Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

22Multiplicando números maiores

O Ano 3 multiplicou por um algarismo (Capítulo 16); este capítulo multiplica por números de dois algarismos — e explica a misteriosa “linha deslocada” da conta armada, que nada mais é do que uma decomposição em dezenas e unidades.

22.1 Multiplicar por dezenas

Proposição 22.1 (Vezes 10, 20, 300 …)

Multiplicar por $10$ acrescenta um zero; por $100$ , dois zeros. Para multiplicar por $20$ , multiplique por $2$ e depois por $10$ :

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

Do mesmo modo, $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

22.2 A conta armada com dois algarismos

Exemplo 22.2 (Por que a linha deslocada?)

Para calcular $23 \times 12$ , decomponha $12$ em $10 + 2$ :

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

A conta armada escreve exatamente esses dois produtos, um embaixo do outro — o segundo deslocado para a esquerda porque é um número de dezenas:

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(o ponto marca a casa das unidades da linha deslocada, muitas vezes deixada em branco).

O desenho retangular de 23 × 12: quatro produtos fáceis, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. A conta armada os agrupa em duas linhas: 46 (a linha do “× 2”) e 230 (a do “× 10”). — O desenho retangular de $23 \times 12$ : quatro produtos fáceis, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ . A conta armada os agrupa em duas linhas: $46$ (a linha do “ $\times 2$ ”) e $230$ (a do “ $\times 10$ ”).

Método 22.3 (Multiplicação armada por um número de dois algarismos)

Para calcular $457 \times 36$ :

primeira linha: $457 \times 6 = 2\,742$ ;
segunda linha: $457 \times 3$ dezenas $= 1\,371$ dezenas — escreva $1\,371$ deslocado uma casa para a esquerda;
some as duas linhas: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
estime para conferir: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Melhor: $450 \times 36$ dá cerca de $16\,000$ — plausível.

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

Exemplo 22.4 (Truques de cálculo mental)

Decompor do jeito amigável: $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ .
Usar um número quase redondo: $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ .
Dobrar e reduzir à metade: $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (reduzir um fator à metade e dobrar o outro mantém o produto).

22.3 A multiplicação em problemas

Exemplo 22.5

Uma escola encomenda $28$ caixas de $145$ folhas de papel.

Operação: $145 \times 28$ .
Estimativa: $150 \times 30 = 4\,500$ , um pouco por cima nas duas contas.
Conta armada: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ dezenas $= 2\,900$ ; total $4\,060$ .
Frase: a escola recebe $4\,060$ folhas.

22.4 Exercícios

Exercício 22.1 ★

Calcule de cabeça: $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$ .

Solução

Solução de Exercício 22.1.

$470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$ .

Exercício 22.2 ★

Calcule $34 \times 21$ decompondo como no Exemplo 22.2 ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ ) e depois confira armando a conta.

Solução

Solução de Exercício 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; a conta armada dá as mesmas linhas: $34$ e $680$ .

Exercício 22.3 ★

Arme a conta e calcule: $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$ .

Solução

Solução de Exercício 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$ .

Exercício 22.4 ★

Arme a conta, com uma estimativa antes: $208 \times 34$ ; $517 \times 62$ .

Solução

Solução de Exercício 22.4.

$208 \times 34$ : estimativa $200 \times 34 = 6\,800$ ; exatamente $7\,072$ .

$517 \times 62$ : estimativa $500 \times 60 = 30\,000$ ; exatamente $32\,054$ .

Exercício 22.5 ★

Calcule com um truque do Exemplo 22.4: $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (dobre e reduza à metade — duas vezes, se quiser).

Solução

Solução de Exercício 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ .

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ .

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (ou mais uma vez: $6 \times 180 = 1\,080$ ).

Exercício 22.6 ★

Um cinema tem $26$ fileiras de $18$ poltronas. Quantas poltronas ao todo?

Solução

Solução de Exercício 22.6.

$26 \times 18 = 468$ poltronas.

Exercício 22.7 ★

Um caminhão leva $32$ paletes de $48$ engradados. Quantos engradados? Dê primeiro uma estimativa e depois a resposta exata.

Solução

Solução de Exercício 22.7.

Estimativa: $30 \times 50 = 1\,500$ . Exatamente: $32 \times 48 = 1\,536$ engradados.

Exercício 22.8 ★

Encontre o erro: Ana calcula $57 \times 23$ fazendo $57 \times 3 = 171$ e $57 \times 2 = 114$ , e depois soma $171 + 114 = 285$ . A resposta correta é $1\,311$ . O que ela esqueceu?

Solução

Solução de Exercício 22.8.

Ela esqueceu que o $2$ de $23$ conta dezenas: a segunda linha tem de ser $57 \times 20 = 1\,140$ , e não $114$ . Total correto: $171 + 1\,140 = 1\,311$ .

Exercício 22.9 ★★

Um jardineiro planta $14$ fileiras de $35$ tulipas e $12$ fileiras de $28$ narcisos. Quantas flores ao todo? (Dois produtos e depois uma soma.)

Solução

Solução de Exercício 22.9.

Tulipas: $14 \times 35 = 490$ . Narcisos: $12 \times 28 = 336$ . Total: $490 + 336 = 826$ flores.

Exercício 22.10 ★★

Todo dia, uma padaria usa $67$ kg de farinha. Quanta farinha é isso, mais ou menos, num mês de $30$ dias — estime com números arredondados e depois calcule exatamente.

Solução

Solução de Exercício 22.10.

Estimativa: $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Exatamente: $67 \times 30 = 2\,010$ kg.

Exercício 22.11 ★★

Explique, com um desenho retangular como o deste capítulo, por que $15 \times 12$ pode ser calculado como $15 \times 10 + 15 \times 2$ . Depois invente outra decomposição de $15 \times 12$ que também funcione.

Solução

Solução de Exercício 22.11.

Um retângulo $15 \times 12$ de quadradinhos pode ser cortado por uma linha vertical numa parte $15 \times 10$ e numa parte $15 \times 2$ : contando cada parte, $150 + 30 = 180$ . Outro corte funciona igual, por exemplo $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ . Qualquer maneira de cortar o retângulo deixa inalterado o número total de quadradinhos.