68O teorema de Tales

Problema 68.1

Problema de fim de semana — Tales em ação: dividir um segmento qualquer em partes iguais, medir o Sol com uma caixa de sapatos e um trapézio em que as três médias famosas se encontram

O teorema de Tales é a matemática dos raios: raios de sol, raios de luz por um furinho, feixes de retas que saem de um vértice. Este problema o usa de três maneiras — como ferramenta de construção (dividir um segmento de comprimento qualquer, até mesmo $\sqrt2$, em partes perfeitamente iguais), como instrumento de medida (o diâmetro do Sol, com uma caixa de sapatos e uma moeda) e como lupa sobre o trapézio do Exercício 68.9, em que as médias aritmética, geométrica e harmônica desta série aparecem todas numa figura só.

Parte I — Dividir com uma régua sem marcação.

1. Trace um segmento $[AB]$ de $7$ cm. Para cortá-lo em três partes iguais com compasso e régua sem marcação: trace uma semirreta qualquer a partir de $A$ (que não passe por $B$); marque nela três aberturas iguais de compasso, obtendo os pontos $P_1$, $P_2$, $P_3$; ligue $P_3$ a $B$; trace as paralelas a $(P_3 B)$ que passam por $P_1$ e por $P_2$. Execute a construção e marque onde as paralelas cortam $[AB]$.
2. Justifique com o Teorema 68.1 que os dois pontos marcados cortam $[AB]$ exatamente nos terços dele.
3. Adapte o método para dividir um segmento em $5$ partes iguais e depois para construir $\frac35$ de um segmento dado.
4. Construa o ponto $M$ de $[AB]$ com $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (isto é, $M$ a $\frac25$ do caminho a partir de $A$). Quantos passos iguais na semirreta, e que ponto se liga a $B$?
5. Por que essa construção é melhor do que medir com uma régua graduada? Considere um segmento de comprimento $\sqrt2$ (a diagonal de um quadrado de lado $1$, irracional pelo Problema 65.1): o que a medição daria, e o que Tales dá?

Parte II — A câmara escura de furinho. Fure com um alfinete uma face de uma caixa fechada: na face oposta, aparece uma imagem do mundo de cabeça para baixo. Um ponto do objeto, o furinho e o ponto da imagem ficam alinhados — a luz viaja em linha reta — então o objeto (altura $H$, à distância $D$ na frente do furo) e a imagem dele (altura $h$, na parede do fundo, à profundidade $d$ atrás do furo) ficam na configuração borboleta de Tales.

6. Deduza a fórmula do furinho, $h = H \times \frac dD$, de Tales na borboleta em torno do furo.
7. Uma árvore de $12$ m fica a $30$ m de uma caixa de sapatos de $20$ cm de profundidade. Que altura tem a imagem dela, e em que posição?
8. Aponte a caixa para o Sol: a $d = 1$ m atrás do furinho, a imagem do Sol é um disco de cerca de $9$ mm de diâmetro. Dada a distância do Sol, $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, calcule o diâmetro dele em notação científica (a notação do Problema 63.1 em ação). Compare com o valor verdadeiro, $1.39 \times 10^9$ m.
9. A Lua: diâmetro $3.5 \times 10^6$ m, distância $3.8 \times 10^8$ m. Calcule a razão $\frac{\text{diâmetro}}{\text{distância}}$ para a Lua e para o Sol. Que coincidência de sorte os dois números revelam — e que acontecimento espetacular ela torna possível?
10. Em uma ou duas frases: por que a imagem do furinho fica de cabeça para baixo, e por que alargar o furo deixa a imagem mais clara, porém mais borrada?

Parte III — O trapézio das três médias. $ABCD$ é o trapézio do Exercício 68.9: $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$, $CD = 6$, com as diagonais se cruzando em $O$ e $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$.

11. Treino de borboleta: duas retas se cruzam em $O$ com $(MN) \parallel (PQ)$ em posição de borboleta; $OM = 3$, $OP = 7.5$, $MN = 4$ e $OQ = 6$. Calcule $PQ$ e $ON$.
12. Explique como Tales, aplicado com razão $\frac12$, contém o teorema dos pontos médios do Teorema 59.1 como caso particular.
13. Trace a paralela às bases que passa por $O$; ela encontra $[AD]$ em $E$. Trabalhando no triângulo $ACD$ (note que $\frac{AO}{AC} = \frac25$), calcule $EO$.

14. Pela conta espelhada no triângulo $BDC$, o pedaço $OF$ (com $F$ sobre $[BC]$) tem o mesmo comprimento. Conclua que

    $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$

    a paralela que passa pelo cruzamento das diagonais mede a média harmônica das bases — a média da ida e volta do Problema 61.1, reaparecendo na geometria pura.

15. O grande final: calcule as três médias clássicas das bases $4$ e $6$ — aritmética $\frac{4+6}{2}$, geométrica $\sqrt{4 \times 6}$, harmônica $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — e ordene-as. Cada uma mora no trapézio: a média aritmética é a base média, que liga os pontos médios dos lados oblíquos (Problema 53.1); a média harmônica é o seu segmento $EF$; e a média geométrica é a paralela que corta o trapézio em dois trapézios semelhantes (confira o valor dela com a calculadora; a demonstração é um belo desafio extra). Onde a desigualdade entre as três foi demonstrada neste livro (Problema 60.1, Problema 61.1)?