Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

42Simetria axial

Dobre uma folha de papel ao longo de uma reta: cada ponto cai sobre outro ponto, a imagem espelhada dele. Essa dobra é a simetria axial (ou reflexão), a primeira transformação geométrica do livro — a segunda, a simetria central, vem no Capítulo 52.

42.1 Reflexões

Definição 42.1 (Ponto simétrico)

Seja $d$ uma reta. O simétrico de um ponto $M$ em relação a $d$ é o ponto $M'$ tal que $d$ é a mediatriz de $[MM']$ : o segmento $[MM']$ é perpendicular a $d$ , e $d$ o corta no ponto médio. Um ponto sobre $d$ é o simétrico de si mesmo.

Refletindo em relação à reta d: o eixo é perpendicular a [MM'] e passa pelo ponto médio dele (tracinhos iguais). Um ponto P sobre o eixo não se move. — Refletindo em relação à reta $d$ : o eixo é perpendicular a $[MM']$ e passa pelo ponto médio dele (tracinhos iguais). Um ponto $P$ sobre o eixo não se move.

Método 42.2 (Construir um ponto simétrico)

Para construir o simétrico $M'$ de $M$ em relação à reta $d$ :

trace a perpendicular a $d$ que passa por $M$ (esquadro); chame de $H$ o ponto em que ela cruza $d$ ;
meça $MH$ com o compasso ou com a régua;
marque $M'$ sobre a mesma perpendicular, do outro lado de $d$ , com $HM' = MH$ .

No papel quadriculado é mais rápido: conte os quadradinhos de $M$ até o eixo e conte a mesma quantidade do outro lado.

Exemplo 42.3 (Na malha quadriculada)

Se o eixo for uma linha vertical da malha e $M$ estiver $3$ quadradinhos à esquerda dela, então $M'$ fica $3$ quadradinhos à direita, na mesma linha. Para um eixo diagonal, a contagem funciona ao longo das diagonais — sempre perpendicularmente ao eixo.

Uma figura e a reflexão dela em relação ao eixo vertical: cada vértice é refletido quadradinho a quadradinho, e esquerda e direita trocam de lugar.

Proposição 42.4 (O que uma reflexão preserva)

O simétrico de uma figura em relação a uma reta é uma figura da mesma forma e do mesmo tamanho: comprimentos, ângulos, perímetros e áreas são todos preservados. O simétrico de um segmento é um segmento; o de um círculo, um círculo de mesmo raio; o de uma reta, uma reta.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 42.5

Uma coisa não é preservada: a orientação. Um “b” refletido vira um “d” — escrita espelhada. Se decalcar a sua figura e virar o papel vegetal reproduz a imagem, a reflexão está correta.

42.2 Eixos de simetria de uma figura

Definição 42.6 (Eixo de simetria)

Uma reta $d$ é um eixo de simetria de uma figura quando a reflexão em relação a $d$ leva a figura exatamente sobre ela mesma — dobrar ao longo de $d$ faz as duas metades coincidirem.

Eixos de simetria de formas conhecidas. Cuidado com o retângulo: as diagonais dele não são eixos de simetria (dobre por uma diagonal — as metades não coincidem, a menos que seja um quadrado). — Eixos de simetria de formas conhecidas. Cuidado com o retângulo: as diagonais dele *não* são eixos de simetria (dobre por uma diagonal — as metades não coincidem, a menos que seja um quadrado).

Exemplo 42.7

Contando eixos de simetria:

triângulo isósceles: $1$ (pelo vértice do topo e pelo meio da base); triângulo equilátero: $3$ ;
retângulo: $2$ (as duas “linhas médias”, não as diagonais); losango: $2$ (as diagonais dele!); quadrado: $4$ ;
círculo: toda reta que passa pelo centro — infinitos.

Exemplo 42.8 (A simetria demonstra igualdades)

Por que os dois ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais? Dobre o triângulo ao longo do eixo de simetria dele: a metade esquerda cai exatamente sobre a direita, então o ângulo da base à esquerda cai sobre o ângulo da base à direita — eles têm de ter a mesma medida (Proposição 42.4: as reflexões preservam ângulos).

42.3 Mediatriz

Definição 42.9 (Mediatriz)

A mediatriz de um segmento $[AB]$ é a reta perpendicular a $[AB]$ que passa pelo ponto médio dele — é o eixo de simetria que troca $A$ e $B$ .

Proposição 42.10 (Equidistância)

Um ponto $M$ está sobre a mediatriz de $[AB]$ exatamente quando está à mesma distância de $A$ e de $B$ : $MA = MB$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Método 42.11 (Construção com o compasso)

Para traçar a mediatriz de $[AB]$ sem medir:

abra o compasso mais que a metade de $AB$ ;
trace dois arcos com centro em $A$ , acima e abaixo do segmento;
com a mesma abertura, trace dois arcos com centro em $B$ ;
ligue os dois pontos de cruzamento: essa reta é a mediatriz (cada ponto de cruzamento é equidistante de $A$ e de $B$ ).

42.4 Exercícios

Exercício 42.1 ★

Copie no papel quadriculado: um eixo vertical $d$ , um ponto $A$ dois quadradinhos à esquerda dele e um ponto $B$ cinco quadradinhos à esquerda e um quadradinho acima. Construa os simétricos $A'$ e $B'$ deles em relação a $d$ .

Solução

Solução de Exercício 42.1.

$A'$ fica dois quadradinhos à direita de $d$ , na mesma linha que $A$ ; $B'$ fica cinco quadradinhos à direita e um quadradinho acima — posições espelhadas.

Exercício 42.2 ★

Trace uma reta $d$ e um ponto $M$ a $3$ cm de $d$ (fora do papel quadriculado). Construa o simétrico $M'$ de $M$ em relação a $d$ com esquadro e régua, seguindo o Método 42.2. Que distância separa $M$ e $M'$ ?

Solução

Solução de Exercício 42.2.

Perpendicular a $d$ por $M$ , com pé $H$ ; depois $M'$ do outro lado, com $HM' = MH = 3$ cm. A distância $MM'$ é $3 + 3 = 6$ cm.

Exercício 42.3 ★

Que letras maiúsculas do alfabeto, escritas na forma mais simples, têm eixo de simetria vertical (como o A)? E horizontal (como o B)? E os dois?

Solução

Solução de Exercício 42.3.

Eixo vertical (como o A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Eixo horizontal (como o B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Os dois: H, I, O, X. (As respostas exatas dependem um pouco do traçado das letras.)

Exercício 42.4 ★

Quantos eixos de simetria tem: um triângulo equilátero? um retângulo (que não seja quadrado)? um losango (não quadrado)? um quadrado? um círculo? Trace cada figura com os eixos dela.

Solução

Solução de Exercício 42.4.

Triângulo equilátero: $3$ eixos. Retângulo: $2$ (as mediatrizes dos lados dele). Losango: $2$ (as diagonais dele). Quadrado: $4$ . Círculo: infinitos (toda reta que passa pelo centro).

Exercício 42.5 ★

Verdadeiro ou falso? “As diagonais de um retângulo são eixos de simetria do retângulo.” Explique com um argumento de dobra ou com um desenho.

Solução

Solução de Exercício 42.5.

Falso. Dobrar um retângulo (não quadrado) por uma diagonal não faz as duas metades coincidirem: os dois triângulos têm a mesma forma, mas ficam posicionados de modos diferentes — experimente com uma folha de papel. Só no quadrado as diagonais funcionam como eixos.

Exercício 42.6 ★

Um triângulo $ABC$ é refletido em relação a uma reta $d$ , dando $A'B'C'$ . Sabendo que $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ e que o perímetro de $ABC$ é $12$ cm, dê, sem construção nenhuma, $A'B'$ , $\widehat{B'A'C'}$ e o perímetro de $A'B'C'$ .

Solução

Solução de Exercício 42.6.

As reflexões preservam comprimentos, ângulos e perímetros (Proposição 42.4): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ e o perímetro de $A'B'C'$ é $12$ cm.

Exercício 42.7 ★

Trace um segmento $[AB]$ de $7$ cm e construa a mediatriz dele com o compasso (Método 42.11). Escolha um ponto $M$ qualquer sobre ela e confira com a régua que $MA = MB$ .

Solução

Solução de Exercício 42.7.

Construção com o compasso como no Método 42.11. Para qualquer $M$ sobre a reta, a régua confirma $MA = MB$ (Proposição 42.10).

Exercício 42.8 ★★

Duas árvores ficam nos pontos $A$ e $B$ de um jardim (plano). Onde se pode plantar uma fonte de modo que ela fique à mesma distância das duas árvores? Descreva todos os lugares possíveis.

Solução

Solução de Exercício 42.8.

Todos os pontos à mesma distância de $A$ e de $B$ formam a mediatriz de $[AB]$ (Proposição 42.10). A fonte pode ficar em qualquer lugar dessa reta (dentro do jardim).

Exercício 42.9 ★★

No papel quadriculado, trace o eixo $d$ (uma diagonal da malha, a $45^\circ$ ) e uma pequena figura em forma de L de um dos lados. Construa a figura simétrica em relação a $d$ . (Reflita cada vértice: para um eixo a $45^\circ$ , um ponto $2$ quadradinhos à direita do eixo cai $2$ quadradinhos acima dele.)

Solução

Solução de Exercício 42.9.

Cada vértice é refletido perpendicularmente ao eixo: para o eixo a $45^\circ$ , um ponto $k$ quadradinhos à direita do eixo cai $k$ quadradinhos acima dele (e vice-versa) — os deslocamentos horizontal e vertical trocam de papel. Reflita os vértices um a um e depois ligue-os em ordem.

Exercício 42.10 ★★

Trace um círculo de centro $O$ , uma reta $d$ passando por $O$ e um ponto $M$ sobre o círculo. Onde fica o simétrico de $M$ em relação a $d$ ? Explique por que a reflexão leva o círculo sobre ele mesmo.

Solução

Solução de Exercício 42.10.

O simétrico de $M$ é a segunda interseção do círculo com a perpendicular a $d$ por $M$ — e ele fica sobre o círculo. Razão: a reflexão preserva distâncias e fixa $O$ (que está sobre $d$ ), então a imagem de qualquer ponto à distância $r$ de $O$ está de novo à distância $r$ de $O$ : o círculo é levado sobre ele mesmo.

Exercício 42.11 ★★

Usando a propriedade de equidistância (Proposição 42.10), explique por que os dois pontos de cruzamento dos arcos do Método 42.11 realmente ficam sobre a mediatriz de $[AB]$ .

Solução

Solução de Exercício 42.11.

Cada ponto de cruzamento $P$ foi traçado com a mesma abertura de compasso $\rho$ a partir de $A$ e de $B$ : logo $PA = \rho = PB$ . Pela Proposição 42.10, um ponto equidistante de $A$ e de $B$ está sobre a mediatriz de $[AB]$ ; e dois pontos desses determinam a reta.

Exercício 42.12 ★★★

Uma bola de bilhar no ponto $A$ tem de bater numa parede reta $d$ e chegar ao ponto $B$ (os dois do mesmo lado da parede). Reflita $B$ em relação a $d$ , obtendo $B'$ , e trace o segmento $[AB']$ . Explique por que o melhor ponto de rebatida é onde $[AB']$ cruza a parede. (Ideia: o caminho $A \to P \to B$ tem o mesmo comprimento que $A \to P \to B'$ .)

Solução

Solução de Exercício 42.12.

Para qualquer ponto de rebatida $P$ sobre a parede, $PB = PB'$ (a reflexão em relação a $d$ preserva distâncias), então o comprimento do caminho é $AP + PB = AP + PB'$ . A linha quebrada $A \to P \to B'$ é mais curta quando é reta, isto é, quando $P$ está sobre o segmento $[AB']$ . Logo o melhor ponto de rebatida é a interseção de $[AB']$ com a parede.

42.5 Problema: a fonte, o prato quebrado e o espelho que caminha

Problema 42.1

Problema de fim de semana — as três mediatrizes de um triângulo se encontram num ponto: o círculo que passa por três pontos e o que dois espelhos fazem juntos

No Exercício 42.8, uma fonte tinha de ficar à mesma distância de duas árvores, e a resposta foi uma reta inteira de lugares. Este problema planta uma terceira árvore — e a reta inteira desaba num único ponto perfeitamente determinado. Esse ponto esconde um tesouro da geometria: ele permite traçar o único círculo que passa por três pontos dados, reconstruir um prato inteiro a partir de um caco, e pertence a todo triângulo. A última parte faz uma experiência com dois espelhos cujo resultado anuncia a geometria do ano que vem.

Parte I — Duas árvores e depois um mapa de territórios.

Marque dois pontos $A$ e $B$ com $AB = 6$ cm e construa a mediatriz de $[AB]$ com o compasso (Método 42.11). Escolha um ponto $M$ sobre ela e confira com a régua que $MA = MB$ .
A Proposição 42.10 diz duas coisas ao mesmo tempo: todo ponto sobre a mediatriz é equidistante de $A$ e de $B$ , e todo ponto equidistante está sobre a mediatriz. Qual das duas responde à pergunta da fonte do Exercício 42.8? O que a proposição diz de um ponto que não está sobre a mediatriz?
Tome um ponto $M$ do mesmo lado da mediatriz que $A$ . O segmento $[MB]$ cruza a mediatriz num ponto $P$ . Compare o caminho $M \to P \to B$ com o caminho $M \to P \to A$ e explique por que $M$ está mais perto de $A$ do que de $B$ : a mediatriz divide a folha num “lado do $A$ ” e num “lado do $B$ ”.
Duas escolas $A$ e $B$ atendem uma cidade. Toda criança vai a pé até a escola mais próxima. Faça um mapinha com $A$ e $B$ e pinte a região exata da cidade atendida pela escola $A$ . Que reta forma a fronteira?
Abre uma terceira escola $C$ (ponha-a de modo que as três escolas formem um triângulo). Construa a mediatriz de $[AB]$ e a mediatriz de $[BC]$ , e chame de $O$ o ponto de cruzamento delas. Que duas igualdades de distâncias $O$ satisfaz, e por quê?

Parte II — Três árvores, um ponto, um círculo.

Deduza da questão 5 que $OA = OC$ — e portanto que $O$ também está sobre a mediatriz de $[AC]$ , que você nunca traçou. Conclua: as três mediatrizes dos lados de um triângulo passam todas por um mesmo ponto.
Explique por que o círculo de centro $O$ e raio $OA$ também passa por $B$ e por $C$ : ele é o círculo que passa pelos três pontos — o círculo circunscrito do triângulo $ABC$ .
Construa um triângulo de lados $6$ cm, $5$ cm e $4$ cm (Método 41.2) e depois o círculo circunscrito dele. Por que basta traçar apenas duas mediatrizes para encontrar o centro?
O prato quebrado: um arqueólogo desenterra um caco cuja única parte intacta é um pedaço da borda circular do prato. Descreva uma receita que recupera o centro e o raio do prato original — e teste-a: trace um arco de círculo com o seu compasso, “esqueça” o centro, marque três pontos sobre o arco e reconstrua-o.
Três pontos poderiam não ter círculo nenhum passando por eles? Suponha que $A$ , $B$ , $C$ sejam colineares. O que se pode dizer das mediatrizes de $[AB]$ e de $[BC]$ (Proposição 40.3)? Conclua.

Parte III — Eixos por toda parte e o espelho que caminha.

O Exemplo 42.7 contou $3$ eixos para o triângulo equilátero e $4$ para o quadrado. Conjecture a contagem para um pentágono regular e para um hexágono regular, e descreva por onde passam os eixos em cada caso (número ímpar de lados contra número par: as duas situações são diferentes).
Dobre uma folha de papel uma vez e recorte uma forma atravessando as duas camadas; desdobre. Por que o buraco sempre tem eixo de simetria, qualquer que seja o recorte, e que reta é esse eixo?
Dobre a folha duas vezes — a segunda dobra perpendicular à primeira —, recorte e desdobre. Quantos eixos de simetria o buraco tem, no mínimo, e quantas cópias do seu recorte você vê? (Os floquinhos de neve de papel são essa ideia dobrada mais vezes.)
O espelho que caminha: no papel quadriculado, trace um eixo vertical $d_1$ , uma bandeirinha $F$ à esquerda dele e um segundo eixo vertical $d_2$ , $4$ quadradinhos à direita de $d_1$ . Reflita $F$ em relação a $d_1$ (imagem $F'$ ) e depois reflita $F'$ em relação a $d_2$ (imagem $F''$ ). Compare $F$ e $F''$ : mesma orientação ou espelhada? De quantos quadradinhos a figura andou? Compare com a distância entre os eixos.
A mesma experiência com $d_2$ perpendicular a $d_1$ : reflita a bandeirinha em relação ao eixo vertical e depois a imagem em relação ao horizontal. Descreva como $F''$ fica em relação a $F$ e ao ponto de cruzamento dos dois eixos. (Você acabou de descobrir a transformação do ano que vem: Capítulo 52.)

Solução

Solução de Problema 42.1.

1. Construção como no Método 42.11; para qualquer $M$ sobre a reta, a régua confirma $MA = MB$ (Proposição 42.10).

2. A pergunta da fonte precisa do segundo sentido: todos os pontos equidistantes estão sobre a mediatriz, então os lugares possíveis são exatamente essa reta e nada mais. E um ponto que não está sobre a mediatriz não é, portanto, equidistante: ele fica estritamente mais perto de uma das duas árvores.

3. Os dois caminhos compartilham o trecho $[MP]$ , e $PB = PA$ porque $P$ está sobre a mediatriz. Então o caminho $M \to P \to B$ tem o mesmo comprimento que o caminho $M \to P \to A$ , ou seja, $MP + PA$ . Ora, $MB$ é a rota reta até $B$ — aqui ela é o caminho por $P$ , então $MB = MP + PA$ ; e a rota reta até $A$ é mais curta que o desvio por $P$ : $MA < MP + PA = MB$ . Todo ponto do lado do $A$ da mediatriz está mais perto de $A$ .

4. A fronteira é a mediatriz de $[AB]$ : a escola $A$ atende exatamente a metade da cidade que fica do lado dela dessa reta (questão 3), a escola $B$ atende a outra metade, e as crianças que moram sobre a própria reta podem escolher qualquer uma.

5. $O$ está sobre a mediatriz de $[AB]$ , logo $OA = OB$ ; e sobre a mediatriz de $[BC]$ , logo $OB = OC$ (Proposição 42.10).

6. De $OA = OB$ e $OB = OC$ vem $OA = OC$ . Pelo segundo sentido da Proposição 42.10, um ponto equidistante de $A$ e de $C$ está sobre a mediatriz de $[AC]$ : a terceira mediatriz passa por $O$ sem que ninguém tenha pedido. As três mediatrizes de qualquer triângulo são concorrentes.

7. O círculo de centro $O$ e raio $OA$ é formado por todos os pontos à distância $OA$ de $O$ (Definição 40.5); como $OB = OA$ e $OC = OA$ , os pontos $B$ e $C$ estão sobre ele. Um centro, um raio e três pontos atendidos: é o círculo que passa por $A$ , $B$ e $C$ .

8. Duas mediatrizes bastam porque a terceira é automática (questão 6): o ponto de cruzamento delas já satisfaz as três igualdades de distância. O círculo é traçado com centro $O$ e o compasso aberto de $O$ até qualquer um dos três vértices.

9. Receita: marque três pontos $A$ , $B$ , $C$ sobre o arco que sobrou; trace as mediatrizes das cordas $[AB]$ e $[BC]$ ; o ponto de cruzamento delas é o centro do prato, e a distância dele até $A$ é o raio. Funciona porque a borda do prato é um círculo que passa pelos três pontos marcados — e a questão 8 encontra o círculo que passa por eles. O arco de teste é reconstruído exatamente.

10. Se $A$ , $B$ , $C$ forem colineares, a mediatriz de $[AB]$ e a mediatriz de $[BC]$ são ambas perpendiculares à mesma reta $(AB) = (BC)$ — logo são paralelas entre si (Proposição 40.3) e, sendo distintas, nunca se cruzam. Nenhum ponto é equidistante dos três, e nenhum círculo passa por três pontos colineares.

11. Pentágono regular: $5$ eixos, cada um por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto (contagem ímpar: todo eixo é desse único tipo). Hexágono regular: $6$ eixos — três por vértices opostos e três por pontos médios de lados opostos (contagem par: dois tipos, metade e metade). O padrão: um polígono regular de $n$ lados tem $n$ eixos.

12. O corte atravessa as duas camadas de uma só vez, então as duas camadas perdem pedaços exatamente iguais; desdobrar é a reflexão em relação à linha da dobra, que leva a borda de uma camada sobre a da outra. O buraco é a imagem espelhada de si mesmo: a linha da dobra é o eixo de simetria dele — qualquer que tenha sido o recorte.

13. O buraco desdobrado tem pelo menos $2$ eixos de simetria, as duas linhas de dobra, e o recorte aparece em $4$ cópias (cada desdobra dobra o desenho: $1 \to 2 \to 4$ ). Dobrar mais vezes, no estilo do floco de neve, multiplica ainda mais as cópias e os eixos.

14. $F''$ tem a mesma orientação que $F$ (duas inversões de espelho se cancelam), o mesmo tamanho e a mesma altura — é simplesmente $F$ deslizada para a direita. O deslizamento mede $8$ quadradinhos: exatamente o dobro da distância entre os dois eixos. Dois espelhos paralelos juntos não espelham coisa alguma: eles transladam.

15. $F''$ tem de novo o mesmo tamanho, mas agora aparece de cabeça para baixo, girada de meia volta em torno do ponto de cruzamento dos dois eixos: cada ponto de $F''$ é diametralmente oposto ao ponto correspondente de $F$ em relação a esse centro. Dois espelhos perpendiculares se compõem na meia-volta — a simetria central do Capítulo 52.