Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

37Números naturais

Tudo em matemática começa contando. Este capítulo revê como os números naturais são escritos, comparados e combinados — e examina com atenção a divisão, a operação que dá ao mesmo tempo um quociente e um resto.

37.1 Escrever e comparar números naturais

Definição 37.1 (Valor posicional)

O nosso jeito de escrever números usa dez algarismos ( $0$ a $9$ ), e o valor de um algarismo depende da posição dele: em $5\,208$ , o algarismo $5$ conta milhares, o $2$ conta centenas, o $0$ conta dezenas (não há nenhuma) e o $8$ conta unidades:

5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .

O quadro de valor posicional de 5\,208. O 0 importa: sem ele, o 5 e o 2 escorregariam para as colunas erradas e o número se leria 528. — O quadro de valor posicional de $5\,208$ . O $0$ importa: sem ele, o $5$ e o $2$ escorregariam para as colunas erradas e o número se leria $528$ .

Método 37.2 (Comparar dois números naturais)

O número com mais algarismos é o maior ( $1\,203 > 989$ ).
Se tiverem a mesma quantidade de algarismos, compare algarismo por algarismo a partir da esquerda; a primeira diferença decide: $6\,742 > 6\,715$ porque, na casa das dezenas, $4 > 1$ .

Os símbolos são $<$ (“menor que”) e $>$ (“maior que”); a ponta fina do símbolo aponta para o número menor.

Exemplo 37.3

Ordene do menor para o maior: $908$ ; $89$ ; $1\,001$ ; $980$ . Primeiro pela quantidade de algarismos: $89$ (dois algarismos) vem na frente e $1\,001$ (quatro algarismos) no fim. Entre $908$ e $980$ : mesmo algarismo das centenas, $9$ ; depois, nas dezenas, $0 < 8$ , logo $908 < 980$ . Resposta final:

89 < 908 < 980 < 1\,001 .

Os números moram numa reta: menor significa mais à esquerda. Cada traço aqui vale 100. — Os números moram numa reta: menor significa mais à esquerda. Cada traço aqui vale $100$ .

37.2 Adição, subtração, multiplicação

Exemplo 37.4 (Contas armadas)

Para somar ou subtrair, alinhe as unidades sob as unidades e as dezenas sob as dezenas, e trabalhe da direita para a esquerda, levando o vai-um quando for preciso:

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ +\ 2\,8\,6 \\ \hline 7\,4\,3 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

Na adição: $7 + 6 = 13$ , escreva $3$ , vai $1$ ; depois $5 + 8 + 1 = 14$ , escreva $4$ , vai $1$ ; depois $4 + 2 + 1 = 7$ . Confira a subtração somando de volta: $456 + 147 = 603$ .

Observação 37.5 (Vocabulário)

O resultado de uma adição é uma soma; o de uma subtração, uma diferença; o de uma multiplicação, um produto; o de uma divisão, um quociente. Os números que estão sendo combinados são os termos (em $+$ e $-$ ) ou os fatores (em $\times$ ).

Exemplo 37.6 (Cálculo esperto)

Reordenar termos ou fatores muitas vezes poupa trabalho:

17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,

25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .

37.3 Divisão

Teorema 37.7 (Divisão euclidiana)

Dados dois números naturais $a$ (o dividendo) e $b \neq 0$ (o divisor), existe exatamente uma maneira de escrever

a = b \times q + r \qquad\text{com}\qquad 0 \leq r < b .

O número $q$ é o quociente e $r$ é o resto da divisão de $a$ por $b$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 37.8

Vamos dividir $137$ por $4$ , passo a passo.

Quantas vezes o $4$ cabe em $13$ ? Três vezes ( $4 \times 3 = 12$ ), com resto $13 - 12 = 1$ .
Baixe o $7$ : quantas vezes o $4$ cabe em $17$ ? Quatro vezes ( $4 \times 4 = 16$ ), com resto $1$ .

Logo $q = 34$ e $r = 1$ :

137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{e de fato } 0 \leq 1 < 4 .

Conferência: $4 \times 34 = 136$ , e $136 + 1 = 137$ .

Dividindo 137 por 4: cabem 34 grupos completos de 4 (chegando a 136), e sobra 1 — o resto é sempre menor que o divisor. — Dividindo $137$ por $4$ : cabem $34$ grupos completos de $4$ (chegando a $136$ ), e sobra $1$ — o resto é sempre menor que o divisor.

Definição 37.9 (Divisível)

Quando o resto é $0$ , dizemos que $a$ é divisível por $b$ : por exemplo, $135$ é divisível por $5$ , pois $135 = 5 \times 27 + 0$ .

Método 37.10 (Problemas com divisão)

Depois de calcular $a = bq + r$ , volte sempre à pergunta:

“Quantas caixas / equipes / páginas completas?” — a resposta é o quociente $q$ ;
“Quantos sobram?” — a resposta é o resto $r$ ;
“Quantas caixas são necessárias para todos?” — se $r > 0$ , uma a mais que o quociente: $q + 1$ .

Exemplo 37.11

$137$ alunos vão a um passeio em ônibus de $40$ lugares. Divisão: $137 = 40 \times 3 + 17$ . Três ônibus levam $120$ alunos e sobram $17$ alunos — que também precisam de ônibus! Logo são necessários $4$ ônibus, mesmo com o quociente sendo $3$ .

37.4 Exercícios

Exercício 37.1 ★

Escreva em algarismos: “três mil e quarenta e sete”; “vinte mil e quinhentos”; “cento e quatro”. Depois escreva $60\,013$ por extenso.

Solução

Solução de Exercício 37.1.

$3\,047$ ; $20\,500$ ; $104$ . $60\,013$ : “sessenta mil e treze”.

Exercício 37.2 ★

No número $47\,209$ : qual é o algarismo das centenas? E o das unidades? O que conta o algarismo $4$ ? Escreva o número como soma de múltiplos de $1$ , $10$ , $100$ , … como na Definição 37.1.

Solução

Solução de Exercício 37.2.

Algarismo das centenas: $2$ ; algarismo das unidades: $9$ ; o $4$ conta as dezenas de milhar. Decomposição:

47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 9 .

Exercício 37.3 ★

Copie e complete com $<$ ou $>$ :

507 \;?\; 570, \qquad 1\,099 \;?\; 989, \qquad 23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad 9\,999 \;?\; 10\,000 .

Solução

Solução de Exercício 37.3.

$507 < 570$ (dezenas: $0 < 7$ ); $1\,099 > 989$ (quatro algarismos vencem três); $23\,456 < 23\,465$ (dezenas: $5 < 6$ ); $9\,999 < 10\,000$ (quatro algarismos contra cinco).

Exercício 37.4 ★

Ordene do menor para o maior: $2\,043$ ; $978$ ; $2\,304$ ; $2\,034$ ; $1\,001$ .

Solução

Solução de Exercício 37.4.

Pela quantidade de algarismos, $978$ e $1\,001$ vêm antes dos três números de quatro algarismos começados por $2$ ; entre esses, compare as dezenas e as unidades: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$ . Ordem final:

978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .

Exercício 37.5 ★

Arme as contas e calcule: $348 + 576$ ; $805 - 268$ ; $307 \times 26$ . Confira a subtração com uma adição.

Solução

Solução de Exercício 37.5.

$348 + 576 = 924$ ; $805 - 268 = 537$ (confere: $537 + 268 = 805$ ); $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6 = 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$ .

Exercício 37.6 ★

Calcule de modo esperto, agrupando termos ou fatores:

38 + 45 + 12 + 5, \qquad 2 \times 83 \times 50, \qquad 4 \times 78 \times 25 .

Solução

Solução de Exercício 37.6.

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$ .

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 = 8\,300$ .

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 = 7\,800$ .

Exercício 37.7 ★

Para cada divisão, dê o quociente e o resto, e escreva a igualdade $a = b \times q + r$ :

95 \div 7, \qquad 230 \div 6, \qquad 504 \div 8 .

Solução

Solução de Exercício 37.7.

$95 = 7 \times 13 + 4$ (quociente $13$ , resto $4$ ).

$230 = 6 \times 38 + 2$ (quociente $38$ , resto $2$ ).

$504 = 8 \times 63 + 0$ (quociente $63$ , resto $0$ : $504$ é divisível por $8$ ).

Exercício 37.8 ★

Sem dividir, explique por que a igualdade $173 = 8 \times 20 + 13$ não é a divisão euclidiana de $173$ por $8$ , e encontre o quociente e o resto corretos.

Solução

Solução de Exercício 37.8.

A igualdade é verdadeira, mas o resto $13$ não é menor que o divisor $8$ , então não é a divisão euclidiana. Tire mais um $8$ do resto: $173 = 8 \times 21 + 5$ , com $0 \leq 5 < 8$ : quociente $21$ , resto $5$ .

Exercício 37.9 ★★

Os ovos são embalados em caixas de $12$ .

Uma granja tem $2\,000$ ovos. Quantas caixas completas ela consegue encher, e quantos ovos sobram?
Uma padaria precisa de $150$ ovos. Quantas caixas ela tem de comprar?

Solução

Solução de Exercício 37.9.

1. $2\,000 = 12 \times 166 + 8$ : a granja enche $166$ caixas completas e sobram $8$ ovos.

2. $150 = 12 \times 12 + 6$ : doze caixas contêm apenas $144$ ovos, o que não basta. A padaria tem de comprar $13$ caixas.

Exercício 37.10 ★★

Hoje é terça-feira. Que dia da semana será daqui a $100$ dias? (A semana tem $7$ dias: divida e pense no resto.)

Solução

Solução de Exercício 37.10.

$100 = 7 \times 14 + 2$ : cem dias são $14$ semanas completas e mais $2$ dias. Catorze semanas depois é de novo uma terça-feira; dois dias depois de uma terça-feira é uma quinta-feira.

Exercício 37.11 ★★

Numa divisão por $9$ , o quociente é $56$ e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?

Solução

Solução de Exercício 37.11.

O maior resto possível numa divisão por $9$ é $8$ (o resto tem de ser menor que o divisor). Então o dividendo é

9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .

Exercício 37.12 ★★★

Sou um número de três algarismos. O meu algarismo das centenas é o dobro do das unidades, o das dezenas é $0$ , e a soma dos meus algarismos é $9$ . Quem sou eu? (Raciocine passo a passo e depois confira.)

Solução

Solução de Exercício 37.12.

Sejam os algarismos $c$ (centenas), $0$ (dezenas) e $u$ (unidades). Sabemos que $c = 2 \times u$ e $c + 0 + u = 9$ , logo $2u + u = 9$ , o que dá $3u = 9$ , $u = 3$ e $c = 6$ . O número é $603$ . Confere: $6$ é o dobro de $3$ , o algarismo das dezenas é $0$ , e $6 + 0 + 3 = 9$ .

37.5 Problema: o pequeno Gauss e a soma dos cem primeiros números

Problema 37.1

Problema de fim de semana — somar $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ em dez segundos, e os números triangulares

Uma história famosa: para manter a turma ocupada, um professor pediu aos alunos que somassem todos os números de $1$ a $100$ . Um menino escreveu $5\,050$ na lousinha quase em seguida — Carl Friedrich Gauss, com nove anos, que se tornaria um dos maiores matemáticos de todos os tempos. O segredo dele foi apenas cálculo esperto (Exemplo 37.6): agrupar os termos de modo que cada grupo fique fácil. Este problema redescobre o truque dele, faz com que funcione em qualquer situação e mostra como essas somas aparecem no dia a dia.

Parte I — Os pares de Gauss.

Calcule $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ agrupando os termos com esperteza.
Para $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : junte o primeiro termo com o último ( $1 + 10$ ), o segundo com o penúltimo ( $2 + 9$ ), e assim por diante. Quanto vale cada par? Quantos pares há? Termine a conta.
O mesmo método para $1 + 2 + \dots + 20$ : quanto vale cada par, quantos pares, que total?
Agora a soma do professor, $1 + 2 + \dots + 100$ : explique por que os pares $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98, \dots$ valem todos o mesmo, e por que há exatamente $50$ deles, sendo o último $50 + 51$ .
Escreva a resposta de Gauss como uma única multiplicação e calcule-a.

Parte II — Um truque que nunca falha.

Experimente o emparelhamento em $1 + 2 + \dots + 9$ : desta vez um número fica sem par. Qual? Emparelhe em torno dele e calcule a soma.
Eis uma versão do truque que funciona quer a quantidade de termos seja par, quer seja ímpar: escreva a soma duas vezes, uma para a frente e outra de trás para a frente, uma linha embaixo da outra,

$\begin{array}{ccccccc} 1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\ 9 & + & 8 & + & \dots & + & 1 \end{array}$

e some coluna por coluna. Quanto vale cada coluna? Quantas colunas há? Explique por que a soma das duas linhas é $9 \times 10 = 90$ e conclua que $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — a mesma resposta da questão 6.
Use o truque das duas linhas para calcular $1 + 2 + \dots + 50$ e depois $1 + 2 + \dots + 200$ .
Calcule a soma dos cem primeiros números pares, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ . (Compare cada termo com um termo da soma de Gauss: não é preciso nenhum emparelhamento novo.)
Calcule $101 + 102 + \dots + 200$ , usando duas somas que você já conhece e uma subtração.

Parte III — Números triangulares por toda parte. Os totais $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , $15, \dots$ das somas $1 + 2 + \dots + n$ chamam-se números triangulares, porque contam objetos empilhados em triângulo.

Oito amigos se encontram, e cada um aperta a mão de cada um dos outros exatamente uma vez. Explique por que o número de apertos de mão é $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ e calcule-o.
Uma quitandeira monta uma pirâmide triangular de latas: $12$ latas na fileira de baixo, $11$ na seguinte, e assim por diante até uma única lata no topo. De quantas latas ela precisa? (Use o truque da questão 7.)
Desenhe a soma $1 + 2 + 3 + 4$ como uma escada de quadradinhos: um quadradinho na primeira coluna, dois na segunda, três na terceira, quatro na quarta. Mostre no seu desenho que duas escadas dessas, uma delas virada de cabeça para baixo, se encaixam exatamente num retângulo de $4$ fileiras de $5$ quadradinhos — e explique por que isso é o truque das duas linhas da questão 7, desenhado em vez de escrito.
Um relógio bate $1$ vez à uma hora, $2$ vezes às duas horas, …, $12$ vezes às doze horas. Quantas badaladas são essas ao longo das doze horas? E ao longo de um dia inteiro?
Uma última para Gauss: $5\,050$ segundos — é mais ou menos que uma hora e meia? Converta em horas, minutos e segundos, usando duas vezes a divisão euclidiana (Teorema 37.7).

Solução

Solução de Problema 37.1.

1. Por exemplo $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 = 15$ .

2. Cada par vale $11$ : $1 + 10$ , $2 + 9$ , $3 + 8$ , $4 + 7$ , $5 + 6$ . São $5$ pares (dez números, dois por par), então a soma é $5 \times 11 = 55$ .

3. Pares valendo $21$ ( $1 + 20$ , $2 + 19, \dots$ ), e há $10$ deles: $10 \times 21 = 210$ .

4. Em cada par, quando o primeiro número cresce $1$ o segundo diminui $1$ , então o total nunca muda: $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$ . Os cem números formam $50$ pares (dois números cada), sendo o mais central $50 + 51 = 101$ .

5. $50$ pares de $101$ :

1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .

6. Com nove números, o do meio, $5$ , fica sem par. Em torno dele: $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$ , quatro pares. Total: $4 \times 10 + 5 = 45$ .

7. Cada coluna vale $1 + 9 = 2 + 8 = \dots = 9 + 1 = 10$ , e há $9$ colunas: as duas linhas juntas valem $9 \times 10 = 90$ . Mas as duas linhas são a mesma soma escrita duas vezes, então uma cópia vale a metade: $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$ . Nenhum número fica sem par — o par dele está bem embaixo.

8. De $1$ a $50$ : $50$ colunas valendo $51$ , soma dobrada $50 \times 51 = 2\,550$ , logo a soma é $2\,550 \div 2 = 1\,275$ . De $1$ a $200$ : $200$ colunas valendo $201$ , soma dobrada $40\,200$ , soma $20\,100$ .

9. Todo número par é o dobro de um número da soma de Gauss: $2 = 2 \times 1$ , $4 = 2 \times 2$ , …, $200 = 2 \times 100$ . Então a soma inteira é o dobro da de Gauss:

2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .

10. Os números de $101$ a $200$ são os números de $1$ a $200$ com os números de $1$ a $100$ retirados:

101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .

11. Ponha os amigos em fila. O primeiro aperta $7$ mãos (uma com cada um dos outros). O segundo já cumprimentou o primeiro, então aperta $6$ mãos novas; o terceiro, $5$ ; e assim por diante, o sétimo apertando $1$ e o oitavo nenhuma que seja nova. Cada aperto de mão é contado exatamente uma vez:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ apertos de mão}

(emparelhando em torno do meio: $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 = 8 + 8 + 8 + 4 = 28$ ).

12. $1 + 2 + \dots + 12$ : doze colunas valendo $13$ , soma dobrada $12 \times 13 = 156$ , logo $156 \div 2 = 78$ latas.

13. A escada de $1 + 2 + 3 + 4$ quadradinhos, mais a mesma escada de cabeça para baixo, preenchem exatamente um retângulo de $4$ fileiras e $5$ colunas: cada fileira do retângulo é uma coluna do truque das duas linhas (um degrau da escada que sobe completado por um degrau da que desce: $1 + 4$ , $2 + 3$ , $3 + 2$ , $4 + 1$ — sempre $5$ ). Logo o dobro da soma é $4 \times 5 = 20$ quadradinhos, e $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ : o desenho é a questão 7.

14. $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ badaladas em doze horas (questão 12), portanto $78 \times 2 = 156$ badaladas num dia inteiro.

15. Divida por $60$ : $5\,050 = 60 \times 84 + 10$ , então $5\,050$ segundos são $84$ minutos e $10$ segundos. Divida os minutos por $60$ : $84 = 60 \times 1 + 24$ , então $84$ minutos são $1$ hora e $24$ minutos. Ao todo: $1$ h $24$ min $10$ s — um pouco menos que uma hora e meia ( $1$ h $30$ min).