Matemática do ensino fundamental · 1.º ao 9.º ano

34Perímetro e área

O Ano 4 contou quadradinhos da malha (Capítulo 28); este capítulo conquista a primeira fórmula de área — comprimento vezes largura, para o retângulo — e aprende as unidades cm $^2$ e m $^2$ . As fórmulas dos triângulos e de outras formas amadurecem no Capítulo 43 e no Capítulo 53.

34.1 Duas medidas diferentes

Exemplo 34.1 (Contorno contra superfície)

Um jardineiro precisa do perímetro para comprar a cerca e da área para comprar a semente de grama. As duas coisas não andam juntas: esticar um retângulo, deixando-o mais fino e mais comprido, pode manter a área enquanto o perímetro cresce — compare um retângulo $6 \times 2$ com um $4 \times 3$ (mesma área $12$ , perímetros $16$ e $14$ ).

34.2 A fórmula do retângulo

Proposição 34.2 (Área de um retângulo)

Um retângulo de comprimento $L$ e largura $w$ (na mesma unidade) tem área

A = L \times w ,

em unidades quadradas: cm $^2$ (quadrados de lado $1$ cm), m $^2$ (quadrados de lado $1$ m), …

Por quê, contando. Cubra o retângulo com quadrados unitários: $w$ fileiras de $L$ quadrados cada uma, logo $L \times w$ quadrados ao todo — exatamente o retângulo da multiplicação do Capítulo 16. ∎

Três fileiras de seis centímetros quadrados: a fórmula L × w é a contagem, escrita de uma vez por todas. — Três fileiras de seis centímetros quadrados: a fórmula $L \times w$ é a contagem, escrita de uma vez por todas.

Exemplo 34.3

Um tapete mede $2.5$ m por $2$ m: área $2.5 \times 2 = 5$ m $^2$ . Um selo mede $3$ cm por $2.4$ cm: área $3 \times 2.4 = 7.2$ cm $^2$ . A mesma fórmula, em qualquer unidade — desde que os dois lados usem a mesma.

Exemplo 34.4 (As unidades de área convertem de cem em cem)

$1$ m $= 100$ cm, mas $1$ m $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm $^2$ : um metro quadrado é uma malha de $100$ por $100$ centímetros quadrados. As unidades de área saltam de cem em cem, não de dez em dez.

34.3 Figuras compostas

Método 34.5 (Cortar, somar, subtrair)

Para uma figura feita de retângulos (um L, um T, uma moldura):

corte-a em retângulos, ou complete-a até um retângulo grande;
calcule cada área retangular com a fórmula;
some os pedaços — ou subtraia o buraco do retângulo grande;
confira com uma contagem aproximada dos quadradinhos da malha.

Exemplo 34.6

Um cômodo em forma de L: um retângulo de $6$ m $\times$ $4$ m com um canto de $2$ m $\times$ $2$ m faltando.

\text{Área} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .

Ou corte o L numa faixa $6 \times 2$ e numa faixa $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ m $^2$ — dois caminhos, uma resposta.

Exemplo 34.7 (Metade de um retângulo)

Cortar um retângulo pela diagonal dá dois triângulos de mesma área: cada um é metade do retângulo. Um triângulo retângulo de catetos $6$ cm e $4$ cm tem, portanto, área $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ — uma imagem que vale a pena guardar para o Capítulo 43, onde ela vira fórmula.

A diagonal corta o retângulo 6 × 4 em dois triângulos iguais, de 12 quadradinhos cada um. — A diagonal corta o retângulo $6 \times 4$ em dois triângulos iguais, de $12$ quadradinhos cada um.

34.4 Exercícios

Exercício 34.1 ★

Calcule a área e o perímetro de um retângulo de $8$ cm $\times$ $5$ cm. Qual resposta vem em cm e qual em cm $^2$ ?

Solução

Solução de Exercício 34.1.

Área: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ . Perímetro: $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

Exercício 34.2 ★

Calcule as áreas: um quadrado de lado $9$ cm; um retângulo $12$ m $\times$ $7$ m; um retângulo $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

Solução

Solução de Exercício 34.2.

$9 \times 9 = 81$ cm $^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m $^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm $^2$ .

Exercício 34.3 ★

Um retângulo tem área $63$ cm $^2$ e comprimento $9$ cm. Encontre a largura dele e depois o perímetro.

Solução

Solução de Exercício 34.3.

Largura: $63 \div 9 = 7$ cm. Perímetro: $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

Exercício 34.4 ★

Trace dois retângulos diferentes de área $24$ quadradinhos no papel quadriculado e calcule os dois perímetros. Mesma área — mesmo perímetro?

Solução

Solução de Exercício 34.4.

Por exemplo $6 \times 4$ (perímetro $20$ ) e $8 \times 3$ (perímetro $22$ ): mesma área $24$ , perímetros diferentes.

Exercício 34.5 ★

Converta: $3$ m $^2$ em cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2$ em m $^2$ . (Lembre do Exemplo 34.4: de cem em cem!)

Solução

Solução de Exercício 34.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2 = 5$ m $^2$ .

Exercício 34.6 ★

Uma figura em forma de T é feita de uma barra horizontal $8 \times 2$ em cima de uma barra vertical $2 \times 5$ (em cm). Calcule a área dela somando dois retângulos.

Solução

Solução de Exercício 34.6.

Barra: $8 \times 2 = 16$ cm $^2$ ; haste: $2 \times 5 = 10$ cm $^2$ ; total $26$ cm $^2$ .

Exercício 34.7 ★

Uma moldura de quadro: um retângulo $30$ cm $\times$ $20$ cm com uma janela retangular de $24$ cm $\times$ $14$ cm recortada. Que área de madeira a moldura usa?

Solução

Solução de Exercício 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm $^2$ de madeira.

Exercício 34.8 ★

Calcule a área de um triângulo retângulo de catetos $8$ cm e $6$ cm (metade de um retângulo, Exemplo 34.7).

Solução

Solução de Exercício 34.8.

Metade do retângulo $8 \times 6$ : $48 \div 2 = 24$ cm $^2$ .

Exercício 34.9 ★

Uma horta retangular mede $7$ m por $4$ m. A semente custa $2$ por metro quadrado e a cerca, $3$ por metro. Calcule o custo da semente e depois o custo da cerca.

Solução

Solução de Exercício 34.9.

Semente: área $7 \times 4 = 28$ m $^2$ , custo $28 \times 2 = 56$ . Cerca: perímetro $2 \times (7 + 4) = 22$ m, custo $22 \times 3 = 66$ .

Exercício 34.10 ★★

O piso de um corredor tem $12$ m de comprimento e $2$ m de largura, e precisa ser coberto com ladrilhos quadrados de lado $50$ cm. Quantos ladrilhos são necessários? (Converta primeiro, ou conte os ladrilhos em cada direção.)

Solução

Solução de Exercício 34.10.

Dois ladrilhos de $50$ cm fazem um metro: ao longo dos $12$ m de comprimento, $24$ ladrilhos; ao longo dos $2$ m de largura, $4$ ladrilhos. Total: $24 \times 4 = 96$ ladrilhos.

Exercício 34.11 ★★

Dobre os lados de um retângulo de $4$ cm $\times$ $3$ cm. O que acontece com o perímetro? E com a área? (Calcule os dois antes e depois — as duas respostas são diferentes!)

Solução

Solução de Exercício 34.11.

Antes: perímetro $2 \times (4 + 3) = 14$ cm, área $12$ cm $^2$ . Depois (lados $8$ e $6$ ): perímetro $28$ cm, área $48$ cm $^2$ . O perímetro dobrou; a área foi multiplicada por quatro ( $2 \times 2$ ): comprimentos e áreas não mudam de escala do mesmo jeito.