Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

33Construções geométricas

Régua, esquadro, compasso: com essas três ferramentas e um pouco de método, qualquer figura descrita em palavras pode ser construída com exatidão. Este capítulo constrói perpendiculares, paralelas, triângulos e os quadriláteros especiais — primeiro o ofício, depois a teoria (Capítulos 40 e 41).

33.1 Perpendiculares e paralelas por um ponto

Método 33.1 (As duas construções básicas)

Perpendicular a $d$ por $A$ : deslize o esquadro ao longo de $d$ até a outra borda do ângulo reto alcançar $A$ ; trace; marque o ângulo reto.

Paralela a $d$ por $A$ : encoste uma régua no esquadro, servindo de trilho apoiado em $d$ ; deslize o esquadro até $A$ ; trace. (Conferência: a distância entre as duas retas é a mesma em toda parte.)

Exemplo 33.2 (Encadear construções)

Muitas figuras são cadeias desses dois movimentos. Um retângulo $ABCD$ com $AB = 5$ cm e $BC = 3$ cm: trace $[AB]$ ; perpendicular em $A$ ; perpendicular em $B$ ; marque $D$ e $C$ a $3$ cm do mesmo lado; ligue. Cada passo é uma construção básica.

33.2 Triângulos com o compasso

Método 33.3 (Triângulo a partir de três lados)

Para construir um triângulo de lados $6$ cm, $5$ cm e $4$ cm:

trace o lado mais longo, $[AB]$ com $AB = 6$ cm;
arco de centro $A$ e raio $5$ cm;
arco de centro $B$ e raio $4$ cm;
o cruzamento deles é o terceiro vértice $C$ ; ligue.

O compasso garante os comprimentos: todo ponto do primeiro arco está a exatamente $5$ cm de $A$ .

Dois arcos, um cruzamento: o triângulo 6–5–4 construído com o compasso. (Se os dois lados curtos juntos fossem menores que a base, os arcos não se encontrariam — mais sobre isso no .) — Dois arcos, um cruzamento: o triângulo $6$ – $5$ – $4$ construído com o compasso. (Se os dois lados curtos juntos fossem menores que a base, os arcos não se encontrariam — mais sobre isso no Capítulo 51.)

Exemplo 33.4 (Isósceles e equilátero de graça)

Mesma abertura de compasso nos dois arcos $\Rightarrow$ triângulo isósceles. Abertura igual à base $\Rightarrow$ equilátero. O compasso não mede: ele copia comprimentos, o que é ainda melhor.

33.3 Os quadriláteros especiais, por construção

Método 33.5 (Construir a família)

Retângulo: dois pares de paralelas que se cruzam em ângulo reto — ou a cadeia do Exemplo 33.2;
quadrado: um retângulo cujos quatro lados usam o mesmo comprimento — transporte-o com o compasso;
losango: quatro lados iguais — trace um lado e depois dois arcos de compasso a partir das pontas dele, com a mesma abertura, para fixar os outros dois vértices (um losango são dois triângulos isósceles colados por uma diagonal).

Depois de construir, confira sempre com as ferramentas: esquadro nos cantos, compasso nos lados.

Exemplo 33.6 (Reconhecer a partir de uma descrição)

“Um quadrilátero com quatro lados de $4$ cm e um ângulo reto” — construa: os quatro lados iguais forçam um formato de losango, e empurrar um canto para o ângulo reto endireita todos os outros: o resultado é um quadrado. Algumas descrições descrevem, sem dizer, uma forma mais especial do que anunciam. (Por que o ângulo reto se espalha pelos quatro cantos é explicado no Capítulo 52.)

33.4 Círculos nas construções

Exemplo 33.7 (O círculo como ferramenta)

“Encontre todos os pontos a $3$ cm de $A$ ”: o círculo de centro $A$ e raio $3$ cm. “Encontre todos os pontos a $3$ cm de $A$ e a $4$ cm de $B$ ”: trace os dois círculos; os cruzamentos deles (dois, um ou nenhum ponto) são as respostas. Mapas de tesouro e construções de triângulos usam exatamente essa ideia.

33.5 Exercícios

Exercício 33.1 ★

Trace uma reta $d$ e um ponto $A$ a uns $3$ cm dela. Construa a perpendicular a $d$ por $A$ e depois a paralela a $d$ por $A$ . Marque os ângulos retos.

Solução

Solução de Exercício 33.1.

As duas construções seguem o Método 33.1; a perpendicular e a paralela por $A$ são, elas próprias, perpendiculares entre si.

Exercício 33.2 ★

Construa um retângulo $ABCD$ com $AB = 7$ cm e $BC = 4$ cm, seguindo o Exemplo 33.2. Confira o quarto ângulo com o esquadro: se a construção for exata, ele é reto automaticamente.

Solução

Solução de Exercício 33.2.

Cadeia de perpendiculares como no Exemplo 33.2. Se os três ângulos construídos forem exatamente retos e os comprimentos exatos, o quarto ângulo não tem escolha senão ser reto também — um retângulo bem construído se confere sozinho.

Exercício 33.3 ★

Construa um triângulo de lados $7$ cm, $6$ cm e $3$ cm (Método 33.3).

Solução

Solução de Exercício 33.3.

Base $[AB]$ de $7$ cm; arcos de raios $6$ cm (a partir de $A$ ) e $3$ cm (a partir de $B$ ); o cruzamento é $C$ .

Exercício 33.4 ★

Construa um triângulo isósceles de base $5$ cm e lados iguais de $7$ cm; depois um triângulo equilátero de lado $6$ cm.

Solução

Solução de Exercício 33.4.

Isósceles: base $5$ cm, os dois arcos com a mesma abertura de $7$ cm. Equilátero: base $6$ cm, os dois arcos com abertura de $6$ cm.

Exercício 33.5 ★

Construa um quadrado de lado $5$ cm. Que ferramentas garantem os ângulos retos? Quais garantem os lados iguais?

Solução

Solução de Exercício 33.5.

O esquadro garante os ângulos retos; o compasso (ou a régua) transporta o lado de $5$ cm para os quatro lados.

Exercício 33.6 ★

Construa um losango de lado $4$ cm que não seja um quadrado (escolha você mesmo a abertura do primeiro canto). Confira os quatro lados com o compasso.

Solução

Solução de Exercício 33.6.

Trace um lado $[AB]$ de $4$ cm, escolha uma direção para $[AD]$ (não perpendicular, para não sair um quadrado), com $AD = 4$ cm; depois arcos de $4$ cm a partir de $B$ e de $D$ se cruzam em $C$ . O compasso confirma os quatro lados iguais.

Exercício 33.7 ★

Marque dois pontos $A$ e $B$ com $AB = 5$ cm. Construa todos os pontos que estão a $4$ cm de $A$ e a $3$ cm de $B$ . Quantos são?

Solução

Solução de Exercício 33.7.

O círculo de centro $A$ e raio $4$ cm e o círculo de centro $B$ e raio $3$ cm se cruzam em dois pontos (um acima e um abaixo da reta $(AB)$ ), porque $4 + 3 > 5$ e os círculos se sobrepõem.

Exercício 33.8 ★

Escreva um programa de construção (passos numerados, pontos com nome) para um retângulo de $6$ cm $\times$ $2$ cm encimado por um triângulo isósceles de lados iguais de $4$ cm (o formato de um lápis). Peça a um colega que o execute.

Solução

Solução de Exercício 33.8.

Um programa correto: “1. Trace um retângulo $ABCD$ com $AB = 6$ cm (embaixo) e $BC = 2$ cm. 2. Trace dois arcos de raio $4$ cm com centros em $D$ e em $C$ (os cantos de cima); chame de $S$ o cruzamento deles acima do retângulo. 3. Trace $[DS]$ e $[CS]$ .” (A ponta do lápis é o triângulo isósceles $DSC$ .)

Exercício 33.9 ★★

Tente construir um triângulo de lados $8$ cm, $3$ cm e $4$ cm. O que acontece com os arcos? Explique em uma frase por que esse triângulo não pode existir.

Solução

Solução de Exercício 33.9.

Os arcos de raios $3$ cm e $4$ cm, traçados a partir das duas pontas da base de $8$ cm, nunca se encontram: mesmo emendados, $3 + 4 = 7$ cm não atravessam $8$ cm. Dois lados juntos têm de ser sempre maiores que o terceiro — senão o triângulo não fecha.

Exercício 33.10 ★★

Construa um losango cujas diagonais meçam $6$ cm e $4$ cm, sabendo que as diagonais de um losango se cruzam nos seus meios formando ângulo reto: trace primeiro as diagonais e depois ligue as quatro pontas.

Solução

Solução de Exercício 33.10.

Trace um segmento de $6$ cm e o ponto médio $O$ dele; trace a perpendicular em $O$ ; marque nela dois pontos a $2$ cm de $O$ (um de cada lado); ligue as quatro pontas em ordem. O compasso confirma os quatro lados iguais.

Exercício 33.11 ★★

Uma cabra está amarrada a uma estaca $A$ por uma corda de $4$ m, num campo plano com uma cerca reta passando a $3$ m de $A$ . Faça uma planta (1 cm por metro): que região a cabra consegue alcançar? Onde a cerca a limita?

Solução

Solução de Exercício 33.11.

Na planta, a cabra alcança o disco de centro $A$ e raio $4$ cm, cortado pela linha da cerca a $3$ cm de $A$ : a região dela é o disco menos a fatia que fica além da cerca. Ao longo da cerca ela pode pastar num segmento (onde o círculo cruza a linha da cerca); além disso, nada.