Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

35Cubos e blocos retangulares

Saindo da página plana: os sólidos são as formas do mundo real — dados, caixas de cereal, latas, bolas. Este capítulo aprende a nomeá-los, a contar as faces e as arestas deles, a desdobrá-los em planificações e a medir o volume contando cubinhos. (As fórmulas de volume vêm no Capítulo 43.)

35.1 A família dos sólidos

Definição 35.1 (Os sólidos e o vocabulário deles)

Um sólido ocupa espaço. Os lados planos são as faces; as faces se encontram nas arestas; as arestas se encontram nos vértices. Os retratos de família:

o cubo: $6$ faces quadradas, $12$ arestas, $8$ vértices;
o bloco retangular (prisma de base retangular): $6$ faces retangulares, $12$ arestas, $8$ vértices;
o cilindro: duas faces em forma de disco e uma face enrolada (uma lata);
a pirâmide: uma base poligonal e triângulos que se encontram num ápice;
a bola (esfera): uma superfície perfeitamente redonda, sem face e sem aresta.

A galeria dos sólidos. As linhas tracejadas mostram as arestas escondidas — o fundo do sólido, visto através dele.

Exemplo 35.2 (Contar no cubo)

Confira num dado: $6$ faces (os números de $1$ a $6$ ), $8$ vértices (os cantos), $12$ arestas (passe o dedo por elas: $4$ em cima, $4$ embaixo, $4$ verticais). E $6 + 8 = 12 + 2$ — o mesmo padrão curioso vale para o bloco e para a pirâmide (o Exemplo 62.2 volta a ele).

35.2 Planificações

Definição 35.3 (Planificação)

Uma planificação de um sólido é um desenho plano de todas as faces dele, unidas pelas arestas, que se dobra e forma o sólido — o sólido desembrulhado, como uma caixa de papelão achatada para a reciclagem.

Três arranjos de seis quadrados. Os dois primeiros se dobram num cubo; o terceiro não — ao dobrar, dois quadrados caem sobre a mesma face e o cubo fica aberto. Recorte e experimente!

Exemplo 35.4 (Ler uma planificação)

Num dado, as faces opostas somam $7$ . Na planificação, as faces opostas são as separadas por exatamente um quadrado numa fileira (ou dobrando um canto) — não as vizinhas! Marcar os pares na planificação antes de dobrar é um ótimo exercício de enxergar o espaço no plano.

35.3 Volume: contar cubinhos

Definição 35.5 (Volume por contagem)

O volume de um sólido montado com cubinhos unitários é o número de cubinhos que ele contém. A unidade pode ser o centímetro cúbico (cm $^3$ ) ou o metro cúbico (m $^3$ ).

Exemplo 35.6 (Contar um bloco camada por camada)

Um bloco com $4$ cubinhos de comprimento, $3$ de largura e $2$ de altura: a camada de baixo leva $4 \times 3 = 12$ cubinhos, e há $2$ camadas:

12 \times 2 = 24 \text{ cubinhos} .

Contar por camadas sempre funciona — e demonstra discretamente a fórmula $V = L \times w \times h$ do Capítulo 43.

Um bloco 4 × 3 × 2 de cubinhos unitários, contado camada por camada. — Um bloco $4 \times 3 \times 2$ de cubinhos unitários, contado camada por camada.

Exemplo 35.7 (Os mesmos cubinhos, formas diferentes)

Oito cubinhos unitários montam um cubo $2 \times 2 \times 2$ , um bastão $8 \times 1 \times 1$ ou uma laje $4 \times 2 \times 1$ : três sólidos diferentes, um só volume ( $8$ cubinhos). O volume conta o material, não a forma.

35.4 Exercícios

Exercício 35.1 ★

Dê o nome de um objeto real com o formato de: um cubo; um bloco retangular; um cilindro; uma bola; uma pirâmide.

Solução

Solução de Exercício 35.1.

Por exemplo: um dado (cubo); uma caixa de cereal (bloco retangular); uma lata (cilindro); uma bola de futebol (bola); certos telhados ou os monumentos do Egito (pirâmide).

Exercício 35.2 ★

Quantas faces, arestas e vértices tem um bloco retangular? Confira o padrão faces $+$ vértices $=$ arestas $+ 2$ .

Solução

Solução de Exercício 35.2.

Um bloco retangular tem $6$ faces, $12$ arestas e $8$ vértices — e $6 + 8 = 12 + 2$ . ✓

Exercício 35.3 ★

Que faces de um bloco retangular são idênticas? (Agrupe as seis faces em pares.) O que há de especial nas faces do cubo?

Solução

Solução de Exercício 35.3.

As seis faces vêm em três pares de faces opostas idênticas (cima–baixo, frente–fundo, esquerda–direita). Num cubo, as seis faces são quadrados idênticos.

Exercício 35.4 ★

Trace uma planificação de um cubo de lado $2$ cm (use o modelo em forma de cruz do capítulo), recorte-a e dobre-a.

Solução

Solução de Exercício 35.4.

Planificação em cruz: quatro quadrados de $2$ cm numa fileira, um acima e um abaixo do segundo quadrado. Dobrar o anel de quatro forma as laterais; os dois quadrados extras fecham o topo e o fundo.

Exercício 35.5 ★

Na planificação em cruz de um dado, coloque os números de $1$ a $6$ de modo que as faces opostas somem $7$ . (Use o Exemplo 35.4 para achar antes os pares opostos.)

Solução

Solução de Exercício 35.5.

Na planificação em cruz (quatro quadrados numa fileira, um acima e um abaixo do segundo), os pares opostos são: os quadrados $1$ e $3$ da fileira; os quadrados $2$ e $4$ da fileira; o quadrado de cima e o de baixo. Uma numeração correta: fileira $= 1, 2, 6, 5$ ; cima $= 3$ ; baixo $= 4$ — aí $1{+}6$ , $2{+}5$ e $3{+}4$ dão todos $7$ .

Exercício 35.6 ★

Conte os cubinhos unitários: um bloco de $5$ de comprimento, $2$ de largura e $3$ de altura; um cubo de lado $3$ ; uma pilha em forma de L feita de uma laje $3 \times 2 \times 1$ com uma laje $1 \times 2 \times 1$ em cima.

Solução

Solução de Exercício 35.6.

Bloco: $5 \times 2 = 10$ por camada, $3$ camadas: $30$ cubinhos. Cubo: $3 \times 3 \times 3 = 27$ . Pilha em L: $3 \times 2 \times 1 = 6$ mais $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ cubinhos.

Exercício 35.7 ★

Um bloco leva exatamente $12$ cubinhos unitários numa camada. Dê dois formatos possíveis de camada ( $L \times w$ ) e, para cada um, o volume do bloco se ele tiver $3$ camadas dessas.

Solução

Solução de Exercício 35.7.

Camadas de $12$ : por exemplo $4 \times 3$ ou $6 \times 2$ (ou $12 \times 1$ ). Com $3$ camadas, o volume é $12 \times 3 = 36$ cubinhos em qualquer caso.

Exercício 35.8 ★

Com $27$ cubinhos unitários, que cubo você consegue montar? E com $64$ ? (Pense na contagem por camadas ao contrário.)

Solução

Solução de Exercício 35.8.

$27 = 3 \times 3 \times 3$ : um cubo de lado $3$ . $64 = 4 \times 4 \times 4$ : um cubo de lado $4$ .

Exercício 35.9 ★★

Torrões de açúcar de lado $1$ cm vêm numa caixa de $10$ cm de comprimento, $5$ cm de largura e $4$ cm de altura (medidas internas). Quantos torrões cabem? Se uma família usa $6$ torrões por dia, para quantos dias dura uma caixa (arredonde com bom senso)?

Solução

Solução de Exercício 35.9.

A caixa leva $10 \times 5 \times 4 = 200$ torrões de açúcar. A $6$ por dia: $200 = 6 \times 33 + 2$ , então a caixa dura $33$ dias completos (e sobram $2$ torrões para a manhã do dia $34$ ).

Exercício 35.10 ★★

Um cubo $3 \times 3 \times 3$ é pintado de vermelho por fora e depois cortado em $27$ cubinhos unitários. Quantos cubinhos têm tinta em exatamente $3$ faces? Em $2$ ? Em $1$ ? Em nenhuma? (Confira: as quatro contagens têm de somar $27$ .)

Solução

Solução de Exercício 35.10.

Tinta em $3$ faces: os $8$ cubinhos dos cantos. Em $2$ faces: os do meio das $12$ arestas: $12$ cubinhos. Em $1$ face: os do centro das $6$ faces: $6$ cubinhos. Em nenhuma: o único cubinho escondido no centro: $1$ . Confere: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ . ✓