Mathematics · Livro 1 · Grades 1–9

Matemática do ensino fundamental

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63Frações e potências

Frações e potências são as ferramentas do dia a dia do cálculo: repartir quantidades, comparar proporções, escrever números muito grandes ou muito pequenos. Este capítulo consolida as regras de cálculo com elas — com cada passo intermediário escrito — e apresenta a notação científica.

63.1 Calcular com frações

Definição 63.1 (Fração)

Uma fração ab\dfrac ab (com b≠0b \neq 0) é o quociente de aa por bb. Duas frações são iguais quando uma é obtida da outra multiplicando (ou dividindo) numerador e denominador pelo mesmo número não nulo:

ab=a×kb×k(k≠0).\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Exemplo 63.2

Simplifique 4256\dfrac{42}{56} passo a passo:

4256=42÷256÷2=2128=21÷728÷7=34.\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(No Capítulo 64, o máximo divisor comum fará isso num passo só.)

Método 63.3 (Somar e subtrair frações)

  1. Coloque as duas frações sobre um denominador comum (um múltiplo comum dos dois denominadores);
  2. some ou subtraia os numeradores, mantendo o denominador;
  3. simplifique o resultado, se der.

Exemplo 63.4

Calcule 56+34\dfrac56 + \dfrac34. Um denominador comum de 66 e 44 é 1212:

56+34=5×26×2+3×34×3=1012+912=1912.\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Calcule 2−372 - \dfrac37. Escreva 22 como fração de denominador 77:

2−37=147−37=117.2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
Por que um denominador comum: cortar os dois inteiros em 12 quadrinhos iguais torna as frações comparáveis e somáveis — juntas, 10 + 9 = 19 doze avos.
Por que um denominador comum: cortar os dois inteiros em 1212 quadrinhos iguais torna as frações comparáveis e somáveis — juntas, 10+9=1910 + 9 = 19 doze avos.

Método 63.5 (Multiplicar e dividir frações)

  1. Para multiplicar, multiplique os numeradores entre si e os denominadores entre si: ab×cd=acbd\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd} (simplifique antes de multiplicar sempre que puder);
  2. para dividir, multiplique pelo inverso do divisor: ab÷cd=ab×dc\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc.

Exemplo 63.6

715×2514=7×2515×14=7×2515×2×7=2530=56,\frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56,

onde simplificamos pelo fator comum 77 e depois por 55. E uma divisão:

34÷98=34×89=3×84×9=2436=23.\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 .

63.2 Potências

Definição 63.7 (Potência)

Para um número real aa e um número inteiro positivo nn, a potência ana^n é o produto de nn fatores iguais a aa:

an=a×a×⋯×a⏟n fatores.a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ fatores}} .

Por convenção, a0=1a^0 = 1 (para a≠0a \neq 0), e os expoentes negativos indicam inversos:

a−n=1an.a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Exemplo 63.8

24=2×2×2×2=162^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16; (−3)2=9(-3)^2 = 9, mas −32=−(32)=−9-3^2 = -(3^2) = -9 (o expoente age antes do sinal de menos); 10−3=11000=0.00110^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001; 51=55^1 = 5 e 50=15^0 = 1.

Teorema 63.9 (Regras dos expoentes)

Para todos os aa, bb não nulos e todos os inteiros mm, nn:

am×an=am+n,aman=am−n,(am)n=amn,(ab)n=anbn.a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Demonstração. Para expoentes positivos, conte os fatores. Na primeira regra: am×ana^m \times a^n são mm fatores aa seguidos de nn fatores aa, no total m+nm + n fatores. Na terceira: (am)n\left(a^m\right)^n repete nn vezes um bloco de mm fatores, dando mnmn fatores. As outras duas regras são parecidas; a extensão aos expoentes zero e negativos se confere a partir de a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} (e faz da convenção a0=1a^0 = 1 a única escolha coerente, já que an×a0a^n \times a^0 tem de ser an+0=ana^{n+0} = a^n). ∎

Exemplo 63.10

Simplifique passo a passo:

37×3−234=37+(−2)34=3534=35−4=31=3.\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 .

E com duas letras: (2a3)2×a=4a6×a=4a7(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7.

63.3 Potências de dez e notação científica

Proposição 63.11 (Potências de dez)

Para um número inteiro positivo nn: 10n10^n se escreve “11 seguido de nn zeros”, e 10−n=0.0…0110^{-n} = 0.0\dots01, com o 11 na nn-ésima casa decimal. Multiplicar um número decimal por 10n10^n (resp. 10−n10^{-n}) desloca o ponto decimal dele nn casas para a direita (resp. para a esquerda).

Definição 63.12 (Notação científica)

A notação científica de um número decimal positivo é o único jeito de escrevê-lo como

a×10n,com 1≤a<10 e n inteiro.a \times 10^n, \qquad\text{com } 1 \leq a < 10 \text{ e } n \text{ inteiro.}

Exemplo 63.13

A distância da Terra ao Sol é de cerca de 149 600 000149\,600\,000 km =1.496×108= 1.496 \times 10^8 km. O tamanho de uma molécula de água é de cerca de 0.000 000 000 280.000\,000\,000\,28 m =2.8×10−10= 2.8 \times 10^{-10} m. Para calcular com números assim, agrupe as partes decimais e as potências de dez:

(3×105)×(2.5×10−2)=(3×2.5)×105+(−2)=7.5×103.(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

Método 63.14 (Colocar um número em notação científica)

  1. Mova o ponto decimal para logo depois do primeiro algarismo não nulo; isso dá o fator aa, com 1≤a<101 \leq a < 10;
  2. conte quantas casas o ponto andou: essa contagem é nn, positivo se o número original era ≥10\geq 10, negativo se era <1< 1;
  3. confira: a×10na \times 10^n tem de reproduzir o número original.

63.4 Exercícios

Exercício 63.1 ★

Calcule e dê o resultado como fração totalmente simplificada:

13+15,72−53,512+38,3−45.\frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 .
Solução

Solução de Exercício 63.1.

13+15=515+315=815\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}.

72−53=216−106=116\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}.

512+38=1024+924=1924\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}.

3−45=155−45=1153 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}.

Exercício 63.2 ★

Calcule e simplifique:

59×2735,815÷45,23×34×45.\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
Solução

Solução de Exercício 63.2.

59×2735=5×279×35=279×535=3×17=37\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37 (simplificando por 99 e por 55).

815÷45=815×54=8×515×4=4060=23\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23.

23×34×45=2×3×43×4×5=25\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25 (os 33 e os 44 se cancelam).

Exercício 63.3 ★

Calcule:

25,(−2)4,−24,4−2,(23)3,70.2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
Solução

Solução de Exercício 63.3.

25=322^5 = 32; (−2)4=16(-2)^4 = 16; −24=−16-2^4 = -16; 4−2=1164^{-2} = \frac{1}{16}; (23)3=827\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}; 70=17^0 = 1.

Exercício 63.4 ★

Escreva como uma única potência:

53×56,7975,(23)4,32×3735,25×4.5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 .
Solução

Solução de Exercício 63.4.

53×56=595^3 \times 5^6 = 5^9; 7975=74\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4; (23)4=212\left(2^3\right)^4 = 2^{12}; 32×3735=39−5=34\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4; 25×4=25×22=272^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7.

Exercício 63.5 ★

Escreva em notação científica: 45 00045\,000; 0.00720.0072; 302.5302.5; 0.000 000 90.000\,000\,9; doze milhões.

Solução

Solução de Exercício 63.5.

45 000=4.5×10445\,000 = 4.5 \times 10^4; 0.0072=7.2×10−30.0072 = 7.2 \times 10^{-3}; 302.5=3.025×102302.5 = 3.025 \times 10^2; 0.000 000 9=9×10−70.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}; doze milhões =1.2×107= 1.2 \times 10^7.

Exercício 63.6 ★★

Calcule, dando o resultado em notação científica:

(2×107)×(4.5×10−3),9×1053×10−2,(5×103)2.(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 .
Solução

Solução de Exercício 63.6.

(2×107)×(4.5×10−3)=9×104(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}.

9×1053×10−2=3×105−(−2)=3×107\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7.

(5×103)2=25×106=2.5×107(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7.

Exercício 63.7 ★★

Um reservatório está com 35\frac35 da capacidade. Depois de receber 3030 litros, ele fica com 34\frac34. Qual é a capacidade do reservatório? (Expresse primeiro a fração acrescentada.)

Solução

Solução de Exercício 63.7.

A água acrescentada representa 34−35=1520−1220=320\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20} do reservatório. Então 320\frac{3}{20} da capacidade são 3030 litros: 120\frac{1}{20} são 1010 litros, e a capacidade é de 200200 litros.

Exercício 63.8 ★★

Alice come 14\frac14 de um bolo, depois Bento come 13\frac13 do que sobrou, e depois Carla come 12\frac12 do que ainda sobrou. Que fração do bolo resta no fim? (Calcule o que sobra depois de cada etapa.)

Solução

Solução de Exercício 63.8.

Depois de Alice, resta 1−14=341 - \frac14 = \frac34 do bolo. Bento come 13×34=14\frac13 \times \frac34 = \frac14, deixando 34−14=12\frac34 - \frac14 = \frac12. Carla come metade disso, 14\frac14, deixando 14\frac14 do bolo.

Exercício 63.9 ★★

A luz percorre 3×1083 \times 10^8 metros por segundo. O Sol fica a cerca de 1.5×10111.5 \times 10^{11} m de distância. Quanto tempo a luz do Sol leva para chegar até nós? Dê a resposta em segundos (sem precisar de notação científica) e depois em minutos e segundos.

Solução

Solução de Exercício 63.9.

Tempo =distaˆnciavelocidade=1.5×10113×108=0.5×103=500= \dfrac{\text{distância}}{\text{velocidade}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500 segundos, ou seja, 88 minutos e 2020 segundos.

Exercício 63.10 ★★★

Qual é maior, 2302^{30} ou 3203^{20}? (Dica: escreva os dois como potências de expoente 1010 usando (am)n=amn\left(a^m\right)^n = a^{mn}, e compare 232^3 com 323^2.)

Solução

Solução de Exercício 63.10.

Escreva os dois números como potências de expoente 1010:

230=(23)10=810,320=(32)10=910.2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.

Como 8<98 < 9, multiplicando dez cópias de cada um: 810<9108^{10} < 9^{10}, então 230<3202^{30} < 3^{20}.

63.5 Problema: o código secreto das dízimas periódicas

Problema 63.1

Problema de fim de semana — toda fração tem uma escrita decimal que para ou se repete, toda dízima periódica é uma fração, e 0.999…0.999\ldots é exatamente 11

Divida 33 por 1111 e os algarismos entram numa cantoria: 0.272727…0.272727\ldots para sempre. Divida 11 por 44 e os algarismos param secos: 0.250.25. Este problema demonstra que esses são os dois únicos comportamentos possíveis de uma fração — e depois inverte a máquina: dada uma dízima periódica qualquer, ele reconstrói a fração escondida atrás dela. Pelo caminho, resolve de uma vez por todas a igualdade mais discutida da matemática escolar.

Parte I — Da fração ao decimal.

  1. Calcule, pela divisão longa, as escritas decimais de 14\frac14, 13\frac13, 56\frac56 e 311\frac{3}{11}. Quais param, quais se repetem, e com que bloco de repetição?
  2. Explique por que a escrita decimal de qualquer fração ab\frac ab tem de parar ou acabar se repetindo. (Na divisão longa por bb, que valores os restos sucessivos podem tomar? O que acontece no instante em que um resto aparece pela segunda vez?)
  3. Leve a divisão de 11 por 77 longe o bastante para achar o bloco que se repete. Que comprimento ele tem, e como esse comprimento se compara com o limite prometido pela questão 2?
  4. Algumas frações param porque o denominador delas pode ser inflado até uma potência de dez: 14=25100\frac14 = \frac{25}{100}, 38=3751000\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}. Explique o critério e por que nenhum multiplicador inteiro consegue transformar 33, 66 ou 1111 em 1010, 100100, 10001000 … (em que algarismo o produto terminaria?).
  5. Sem dividir, separe 940\frac{9}{40}, 512\frac{5}{12} e 3350\frac{33}{50} entre “para” e “se repete” e depois dê a escrita decimal das duas que param.

Parte II — Da dízima periódica de volta à fração.

  1. O truque do deslocamento. Seja x=0.7777…x = 0.7777\ldots Calcule 10x10x, depois 10x−x10x - x, e deduza xx como fração. Confira dividindo.
  2. Seja x=0.727272…x = 0.727272\ldots Que potência de dez desloca xx em exatamente um bloco de repetição? Use-a para escrever xx como fração irredutível.
  3. Um caso misto: x=0.58333…x = 0.58333\ldots (só o 33 se repete). Calcule 1000x−100x1000x - 100x e deduza xx como fração irredutível.
  4. O famoso: aplique o truque do deslocamento a x=0.9999…x = 0.9999\ldots Que fração — que número — você encontra? Concilie o resultado com a sua intuição, lembrando o vizinho fantasma do Problema 38.1 e o resto que encolhe do Problema 39.1: 0.999…0.999\ldots fica “logo abaixo” de 11 ou é outro nome para 11?
  5. Converta 2.454545…2.454545\ldots e 0.123123123…0.123123123\ldots em frações irredutíveis.

Parte III — O dicionário completo.

  1. As questões 6 a 10 sugerem um dicionário: um bloco de kk algarismos que se repete a partir do ponto decimal é igual a esse bloco sobre kk noves (0.727272…=72990.727272\ldots = \frac{72}{99}). Use o dicionário para prever 0.037037…0.037037\ldots como fração, simplifique — e admire-se: que fração surpreendentemente simples canta “037037”? Confira dividindo.
  2. Combine o dicionário com um deslocamento: escreva 0.0272727…0.0272727\ldots como fração irredutível.
  3. O número 0.101001000100001…0.101001000100001\ldots (um 11, depois um 00, depois um 11, depois dois 00, depois um 11, depois três 00, e assim por diante) nunca para. Ele é uma dízima periódica? O que a Parte I diz então sobre ele — pode ser uma fração? (Você acaba de conhecer o seu primeiro número comprovadamente irracional; o mais famoso deles é capturado no Capítulo 65.)
  4. Aproximadamente quantos algarismos tem 2302^{30}? Use 210=1 024≈1.024×1032^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3 e as regras dos expoentes (Teorema 63.9) para escrever 2302^{30} em notação científica (aproximada) e conclua. (Compare com o Exercício 63.10.)
  5. Final: escreva 0.20262026…0.20262026\ldots como fração e enuncie a moral de mão dupla do problema inteiro: que escritas decimais são frações, e que frações têm que escritas decimais?
Solução

Solução de Problema 63.1.

1. 14=0.25\frac14 = 0.25 (para); 13=0.333…\frac13 = 0.333\ldots (bloco 33); 56=0.8333…\frac56 = 0.8333\ldots (bloco 33 depois do 88); 311=0.272727…\frac{3}{11} = 0.272727\ldots (bloco 2727).

2. A cada passo da divisão por bb, o resto é um dos bb valores 0,1,…,b−10, 1, \dots, b - 1 (Teorema 37.7). Se aparecer um resto 00, a divisão para. Caso contrário, depois de no máximo bb passos algum resto tem de aparecer uma segunda vez — há mais passos do que restos possíveis — e, a partir desse instante, a divisão repete exatamente a sequência de algarismos que produziu depois da primeira aparição: a escrita decimal entra em ciclo para sempre. Parar ou repetir: não existe um terceiro comportamento.

3. 17=0.142857 142857…\frac17 = 0.142857\,142857\ldots: o bloco 142857142857 tem comprimento 66. A questão 2 prometia uma repetição em no máximo 77 passos — aqui, os restos 1,3,2,6,4,51, 3, 2, 6, 4, 5 aparecem todos antes de o 11 voltar: a cantoria mais longa possível para uma divisão por 77.

4. ab\frac ab para exatamente quando alguma a×kb×k\frac{a \times k}{b \times k} tem denominador 1010, 100100, 10001000 … — isto é, quando o denominador pode ser multiplicado até virar uma potência de dez, como 4×25=1004 \times 25 = 100 ou 8×125=1 0008 \times 125 = 1\,000. Para 33 e 66 isso é impossível: uma potência de dez tem soma dos algarismos igual a 11, e todo múltiplo de 33 tem soma dos algarismos múltipla de 33 — então nenhum múltiplo de 33 (logo, nenhum de 66) é jamais 1010, 100100, 1 0001\,000 … Para 1111: dividir 1010, 100100, 1 0001\,000, 10 00010\,000 por 1111 deixa sempre um resto (1010, 11, 1010, 11 …), nunca 00. Os denominadores que alcançam uma potência de dez param; todos os outros se repetem.

5. 940\frac{9}{40}: 40×25=1 00040 \times 25 = 1\,000, para: 2251000=0.225\frac{225}{1000} = 0.225. 3350\frac{33}{50}: 50×2=10050 \times 2 = 100, para: 66100=0.66\frac{66}{100} = 0.66. 512\frac{5}{12}: 1212 é múltiplo de 33, repete (0.41666…0.41666\ldots).

6. 10x=7.777…10x = 7.777\ldots, então 10x−x=710x - x = 7 (as caudas se cancelam perfeitamente), 9x=79x = 7 e x=79x = \frac79. Conferindo pela divisão: 7÷9=0.777…7 \div 9 = 0.777\ldots

7. O bloco tem dois algarismos, então desloque por 100100: 100x−x=72.7272…−0.7272…=72100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72, logo 99x=7299x = 72 e x=7299=811x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}.

8. 1000x=583.333…1000x = 583.333\ldots e 100x=58.333…100x = 58.333\ldots; subtraindo, 900x=525900x = 525, então x=525900=712x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12} (dividindo por 7575). De fato, 712=0.58333…\frac{7}{12} = 0.58333\ldots

9. 10x−x=9.999…−0.999…=910x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9, então 9x=99x = 9 e x=1x = 1. Não fica “logo abaixo” de 11: 0.999…0.999\ldots é o número 11, escrito com uma segunda fantasia. Todo número estritamente abaixo de 11 deixa uma folga, e o Problema 38.1 mostrou que uma folga sempre contém outros números — ao passo que nada cabe entre 0.999…0.999\ldots e 11. Os noves sem fim são o resto de chocolate do Problema 39.1 encolhido abaixo de qualquer quantidade positiva: não sobra nada.

10. 2.4545…=2+4599=2+511=27112.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}. E 0.123123…=123999=413330.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333} (dividindo por 33).

11. Pelo dicionário: 0.037037…=379990.037037\ldots = \frac{37}{999}. Como 999=27×37999 = 27 \times 37, isso se simplifica em 127\frac{1}{27}: a fração 127\frac{1}{27} canta “037037”. Conferindo pela divisão: 1÷27=0.037037…1 \div 27 = 0.037037\ldots

12. 0.0272727…=110×0.272727…=110×2799=27990=31100.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110} (dividindo por 99).

13. Os blocos de zeros crescem sem parar, então nenhum bloco fixo pode se repetir para sempre: não é uma dízima periódica (e também nunca para). Pela Parte I, toda fração para ou se repete — então esse número não é fração nenhuma: é irracional, fabricado sob encomenda. A estrela da irracionalidade, 2\sqrt2, é desmascarada no Capítulo 65.

14. 230=(210)3≈(1.024)3×109≈1.07×1092^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9: um número pouco acima de 10910^9, logo com 1010 algarismos. (Exatamente: 230=1 073 741 8242^{30} = 1\,073\,741\,824.)

15. 0.20262026…=202699990.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}, já irredutível (9999=3×3×11×1019999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101 não compartilha fator nenhum com 2026=2×10132026 = 2 \times 1013). O dicionário completo: as frações são exatamente os decimais que param ou se repetem — os denominadores amigos das potências de dez param, todos os outros cantam um bloco; e, reciprocamente, toda cantoria, até o ano da sua formatura, é uma fração disfarçada.