Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

18Formas e ângulos retos

Quadrados, retângulos, triângulos, círculos: as formas já são velhas conhecidas. Este capítulo as observa com olho de geômetra — o que exatamente faz de um quadrado um quadrado? — e apresenta a ferramenta que decide: o esquadro e o seu ângulo reto.

18.1 O ângulo reto

Definição 18.1 (Ângulo reto)

Um ângulo reto é o ângulo do canto de uma folha de papel, ou do esquadro. Duas retas que formam um ângulo reto são perpendiculares. Nas figuras, o ângulo reto é marcado com um quadradinho no canto.

Método 18.2 (Conferir um ângulo reto)

Ponha o canto do esquadro exatamente sobre o canto a testar;
deslize uma das bordas do esquadro ao longo de um dos lados do ângulo;
se o outro lado do ângulo correr exatamente ao longo da outra borda, o ângulo é reto — se abrir mais ou menos, não é.

Só o primeiro ângulo é reto — e só o quadradinho de marca, ou o esquadro, pode garantir isso: os olhos sozinhos se enganam com facilidade.

18.2 As formas e as suas regras

Definição 18.3 (Quadrado, retângulo, triângulo)

Um retângulo tem $4$ lados e $4$ ângulos retos; os seus lados opostos têm o mesmo comprimento.
Um quadrado é um retângulo cujos $4$ lados têm todos o mesmo comprimento.
Um triângulo tem $3$ lados; um triângulo retângulo tem um ângulo reto.
Um círculo é traçado com o compasso: todos os seus pontos estão à mesma distância (o raio) do centro.

A galeria de formas, com as suas marcas: quadradinhos para os ângulos retos, tracinhos para os lados iguais.

Exemplo 18.4 (Por que as marcas importam)

Uma forma desenhada um pouco inclinada pode parecer um quadrado sem ser um. As marcas dizem a verdade: $4$ quadradinhos de ângulo reto $+$ $4$ tracinhos $=$ um quadrado de verdade. Quando desenhar, ponha as marcas; quando ler uma figura, confie apenas nas marcas e nas medidas dadas.

18.3 Desenhar no papel quadriculado

Método 18.5 (Construções na malha)

O papel quadriculado oferece ângulos retos de graça: as suas linhas são perpendiculares.

Para desenhar um retângulo $5$ por $3$ : escolha um cruzamento, conte $5$ quadradinhos para a direita e $3$ para cima, e feche a forma pelas linhas da malha;
para conferir comprimentos iguais, conte quadradinhos;
passos na diagonal fazem linhas inclinadas: repetir “ $1$ para a direita, $1$ para cima” traça uma reta de $45^\circ$ .

Duas construções na malha: as linhas da malha garantem os ângulos retos.

Exemplo 18.6 (Um programa de construção)

Uma figura pode ser descrita por instruções: “1. Trace um quadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Trace o círculo de centro $A$ que passa por $B$ .” Seguindo um programa linha por linha, qualquer pessoa redesenha a mesma figura — e escrever um deles obriga a dar nome a cada ponto. Experimente em dupla: um escreve, o outro desenha.

18.4 Exercícios

Exercício 18.1 ★

Na sala de aula, encontre (sem medir) três ângulos retos e um ângulo que não seja reto. Como você pode conferir cada um deles?

Solução

Solução de Exercício 18.1.

Ângulos retos típicos: os cantos do quadro, de uma folha de papel, da porta. Um ângulo que não é reto: a abertura de uma tesoura, os ponteiros do relógio à 1 hora. Cada um é conferido com o esquadro (Método 18.2) — nunca só no olho.

Exercício 18.2 ★

Trace um retângulo de $6$ cm por $4$ cm com régua e esquadro. Marque os seus ângulos retos e os seus lados iguais.

Solução

Solução de Exercício 18.2.

Construção: um lado de $6$ cm, ângulos retos nas duas pontas com o esquadro, lados de $4$ cm e fechar a forma. Marcas: $4$ quadradinhos nos cantos, um tracinho em cada lado de $6$ cm e dois tracinhos em cada lado de $4$ cm.

Exercício 18.3 ★

Trace um quadrado de lado $5$ cm. Quantos ângulos retos ele tem? Quantos lados iguais? Marque tudo.

Solução

Solução de Exercício 18.3.

Um quadrado tem $4$ ângulos retos e $4$ lados iguais — todos marcados.

Exercício 18.4 ★

No papel quadriculado, desenhe: um quadrado $4 \times 4$ ; um retângulo $7 \times 2$ ; um triângulo retângulo com catetos de $3$ e $5$ quadradinhos.

Solução

Solução de Exercício 18.4.

Construções na malha; a malha garante os ângulos retos, e contar quadradinhos garante os comprimentos.

Exercício 18.5 ★

Verdadeiro ou falso? Explique. “Todo quadrado é um retângulo.” “Todo retângulo é um quadrado.” “Um triângulo pode ter dois ângulos retos.” (Tente desenhar um!)

Solução

Solução de Exercício 18.5.

“Todo quadrado é um retângulo”: verdadeiro — ele tem $4$ ângulos retos, que é tudo o que um retângulo exige.

“Todo retângulo é um quadrado”: falso — um retângulo $6 \times 4$ tem lados desiguais.

“Um triângulo pode ter dois ângulos retos”: falso — os dois lados traçados a partir dos dois ângulos retos seriam perpendiculares à mesma base e, portanto, nunca se encontrariam para fechar o triângulo.

Exercício 18.6 ★

Trace um círculo de raio $4$ cm. Marque o seu centro $O$ , um ponto $A$ sobre o círculo, e trace o raio $[OA]$ . Quanto mede $OA$ ? E se $B$ for outro ponto do círculo, quanto mede $OB$ ?

Solução

Solução de Exercício 18.6.

$OA = 4$ cm (o raio). $OB = 4$ cm também: todo ponto do círculo está à mesma distância do centro.

Exercício 18.7 ★

Siga este programa: “1. Trace um retângulo $ABCD$ com $AB = 6$ cm e $BC = 3$ cm. 2. Marque o ponto $M$ no meio de $[AB]$ . 3. Ligue $M$ a $C$ e a $D$ .” Em que formas o retângulo ficou dividido?

Solução

Solução de Exercício 18.7.

O retângulo fica dividido em três triângulos: dois triângulos retângulos ( $AMD$ e $MBC$ , com o ângulo reto em $A$ e em $B$ ) e o triângulo do meio $MCD$ .

Exercício 18.8 ★

Separe as formas: quais destas têm pelo menos um ângulo reto? Um quadrado; um retângulo (não quadrado); um triângulo retângulo; um círculo; a letra L desenhada com traços grossos.

Solução

Solução de Exercício 18.8.

Com pelo menos um ângulo reto: o quadrado, o retângulo, o triângulo retângulo e a letra L (os cantos internos e externos dela). O círculo não tem canto nenhum.

Exercício 18.9 ★★

No papel quadriculado, desenhe um quadrado inclinado cujos lados sigam “ $2$ para a direita, $1$ para cima” (e as viradas correspondentes). Conte quadradinhos para se convencer de que os quatro lados têm o mesmo comprimento.

Solução

Solução de Exercício 18.9.

Cada lado percorre “ $2$ para a direita, $1$ para cima” (ou as versões giradas “ $1$ para a direita, $2$ para baixo” etc.): cada lado é a diagonal de um bloco $2 \times 1$ de quadradinhos, então os quatro têm o mesmo comprimento.

Exercício 18.10 ★★

Escreva um programa de construção (instruções numeradas, pontos com nome) para: um quadrado de lado $3$ cm apoiado em cima de um retângulo de $3$ cm $\times$ $2$ cm, como uma casa sobre o seu térreo. Teste o seu programa com um colega.

Solução

Solução de Exercício 18.10.

Um programa correto: “1. Trace um retângulo $ABCD$ com $AB = 3$ cm (embaixo) e $BC = 2$ cm. 2. Sobre o lado $[DC]$ , trace o quadrado $DCEF$ de lado $3$ cm, do lado de fora do retângulo.” Qualquer programa claro, numerado e completo está correto — teste-o seguindo-o ao pé da letra.

Exercício 18.11 ★★

Quantos quadrados você consegue encontrar numa malha $3 \times 3$ de quadradinhos? (Conte os $1 \times 1$ , os $2 \times 2$ e os $3 \times 3$ .)

Solução

Solução de Exercício 18.11.

Quadrados $1 \times 1$ : $9$ . Quadrados $2 \times 2$ : $4$ . $3 \times 3$ : $1$ . Total: $9 + 4 + 1 = 14$ quadrados.