Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

61Proporcionalidade, velocidade e médias

A proporcionalidade (Capítulo 49) agora encontra o mundo físico: velocidade, vazão, conversões de unidades — grandezas que são quocientes de duas outras. O capítulo se fecha com as médias ponderadas, em que o raciocínio proporcional evita um erro clássico.

61.1 Velocidade média

Definição 61.1 (Velocidade média)

A velocidade média de um percurso é o quociente

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{distância dividida pela duração}\right),

em quilômetros por hora (km/h), metros por segundo (m/s) … A fórmula se vira do avesso: $d = v \times t$ e $t = \frac{d}{v}$ .

Exemplo 61.2

Um trem percorre $270$ km em $1$ h $30$ min. Primeiro converta o tempo: $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Então

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.

Distância a $90$ km/h durante $2$ h $20$ min $= \frac73$ h: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Tempo para $35$ km a $14$ km/h: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

Observação 61.3 (Minutos não são decimais)

$1$ h $30$ min é $1.5$ h, mas $1$ h $20$ min não é $1.2$ h: é $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Converta sempre os minutos numa fração de hora ( $60$ min $= 1$ h) antes de dividir.

Com velocidade constante, a distância é proporcional ao tempo: uma reta pela origem, cuja inclinação é a velocidade.

Método 61.4 (Converter velocidades)

Para converter km/h em m/s: $1$ km $= 1000$ m e $1$ h $= 3600$ s, então

v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s} = \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.

Para converter m/s em km/h, multiplique por $3.6$ .

Exemplo 61.5

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Um velocista que corre $100$ m em $10$ s se move a $10$ m/s $= 36$ km/h.

61.2 Grandezas quociente

Exemplo 61.6 (Vazão, densidade, preço por quilo)

A velocidade tem muitas primas, todas tratadas do mesmo jeito:

uma torneira enche $48$ L em $4$ min: vazão $\frac{48}{4} = 12$ L/min, então encher uma banheira de $150$ L leva $\frac{150}{12} = 12.5$ min;
$0.6$ kg de queijo custa $9$ euros: preço $\frac{9}{0.6} = 15$ euros por kg;
um carro gasta $6.3$ L em $90$ km: consumo $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L por $100$ km.

Identifique o quociente, e a fórmula de três pontas ( $q = \frac ab$ , $a = qb$ , $b = \frac aq$ ) faz o resto.

61.3 Médias ponderadas

Definição 61.7 (Média ponderada)

Quando os valores $v_1, v_2, \dots$ vêm com quantidades (ou pesos) $n_1, n_2, \dots$ , a média ponderada deles é

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

total dos valores, dividido pelo total dos pesos.

Exemplo 61.8

Uma prova foi feita por dois grupos: grupo 1, $12$ alunos, média $11$ ; grupo 2, $18$ alunos, média $14$ . Média da turma inteira:

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

Não $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : o grupo maior puxa a média para a média dele próprio — os pesos contam.

Exemplo 61.9 (Velocidade média em dois trechos)

Um ciclista pedala $30$ km a $30$ km/h e depois $30$ km a $15$ km/h. A velocidade média do trajeto inteiro não é $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Calcule pela definição:

tempos: $\frac{30}{30} = 1$ h e depois $\frac{30}{15} = 2$ h; total $3$ h;
distância total $60$ km, então $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

O trecho lento dura mais, então pesa mais — uma média de velocidades tem de ser ponderada pelo tempo.

61.4 Exercícios

Exercício 61.1 ★

Calcule a velocidade média: $150$ km em $2$ h; $27$ km em $45$ min; $100$ m em $12.5$ s.

Solução

Solução de Exercício 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

Exercício 61.2 ★

Calcule a distância: $2$ h a $85$ km/h; $40$ min a $90$ km/h. Calcule o tempo: $315$ km a $90$ km/h (em h e min).

Solução

Solução de Exercício 61.2.

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

Exercício 61.3 ★

Converta: $72$ km/h em m/s; $5$ m/s em km/h; $108$ km/h em m/s.

Solução

Solução de Exercício 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

Exercício 61.4 ★

Uma torneira entrega $15$ L/min. Quanto tempo leva para encher um reservatório de $600$ L? Quantos litros ela entrega em $2$ h $30$ ?

Solução

Solução de Exercício 61.4.

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min: $15 \times 150 = 2250$ L.

Exercício 61.5 ★

Qual é a melhor compra: $1.2$ kg de maçãs por $3.30$ euros ou $0.8$ kg por $2.16$ euros? Compare os preços por quilograma.

Solução

Solução de Exercício 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euros/kg contra $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euros/kg: a segunda oferta é (um pouquinho) a melhor compra.

Exercício 61.6 ★

Uma turma de $25$ alunos tem média $12.4$ numa prova; outra turma, de $35$ alunos, tem média $10$ . Calcule a média das duas turmas juntas.

Solução

Solução de Exercício 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

Exercício 61.7 ★

O som viaja a cerca de $340$ m/s. Você vê um relâmpago e ouve o trovão $6$ segundos depois. A que distância o raio caiu (arredondando à centena de metros)?

Solução

Solução de Exercício 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

Exercício 61.8 ★★

Um caminhante anda $2$ h a $5$ km/h, descansa $30$ min e depois anda $1$ h $30$ a $4$ km/h. Calcule a distância total e a velocidade média incluindo o descanso (distância total dividida pelo tempo total decorrido).

Solução

Solução de Exercício 61.8.

Distâncias: $2 \times 5 = 10$ km e depois $1.5 \times 4 = 6$ km: total $16$ km. Tempo decorrido: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. Velocidade média: $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

Exercício 61.9 ★★

Notas com pesos: uma aluna tirou $15$ (peso $3$ ), $9$ (peso $2$ ) e $12$ (peso $1$ ). Calcule a média ponderada. Que média simples (sem pesos) ela teria, e por que as duas diferem?

Solução

Solução de Exercício 61.9.

Ponderada: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ . Sem pesos: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ . As duas diferem porque os pesos dão à nota $15$ o triplo da importância da nota $12$ .

Exercício 61.10 ★★

Um carro roda $120$ km a $80$ km/h e depois $120$ km a $120$ km/h.

Calcule a duração de cada trecho e depois a velocidade média do trajeto inteiro.
Explique por que a resposta é menor que $100$ km/h, o ponto médio das duas velocidades.

Solução

Solução de Exercício 61.10.

1. Tempos: $\frac{120}{80} = 1.5$ h e $\frac{120}{120} = 1$ h. Velocidade média: $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

2. O carro passa mais tempo a $80$ km/h ( $1.5$ h) do que a $120$ km/h ( $1$ h): a velocidade baixa pesa mais na média ponderada pelo tempo e a puxa para baixo do ponto médio $100$ .

Exercício 61.11 ★★★

Dois povoados distam $18$ km um do outro. Ana sai do primeiro às $10{:}00$ andando a $5$ km/h em direção ao segundo; Bruno sai do segundo na mesma hora andando a $4$ km/h em direção ao primeiro. A que horas eles se encontram, e a que distância do povoado de Ana? (Juntos, eles fecham a distância a $5 + 4$ km/h.)

Solução

Solução de Exercício 61.11.

A distância de $18$ km se fecha a $5 + 4 = 9$ km/h: eles se encontram depois de $\frac{18}{9} = 2$ h, às $12{:}00$ . Ana já andou então $2 \times 5 = 10$ km: eles se encontram a $10$ km do povoado de Ana (e a $8$ km do de Bruno — confere: $10 + 8 = 18$ ).

61.5 Problema: a média harmônica, ou por que a viagem de volta estraga a média

Problema 61.1

Problema de fim de semana — a velocidade média em distâncias iguais é $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ , e ela nunca supera o ponto médio das velocidades

O Exemplo 61.9 e o Exercício 61.10 terminaram os dois com a mesma surpresa: vá a uma velocidade, volte a outra, e a velocidade média cai abaixo do ponto médio das duas. Este problema encontra a fórmula exata por trás da surpresa — um novo tipo de média, a média harmônica —, demonstra que a surpresa é um teorema e a leva ao extremo lógico: uma recuperação que nenhuma velocidade do mundo consegue.

Parte I — A fórmula da ida e volta. Um percurso cobre uma distância $d$ à velocidade $v_1$ e depois a mesma distância $d$ de novo à velocidade $v_2$ (todos números positivos).

Expresse as duas durações e depois a duração total como frações que envolvam $d$ , $v_1$ , $v_2$ .
A velocidade média do percurso inteiro é $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — uma fração de dois andares (Exemplo 55.8). Simplifique-a e demonstre:

$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$
Confira a fórmula nas duas contas citadas acima: $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/h (Exemplo 61.9), e $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/h (Exercício 61.10).
A distância $d$ desapareceu da fórmula. O que isso significa, concretamente, para o ciclista?
Agora suponha que o percurso passe, em vez disso, o mesmo tempo $T$ a cada velocidade. Mostre que a velocidade média é então $\frac{v_1 + v_2}{2}$ , o ponto médio simples. Na linguagem da Definição 61.7: por que grandeza uma média de velocidades tem sempre de ser ponderada, e o que muda entre os dois cenários?

Parte II — Harmônica contra aritmética. Para dois números positivos $v_1$ , $v_2$ , ponha

H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \quad\text{(a \emph{média harmônica} deles),} \qquad A = \frac{v_1 + v_2}{2} \quad\text{(a \emph{média aritmética} deles).}

Calcule $H$ e $A$ para os pares $(30, 15)$ e $(80, 120)$ . Qual das duas médias ganha em cada caso?
Coloque $A - H$ sobre o denominador comum $2(v_1 + v_2)$ , desenvolva o numerador com os produtos notáveis (Problema 57.1) e demonstre:

$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$
Deduza o teorema por trás de todas as surpresas: para velocidades positivas, $H \leq A$ sempre, com igualdade exatamente quando $v_1 = v_2$ . Por que um quadrado no numerador resolve a questão?
Demonstre a identidade elegante $H \times A = v_1 \times v_2$ : as duas médias multiplicadas devolvem o produto original.
Um carro percorre $60$ km a $40$ km/h e $60$ km a $60$ km/h. Preveja a velocidade média com a fórmula e depois confirme pelo caminho longo, com os tempos e a distância total.

Parte III — A recuperação impossível.

Uma ciclista entra numa prova de $30$ km esperando fazer uma média de $30$ km/h. Que tempo total a prova pode levar, no máximo? Ela pedala os primeiros $15$ km a $15$ km/h: quanto sobra desse orçamento de tempo?
Mostre que a média esperada ficou literalmente impossível: calcule a velocidade média dela se pedalar a segunda metade a $90$ km/h, e explique por que mesmo uma velocidade arbitrariamente enorme a deixa aquém dos $30$ km/h.
Ela baixa a meta para $20$ km/h. Que velocidade nos $15$ km seguintes alcança isso? Confira a resposta com a fórmula da média harmônica.
Sozinha, a torneira de água fria enche uma banheira em $20$ min; sozinha, a de água quente a enche em $30$ min. Que fração da banheira as duas torneiras juntas enchem por minuto, e quanto tempo elas levam? Compare a resposta com $H(20, 30)$ — o que você percebe?
Um avião voa a mesma rota de ida e de volta: $900$ km/h a favor do vento, $700$ km/h contra ele. Calcule a velocidade média da ida e volta e explique numa frase por que um vento, sopre como soprar, sempre alonga uma ida e volta.

Solução

Solução de Problema 61.1.

1. Pela Definição 61.1, $t_1 = \frac{d}{v_1}$ e $t_2 = \frac{d}{v_2}$ ; o percurso inteiro dura $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ para uma distância de $2d$ .

2. Coloque $d$ em evidência no denominador e simplifique:

\bar v = \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .

Denominador comum lá dentro: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$ , e dividir é multiplicar pelo inverso (Teorema 55.6):

\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .

3. $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, como no Exemplo 61.9; e $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ km/h, como no Exercício 61.10.

4. A média depende apenas das duas velocidades, não de $d$ : uma ida e volta de $1$ km e uma de $100$ km às mesmas duas velocidades têm exatamente a mesma velocidade média. (É por isso que a fórmula pôde ser conferida em percursos de comprimentos diferentes.)

5. Passando um tempo $T$ a cada velocidade, as distâncias são $v_1 T$ e $v_2 T$ , então

\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T} = \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T} = \frac{v_1 + v_2}{2} .

Uma média de velocidades é sempre ponderada pelo tempo (Definição 61.7). Com tempos iguais, as duas velocidades carregam pesos iguais: ponto médio simples. Com distâncias iguais, a velocidade mais lenta ocupa mais tempo, logo mais peso — e a média escorrega em direção a ela.

6. Para $(30, 15)$ : $H = 20$ e $A = 22.5$ . Para $(80, 120)$ : $H = 96$ e $A = 100$ . A média aritmética ganha das duas vezes.

7. Sobre o denominador comum $2(v_1 + v_2)$ :

A - H = \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,

e o numerador se desenvolve com os produtos notáveis do Problema 57.1:

(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2 .

8. Um quadrado nunca é negativo, e $2(v_1 + v_2)$ é positivo: então $A - H \geq 0$ , isto é, $H \leq A$ , para todo par de velocidades positivas. A igualdade exige $(v_1 - v_2)^2 = 0$ , ou seja, $v_1 = v_2$ : no instante em que as duas velocidades diferem, a média da ida e volta cai estritamente abaixo do ponto médio — a surpresa é um teorema.

9. Multiplicando:

H \times A = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2} = v_1 v_2 ,

depois de cancelar o fator $2$ e o fator $v_1 + v_2$ .

10. Pela fórmula: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60} {40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. Pelo caminho longo: $\frac{60}{40} = 1.5$ h e $\frac{60}{60} = 1$ h, então $120$ km em $2.5$ h: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. As duas contas concordam.

11. Fazer média de $30$ km/h em $30$ km significa um tempo total de, no máximo, $\frac{30}{30} = 1$ h. Os primeiros $15$ km a $15$ km/h já levam $\frac{15}{15} = 1$ h: o orçamento de tempo inteiro foi gasto, com metade da prova ainda pela frente.

12. A $90$ km/h, a segunda metade leva $\frac{15}{90} = \frac16$ h, então a prova leva $\frac76$ h e

\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7 \text{ km/h} < 30 .

Qualquer que seja a velocidade da segunda metade, a duração dela é um número positivo, então o tempo total passa de $1$ h e a média fica estritamente abaixo de $30$ km/h. (Com a fórmula: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ obrigaria $30 v_2 = 450 + 30 v_2$ , isto é, $0 = 450$ — nenhuma velocidade $v_2$ serve.)

13. Uma média de $20$ km/h permite $\frac{30}{20} = 1.5$ h; depois da primeira hora, restam $15$ km para $0.5$ h: ela precisa de $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h. Conferindo: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ km/h.

14. Por minuto, as torneiras enchem $\frac{1}{20}$ e $\frac{1}{30}$ da banheira; juntas,

\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}

da banheira por minuto: a banheira enche em $12$ min. E $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$ : as duas torneiras juntas levam exatamente metade da média harmônica dos tempos individuais — as vazões se somam, então estamos de novo em território de média harmônica.

15. A distância é a mesma nos dois sentidos, então

\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700} = \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},

abaixo dos $800$ km/h do ar parado. Numa frase: o avião passa mais tempo voando contra o vento do que a favor dele, então o trecho lento recebe o peso maior na média ponderada pelo tempo — um vento só pode alongar uma ida e volta.