38Números decimais

Solução de Problema 38.1.

1. $3$ é maior: completando, $3.000 > 2.999$. A diferença é $3.000 - 2.999 = 0.001$, um milésimo.

2. Estritamente entre $7.4 = 7.40$ e $7.5 = 7.50$ ficam

nove números, um por nova marca de graduação.

3. O mesmo desenho, dez vezes menor: entre $7.440$ e $7.450$ ficam $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — nove números de novo.

4. Entre $7.400$ e $7.500$, os números com três algarismos decimais são $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: todos os milésimos de $401$ a $499$, ou seja, $99$ números.

5. A receita da ampliação: escreva os dois números com a mesma quantidade de casas decimais e depois acrescente mais uma casa decimal — o número menor seguido de um algarismo de $1$ a $9$ cai estritamente entre os dois. De fato, $5.67 = 5.670$ e $5.68 = 5.680$, e

do mesmo modo, $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Entre duas graduações vizinhas sempre há um nível inteiramente novo de nove graduações mais finas.

6. $3 < 3.05 < 3.1$; depois $3 < 3.005 < 3.01$; depois $3 < 3.0005 < 3.001$. Cada candidato é vencido por mais uma ampliação.

7. Qualquer que seja o número proposto por Tomás — chame-o de candidato, estritamente maior que $3$ —, a questão 5 produz um número estritamente entre $3$ e o candidato. Logo o candidato não era o número mais próximo de $3$: existe algo ainda mais próximo. Como isso acontece com todo candidato sem exceção, nenhum número pode ser “o número logo depois de $3$”: ele simplesmente não existe.

8. $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. E $3 - 2.999 = 0.001$. Com vinte noves, a diferença é um ponto decimal seguido de dezenove zeros e um $1$ — uma unidade na vigésima casa decimal: minúscula, mas não nula. Por mais noves que Tomás escreva, ele nunca chega a $3$.

9. Os números naturais sobem de $1$ em $1$: mais que $7$ e menos que $8$ significaria um número inteiro de unidades estritamente entre $7$ e $8$ unidades, e não existe nenhum. A ampliação só escapa disso escrevendo algarismos depois do ponto — exatamente o que os números naturais não têm.

10. O menor comprimento que arredonda para $3.7$ é $3.65$ cm: o algarismo seguinte dele é $5$, que arredonda para cima (Definição 38.9). E $3.75$ sobe para $3.8$ pela mesma razão. Então “$3.7$ cm arredondado ao décimo” quer dizer: pelo menos $3.65$ cm e estritamente menos que $3.75$ cm — um segmento inteiro de comprimentos verdadeiros possíveis se esconde atrás de um único valor arredondado.

11. $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. Em uma frase: comparando algarismo por algarismo a partir da esquerda, $0.0999$ tem $0$ décimos enquanto $0.6$ tem $6$, e a comparação já se resolve aí — a quantidade de algarismos escritos não diz nada sobre o tamanho (Método 38.3).

12. Não: em centavos, $4.99$ são $499$ centavos e $5$ são $500$ centavos — números inteiros consecutivos, sem nada entre eles. Os preços, tendo exatamente duas casas decimais, são na verdade números inteiros de centavos disfarçados: como os números naturais da questão 9, eles têm vizinhos de porta. A ampliação sem fim precisa do direito de escrever cada vez mais casas decimais.

13. Os candidatos perto de $6$ são $5.82$ e $8.25$ (um número começado por $2$, ou por $58$, $25$, $82$, $85$, fica longe de $6$). Distâncias: $6 - 5.82 = 0.18$ e $8.25 - 6 = 2.25$. O mais próximo é $5.82$.

14. Por exemplo $3.1415$, já que $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; depois $3.14159$, já que $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Os dois são passos reais da caça de verdade a $\pi = 3.14159\dots$)

15. Suponha que alguém diga um número, tão grande quanto quiser. Uma ampliação transforma cada par de graduações vizinhas entre $0$ e $1$ em nove números novos, e a ampliação pode ser repetida para sempre — as questões 2, 3 e 4 foram apenas os dois primeiros níveis. Repetindo-a vezes suficientes, produzem-se mais números decimais entre $0$ e $1$ do que o número dito. Logo nenhum número é grande o bastante para contá-los: são infinitos.