Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

58O teorema de Pitágoras

O teorema mais famoso de toda a matemática relaciona os três lados de um triângulo retângulo. Com ele, tornam-se calculáveis comprimentos que nenhuma régua conseguiria medir diretamente: diagonais, distâncias, alturas. É também o nosso primeiro grande encontro com a diferença entre um teorema e a recíproca dele.

58.1 O teorema

Teorema 58.1 (Pitágoras)

Se um triângulo $ABC$ é retângulo em $A$ , então

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

Ideia da demonstração. Quatro cópias do triângulo, dispostas dentro de um quadrado grande de lado $AB + AC$ , deixam descoberto um quadrado inclinado construído sobre a hipotenusa: comparar as áreas dá a igualdade. A conta detalhada é proposta no Exercício 58.11; o teorema também cai do produto escalar, estudado no volume do ensino médio. ∎

O teorema como afirmação sobre áreas: o quadrado construído sobre a hipotenusa (25) tem exatamente a mesma área dos outros dois quadrados juntos (16 + 9). Aqui os lados são 3, 4, 5. — O teorema como afirmação sobre áreas: o quadrado construído sobre a hipotenusa ( $25$ ) tem exatamente a mesma área dos outros dois quadrados juntos ( $16 + 9$ ). Aqui os lados são $3$ , $4$ , $5$ .

Método 58.2 (Calcular um comprimento)

Num triângulo retângulo em que dois lados são conhecidos:

identifique a hipotenusa (oposta ao ângulo reto — sempre o lado mais longo);
escreva a igualdade do Teorema 58.1 com os valores conhecidos;
isole o quadrado que falta: some os quadrados se a hipotenusa for desconhecida, subtraia se um cateto for desconhecido;
extraia a raiz quadrada, exatamente ou com calculadora, e confira que a hipotenusa saiu como o maior lado.

Exemplo 58.3 (Encontrar a hipotenusa)

Um triângulo retângulo tem catetos $6$ e $8$ . Hipotenusa $c$ :

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(O número $\sqrt{100}$ , a raiz quadrada de $100$ , é o número positivo cujo quadrado é $100$ ; as raízes quadradas ganham um capítulo inteiro no Capítulo 65.)

Exemplo 58.4 (Encontrar um cateto)

Uma escada de $5$ m se apoia numa parede, com o pé a $1.4$ m da parede. Altura alcançada $h$ : a escada é a hipotenusa, então

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

Subtraia, não some: a incógnita aqui é um cateto.

58.2 A recíproca

Teorema 58.5 (Recíproca de Pitágoras)

Se, num triângulo $ABC$ , os lados satisfazem $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , então o triângulo é retângulo em $A$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Método 58.6 (Testar um ângulo reto)

Dados os três lados de um triângulo:

calcule separadamente o quadrado do lado mais longo e a soma dos quadrados dos outros dois;
se os dois resultados forem iguais, o triângulo é retângulo (recíproca), no vértice oposto ao lado mais longo;
se forem diferentes, ele não é retângulo — porque o teorema de Pitágoras obrigaria a igualdade.

Exemplo 58.7

Lados $5$ , $12$ , $13$ : quadrado do lado mais longo, $13^2 = 169$ ; soma dos outros quadrados, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . Iguais: retângulo (no vértice oposto ao lado $13$ ).

Lados $6$ , $7$ , $9$ : $9^2 = 81$ , mas $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : não é triângulo retângulo (é “quase” um — quem decide são os números, e não o olho).

Observação 58.8 (Teorema e recíproca)

O teorema e a recíproca dele dizem coisas diferentes: o teorema usa um ângulo reto para calcular comprimentos; a recíproca usa comprimentos para demonstrar um ângulo reto. Os construtores usam a recíproca há milênios: uma corda com nós a $3$ , $4$ , $5$ unidades, bem esticada, dá um ângulo reto perfeito.

Exemplo 58.9 (Diagonal de um quadrado)

A diagonal de um quadrado de lado $1$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $1$ e $1$ :

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

então $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — um número que não é uma fração, como o volume do ensino médio vai demonstrar. Para um quadrado de lado $c$ , a diagonal é $c\sqrt2$ .

58.3 Exercícios

Exercício 58.1 ★

Em cada triângulo retângulo, calcule a hipotenusa: catetos $9$ e $12$ ; catetos $5$ e $12$ ; catetos $8$ e $15$ .

Solução

Solução de Exercício 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

Exercício 58.2 ★

Um triângulo retângulo tem hipotenusa $25$ e um cateto $7$ . Calcule o outro cateto.

Solução

Solução de Exercício 58.2.

Cateto $^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ , então o cateto é $\sqrt{576} = 24$ .

Exercício 58.3 ★

Calcule a diagonal de um retângulo de lados $12$ cm e $9$ cm; e a diagonal de um quadrado de lado $5$ cm (valor exato com raiz quadrada e depois arredondado ao mm).

Solução

Solução de Exercício 58.3.

Retângulo: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Quadrado: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm (Exemplo 58.9).

Exercício 58.4 ★

Que triângulos são retângulos? Justifique com o Método 58.6:

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

Solução

Solução de Exercício 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ e $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : retângulo.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : não é retângulo.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : retângulo (é o $(3,4,5)$ dividido ao meio).

Exercício 58.5 ★

Um portão é reforçado por uma tábua na diagonal. O portão tem $3$ m de largura e $1.6$ m de altura: que comprimento tem a tábua?

Solução

Solução de Exercício 58.5.

Tábua $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

Exercício 58.6 ★

Um triângulo isósceles tem dois lados de $10$ cm e base de $12$ cm. A altura dele o divide em dois triângulos retângulos: calcule essa altura e depois a área do triângulo.

Solução

Solução de Exercício 58.6.

A altura cai no ponto médio da base (triângulo isósceles), então cada meio triângulo tem hipotenusa $10$ e um cateto $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Área: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm $^2$ .

Exercício 58.7 ★★

A tela de uma televisão é um retângulo $16{:}9$ medindo $88.5$ cm por $49.8$ cm. As telas são vendidas pela diagonal, em polegadas ( $1$ polegada $= 2.54$ cm). Calcule a diagonal em cm e depois em polegadas (arredonde à polegada mais próxima).

Solução

Solução de Exercício 58.7.

Diagonal: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. Em polegadas: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ polegadas.

Exercício 58.8 ★★

Um barco navega $24$ km para leste e depois $10$ km para o norte. A que distância ele está do ponto de partida (em linha reta)? Faça antes o desenho da situação.

Solução

Solução de Exercício 58.8.

Os dois catetos são $24$ km e $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

Exercício 58.9 ★★

Uma escada de $2.5$ m tem de alcançar o parapeito de uma janela a $2.4$ m do chão. A que distância da parede o pé dela tem de ser posto? A resposta é compatível com a recomendação de segurança (pé a cerca de um quarto do comprimento da escada, a partir da parede)?

Solução

Solução de Exercício 58.9.

Distância do pé: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ m. Um quarto da escada é $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: os $0.7$ m encontrados ficam perto da colocação recomendada — aceitável.

Exercício 58.10 ★★

Num plano cartesiano, marque $A(1, 2)$ e $B(5, 5)$ e trace o triângulo retângulo de catetos paralelos aos eixos cuja hipotenusa é $[AB]$ . Calcule $AB$ . (Essa construção, para dois pontos quaisquer, vira a fórmula da distância da geometria analítica, no volume do ensino médio.)

Solução

Solução de Exercício 58.10.

Os catetos medem $5 - 1 = 4$ (horizontal) e $5 - 2 = 3$ (vertical), então

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

Exercício 58.11 ★★★

Quatro cópias de um triângulo retângulo de catetos $a$ , $b$ e hipotenusa $c$ são colocadas nos cantos de um quadrado de lado $a + b$ , deixando descoberto no meio um quadrado inclinado de lado $c$ .

Expresse a área do quadrado grande de duas maneiras: diretamente e como (quatro triângulos) $+$ (quadrado inclinado).
Desenvolva $(a + b)^2$ (veja o Teorema 57.1) e deduza $c^2 = a^2 + b^2$ : você demonstrou o teorema de Pitágoras.

Solução

Solução de Exercício 58.11.

1. Diretamente: $(a + b)^2$ . Em peças: quatro triângulos de área $\frac{ab}{2}$ cada um, mais o quadrado inclinado $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. Desenvolvendo o lado esquerdo: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Então

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed

58.4 Problema: ternos pitagóricos

Problema 58.1

Problema de fim de semana — triângulos retângulos de lados inteiros e a identidade $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ que gera todos eles

Um terno pitagórico é um terno de números inteiros $(a, b, c)$ com

a^2 + b^2 = c^2 ,

como o $(3, 4, 5)$ dos construtores. Uma tábua de argila babilônica catalogou ternos enormes — $(4601,\ 4800,\ 6649)$ entre eles — mais de mil anos antes de Pitágoras. Este problema caça ternos e depois constrói a máquina que os produz: uma identidade algébrica saída diretamente do Capítulo 57, posta a serviço da geometria.

Parte I — Caçando ternos.

Confira que $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ e $(20, 21, 29)$ são ternos pitagóricos. O que a Teorema 58.5 diz sobre triângulos com esses comprimentos de lado?
Explique por que uma corda esticada com doze segmentos iguais, disposta como um triângulo de lados de $3$ , $4$ e $5$ segmentos, dá aos construtores um ângulo reto perfeito.
Mostre que, se $(a, b, c)$ é um terno pitagórico, então $(ka, kb, kc)$ também é, para todo número inteiro $k \geq 1$ . Deduza três ternos novos a partir de $(3, 4, 5)$ .
Os múltiplos de $(3, 4, 5)$ são os ternos $(3k, 4k, 5k)$ . Mostre que $(5, 12, 13)$ não é um deles.
Explique por que as questões 3 e 4, juntas, demonstram que multiplicar $(3, 4, 5)$ por escalas nunca produz todos os ternos pitagóricos: é preciso outra máquina.

Parte II — A máquina. Tome dois números inteiros $m > n \geq 1$ e forme os três números

a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2 .

Usando os produtos notáveis do Problema 57.1 (escreva $A = m^2$ e $B = n^2$ ), desenvolva $a^2$ e $b^2$ e demonstre que

$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$

a máquina sempre entrega um terno pitagórico.
Rode a máquina com $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ e $(4, 3)$ e apresente os cinco ternos numa tabela.
Um terno da sua tabela é uma cópia ampliada de outro menor. Qual, e de qual?
Encontre $(m, n)$ para os quais a máquina entrega o terno $(20, 21, 29)$ da questão 1 (catetos em qualquer ordem).
Encontre $m$ e $n$ com $m^2 + n^2 = 100$ e deduza um terno pitagórico cuja hipotenusa seja $100$ .

Parte III — Famílias e um final de paridade.

Rode a máquina com $m = n + 1$ . Mostre que o cateto ímpar é $2n + 1$ , o cateto par é $2n^2 + 2n$ e a hipotenusa é $2n^2 + 2n + 1$ — de modo que a hipotenusa e o cateto par diferem exatamente por $1$ . Escreva os ternos para $n = 1, 2, 3, 4$ .
Deduza que todo número ímpar $3, 5, 7, 9, \dots$ é lado de algum triângulo retângulo de lados inteiros e dê um terno que contenha $11$ .
Os números pares também funcionam: rode a máquina com $n = 1$ e produza um terno que contenha $14$ . Depois obtenha o mesmo terno uma segunda vez, ampliando um da sua tabela da questão 7.
Mostre que o quadrado de um número par é par e que o quadrado de um número ímpar é ímpar. (Escreva o número como $2k$ ou $2k + 1$ e use um produto notável.)
Conclua o final de paridade: não existe terno pitagórico com os três números ímpares — em todo triângulo retângulo de lados inteiros, pelo menos um lado é par.

Solução

Solução de Problema 58.1.

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ . Os três são ternos e, pela Teorema 58.5, um triângulo com esses comprimentos de lado é retângulo, com o ângulo reto de frente para o lado mais longo.

2. A corda forma um triângulo de lados $3$ , $4$ , $5$ (em segmentos), e $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : pela recíproca (Teorema 58.5), o ângulo entre os lados de $3$ e $4$ segmentos é exatamente reto — sem transferidor nenhum, só com nós.

3. Se $a^2 + b^2 = c^2$ , então

(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .

A partir de $(3, 4, 5)$ : por exemplo, $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ e $(30, 40, 50)$ .

4. Um múltiplo $(3k, 4k, 5k)$ com $5$ como menor número exigiria $3k = 5$ , e nenhum número inteiro $k$ satisfaz isso ( $k = 1$ dá $3$ e $k = 2$ dá $6$ ). Logo $(5, 12, 13)$ não é múltiplo de $(3, 4, 5)$ .

5. A questão 3 mostra que a ampliação produz apenas os ternos $(3k, 4k, 5k)$ ; a questão 4 exibe um terno legítimo que não tem essa forma. Então a família de todos os ternos pitagóricos é estritamente maior que a dos múltiplos de $(3, 4, 5)$ : produzi-los exige algo novo.

6. Escreva $A = m^2$ e $B = n^2$ . Pelos produtos notáveis (Problema 57.1):

a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2, \qquad b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .

Somando:

a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .

$(m, n)$	$m^2 - n^2$	$2mn$	$m^2 + n^2$
$(2, 1)$	$3$	$4$	$5$
$(3, 1)$	$8$	$6$	$10$
$(3, 2)$	$5$	$12$	$13$
$(4, 1)$	$15$	$8$	$17$
$(4, 3)$	$7$	$24$	$25$

8. $(8, 6, 10)$ é o dobro de $(4, 3, 5)$ — ou seja, do $(3, 4, 5)$ dos construtores. A máquina às vezes redescobre um terno antigo disfarçado.

9. Precisamos de $m^2 - n^2 = 21$ e $2mn = 20$ , ou seja, $mn = 10$ : tentando $m = 5$ e $n = 2$ , dá $25 - 4 = 21$ e $2 \times 10 = 20$ , com hipotenusa $25 + 4 = 29$ . A máquina entrega $(21, 20, 29)$ para $(m, n) = (5, 2)$ .

10. $m = 8$ e $n = 6$ dão $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$ . O terno é

\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),

e de fato $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$ .

11. Com $m = n + 1$ :

m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

(diferença de quadrados consecutivos, Problema 57.1); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ; e $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$ . A hipotenusa ultrapassa o cateto par exatamente por $1$ . Para $n = 1, 2, 3, 4$ :

(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad (9, 40, 41) .

12. Todo número ímpar de $3$ em diante é $2n + 1$ para algum $n \geq 1$ , e a questão 11 fornece um terno cujo cateto ímpar é exatamente $2n + 1$ . Para $11 = 2 \times 5 + 1$ , tome $n = 5$ :

(11,\ 60,\ 61), \qquad 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .

13. Com $n = 1$ , a máquina dá $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$ , cujo cateto par $2m$ pode ser qualquer número par a partir de $4$ . Para $14 = 2 \times 7$ , tome $m = 7$ : o terno $(48, 14, 50)$ . O mesmo terno aparece dobrando $(7, 24, 25)$ da tabela da questão 7: $(14, 48, 50)$ — os mesmos três números.

14. Um número par é $2k$ , e $(2k)^2 = 4k^2$ é par (múltiplo de $4$ , portanto par). Um número ímpar é $2k + 1$ , e o primeiro produto notável dá

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,

um número par mais $1$ : ímpar.

15. Suponha que $a$ , $b$ , $c$ fossem todos ímpares. Pela questão 14, $a^2$ e $b^2$ são ímpares, então $a^2 + b^2$ é uma soma de dois números ímpares: par. Mas $c^2$ seria ímpar. A igualdade $a^2 + b^2 = c^2$ fica, então, impossível. Logo, em todo terno pitagórico, pelo menos um dos três números é par — como cada linha da tabela da questão 7 confirma.