2$ ؟ وأيّ طول مشهور من المثال 58.9 أنشأه شكلك بالمسطرة والفرجار للتوّ؟
صِف الوصفة التي تنشئ قطعة طولها $\sqrt n$ من أجل أيّ عدد صحيح $n \geq 1$ ، وقل أيّ اِختيار للعددين $p$ و $q$ ينشئ $\sqrt 5$ .
ليكن $O$ مركز نصف الدائرة. اِشرح لماذا لا يمكن للطول $AH$ أن يتجاوز نصف القطر $\frac{p + q}{2}$ ، و من أجل أيّ موضع للنقطة $H$ يتساويان.
اِستنتج المتراجحة: من أجل كل عددين موجبين $p$ و $q$ ،

$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$

مع التساوي بالضبط حين $p = q$ . ثم أعِد البرهنة عليها بلا هندسة البتة: اُنشر $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ وتعرّف على متطابقة شهيرة (المسألة 57.1).

حل

حل المسألة 60.1.

1. في المثلث $ABH$ ، القائم الزاوية في $H$ ، يعطي مجموع الزوايا (المبرهنة 51.3) $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$ ، إذن $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$ . وفي المثلث $ABC$ ، القائم الزاوية في $A$ : $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$ ، إذن $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$ . ومنه $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : فكلا المثلثين الصغيرين يكرّر الزوايا $\widehat B$ و $\widehat C$ و $90^\circ$ التي للأصل.

2. في $ABC$ (القائم الزاوية في $A$ )، الضلع المجاور للزاوية $\widehat B$ هو $AB$ والوتر هو $BC$ : إذن $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$ . وفي $ABH$ (القائم الزاوية في $H$ )، الضلع المجاور للزاوية $\widehat B$ هو $BH$ والوتر هو $AB$ : إذن $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$ . والنسبة تتوقف على الزاوية وحدها (التعريف 60.3)، إذن

\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;

وبضرب الطرفين في $BC \times AB$ (المبرهنة 57.5): $AB^2 = BH \times BC$ .

3. المثلثان $ABC$ (القائم الزاوية في $A$ ) و $ACH$ (القائم الزاوية في $H$ ) يشتركان في الزاوية $\widehat C$ . والمجاور على الوتر في كل منهما:

\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC} \qquad\Longrightarrow\qquad AC^2 = CH \times CB .

4. تُقرأ $AB^2 = BH \times BC$ هكذا: $9 = BH \times 5$ ، إذن $BH = 1.8$ ؛ و $16 = CH \times 5$ يعطي $CH = 3.2$ . والتحقّق: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — كما يجب، لأن $H$ تقع على الوتر بين $B$ و $C$ .

5. بقسمة كل علاقة على $BC$ :

BH = \frac{AB^2}{BC}, \qquad CH = \frac{AC^2}{BC} .

إذن $BH$ و $CH$ متناسبان مع $AB^2$ و $AC^2$ : فقدم الارتفاع تشقّ الوتر بنسبة مربعَي ضلعَي القائمة ( $1.8 : 3.2 = 9 : 16$ في السؤال 4).

6. بجمع العلاقتين وتعميل $BC$ (بالتوزيعية):

AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC = (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .

وهذه هي المبرهنة 58.1، محصولًا عليها من جيب التمام وحده — وهو برهان مختلف حقًّا عن أحجية مساحات المثلثات الأربعة في التمرين 58.11.

7. بفيثاغورس في $ABH$ (القائم الزاوية في $H$ ، والوتر $[AB]$ ): $AH^2 = AB^2 - BH^2$ . وبتعويض $AB^2$ بالمقدار $BH \times BC$ (السؤال 2) وتعميل $BH$ :

AH^2 = BH \times BC - BH^2 = BH \times (BC - BH) = BH \times HC .

8. بضلعَي القائمة قاعدةً واِرتفاعًا، تكون مساحة $ABC$ هي $\frac{AB \times AC}{2}$ ؛ وبالوتر $[BC]$ قاعدةً، يكون الارتفاع هو $AH$ بالضبط، إذن المساحة أيضًا $\frac{BC \times AH}{2}$ (المبرهنة 53.3). وبالمساواة والمضاعفة: $AB \times AC = BC \times AH$ .

9. $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ . والتحقّق من السؤال 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ و $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$ . متساويان.

10. $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$ ، إذن $AH = \sqrt{16} = 4$ سم.

11. النقطة $A$ تقع على الدائرة التي قطرها $[BC]$ (وتختلف عن $B$ و $C$ )، إذن بالنقطة 2 من المبرهنة 60.1 يكون المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ . وبالإنشاء $(AH) \perp (BC)$ مع وقوع $H$ بين $B$ و $C$ : فالقطعة $[AH]$ هي بالضبط اِرتفاع السؤال 7، و $AH^2 = BH \times HC = p \times q$ .

12. $AH^2 = 1 \times 2 = 2$ : فالشكل ينشئ، بالمسطرة والفرجار وحدهما، قطعة مربعها $2$ — أي قطر مربع الوحدة، $\sqrt2 \approx 1.414$ ، في المثال 58.9.

13. الوصفة: ضع طرفًا لطرف قطعتين طولاهما $p = 1$ و $q = n$ ؛ واُرسم نصف الدائرة التي قطرها القطعة كلها (وطولها $n + 1$ )؛ وأقِم العمود عند نقطة الوصل؛ فيلتقي نصف الدائرة في نقطة بُعدها عن نقطة الوصل $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ . ومن أجل $\sqrt5$ : خذ $p = 1$ و $q = 5$ (فنصف دائرة قطرها $6$ ).

14. النقطة $A$ على الدائرة التي مركزها $O$ ، إذن $OA = \frac{p+q}{2}$ ، وهو نصف القطر. فإذا كان $H \neq O$ ، كان المثلث $AHO$ قائم الزاوية في $H$ ووتره $[OA]$ ، وضلع القائمة أقصر من الوتر: أي $AH < OA$ . وإذا كان $H = O$ ، فإن $AH = OA$ بالضبط. وفي كل الحالات $AH \leq \frac{p+q}{2}$ ، مع التساوي بالضبط حين تكون $H$ هي المركز — أي حين $p = q$ .

15. بتربيع $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (والطرفان موجبان) واِستعمال $AH^2 = pq$ :

p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,

مع التساوي بالضبط من أجل $p = q$ . وإعادة البرهنة جبريًّا، بالمتطابقات الشهيرة (المسألة 57.1):

\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4} = \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4} = \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,

أي مربع، ومنه فهو ليس سالبًا أبدًا — وينعدم بالضبط حين $p = q$ . فالمتوسط الهندسي لعددين لا يتجاوز أبدًا نصف مجموعهما.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

جيب التمام

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد