62Pirâmides e cones

Solução de Problema 62.1.

1. $G$ pertence à face de cima $EFGH$ e às duas faces laterais $BCGF$ e $DCGH$. As três faces que não contêm $G$ são o fundo $ABCD$, a frente $ABFE$ e a face da esquerda $ADHE$ (todas compartilham o vértice $A$, o canto oposto a $G$). As três pirâmides são $ABCDG$, $ABFEG$ e $ADHEG$: cada uma tem uma face quadrada do cubo como base e o vértice distante $G$ no topo. Cada uma é uma pirâmide de base quadrada: $5$ faces, $8$ arestas, $5$ vértices (Exemplo 62.2).

2. A diagonal longa $[AG]$ liga os dois únicos vértices que não pertencem a nenhuma das três bases. Uma rotação de um terço de volta em torno da reta $(AG)$ leva o cubo nele mesmo (as três arestas que saem de $A$ — em direção a $B$, $D$, $E$ — são embaralhadas em ciclo, e o mesmo acontece com as três arestas que chegam a $G$). Ela leva a base $ABCD$ em $ADHE$, depois $ADHE$ em $ABFE$, e de volta: vértice do topo fixo em $G$, bases em ciclo. Cada pirâmide é assim levada na seguinte: as três são cópias idênticas.

3. Três peças idênticas que preenchem o cubo repartem o volume dele igualmente:

4. A pirâmide $ABCDG$ tem base $ABCD$, de área $a^2$, e o vértice $G$ dela fica na vertical acima do canto $C$, à altura $CG = a$ (uma aresta vertical do cubo). Como no Exercício 62.11, a fórmula se aplica com a altura perpendicular $h = a$:

em acordo perfeito com a questão 3 — a decomposição e a fórmula se confirmam uma à outra.

5. Para $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ cada. A experiência de despejar água é essa decomposição em forma líquida: o prisma sobre a base $ABCD$ com altura $a$ é o próprio cubo, e ele comporta exatamente três enchimentos da pirâmide — e aqui os três enchimentos até se montam geometricamente no cubo.

6. Ligar o centro $O$ aos quatro cantos de cada face produz seis pirâmides, uma por face: base quadrada, vértice $O$ no topo. O centro está igualmente posicionado em relação às seis faces (qualquer rotação ou simetria do cubo fixa $O$ e permuta as faces), então as seis pirâmides são idênticas. A altura de cada uma é a distância de $O$ até uma face: metade do lado, $\frac{a}{2}$.

7. Seis peças idênticas repartem o cubo: $V = \frac{a^3}{6}$ cada.

8. Pela fórmula: área da base $a^2$, altura $\frac a2$:

As duas respostas concordam.

9. As duas decomposições tratam de pirâmides de proporções bem especiais, talhadas num cubo; uma pirâmide esguia, uma pirâmide torta ou um cone não podem ser montados assim (três cones não enchem um cilindro). É por isso que o Teorema 62.3 é admitido neste nível: as decomposições e a experiência de despejar água tornam o $\frac13$ inteiramente crível, e a demonstração geral honesta — a integração — é dada no volume do ensino médio.

10. $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; e, pela fórmula, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Concordam.

11. No triângulo $SAB$, os pontos médios dos lados $[SA]$ e $[SB]$ são ligados por um segmento paralelo a $(AB)$ e de comprimento $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ (Teorema 59.1). O mesmo vale em cada face lateral, então os quatro pontos médios formam um quadrado de lado $\frac c2$, com os lados paralelos aos da base. Sobre a reta vertical que passa pelo vértice do topo, o corte passa pelo ponto médio da altura (teorema dos pontos médios de novo, num triângulo que passa por $S$, pelo centro da base e por um vértice da base): o plano de corte fica à altura $\frac h2$.

12. A peça de cima é uma pirâmide regular de base quadrada de lado $\frac c2$ e altura $\frac h2$ (a base dela é o corte, e o vértice do topo é $S$). O volume dela é

um oitavo do original — e não a metade.

13. O tronco fica com o resto: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. O corte na metade da altura reparte o volume na razão $1 : 7$ — a laje de baixo, de aparência modesta, guarda sete vezes o volume da ponta de cima.

14. Abaixo da metade da altura fica $\frac78$ do volume. Com $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ (Exercício 62.7):

arredondando à centena — a campanha da “metade de baixo” limpa quase oito vezes o volume de vidro da outra.

15. Dobrar todas as dimensões multiplica a área da base por $2^2 = 4$ e a altura por $2$, logo o volume por $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Ampliar por $k$ multiplica as áreas por $k^2$ e mais um comprimento por $k$: os volumes crescem pelo fator $k^3$. A peça de cima da questão 12 é uma cópia reduzida da pirâmide inteira com $k = \frac12$, então o volume dela é $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ do total — a explicação em uma linha.