Matemática do ensino fundamental · कक्षा 1–9

51Triângulos e ângulos

Dá para traçar um triângulo de lados $10$ , $3$ e $2$ ? E com ângulos $80^\circ$ , $70^\circ$ e $50^\circ$ ? Este capítulo responde às duas perguntas com dois dos fatos mais úteis da geometria plana: a desigualdade triangular e a soma dos ângulos igual a $180^\circ$ — mais o vocabulário de ângulos que vem com retas que se cruzam e retas paralelas.

51.1 Ângulos em torno de retas que se cruzam

Definição 51.1 (Pares de ângulos)

Dois ângulos são complementares quando as medidas deles somam $90^\circ$ , e suplementares quando somam $180^\circ$ .
Quando duas retas se cruzam, os ângulos que ficam um de frente para o outro através do ponto de cruzamento são opostos pelo vértice.
Quando uma reta cruza duas outras retas, os ângulos situados na mesma posição em cada cruzamento são ângulos correspondentes; os ângulos entre as duas retas e em lados opostos da reta que as cruza são ângulos alternos internos.

Teorema 51.2 (Igualdades de ângulos)

Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
Se duas retas são paralelas, os ângulos correspondentes são iguais e os ângulos alternos internos são iguais. Reciprocamente, ângulos correspondentes (ou alternos internos) iguais obrigam as retas a serem paralelas.

Demonstração de 1. Os dois ângulos $\widehat{1}$ e $\widehat{2}$ de um lado de uma reta formam um ângulo raso: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$ . O ângulo $\widehat 3$ , oposto pelo vértice a $\widehat 1$ , também satisfaz $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (pela mesma razão). Logo $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$ . O ponto 2 é admitido neste nível. ∎

À esquerda: ângulos opostos pelo vértice, 1 = 3 (cada um é suplementar de 2). À direita: retas paralelas cortadas por uma terceira reta — os ângulos correspondentes a e b são iguais. — À esquerda: ângulos opostos pelo vértice, $\widehat 1 = \widehat 3$ (cada um é suplementar de $\widehat 2$ ). À direita: retas paralelas cortadas por uma terceira reta — os ângulos correspondentes $\widehat a$ e $\widehat b$ são iguais.

51.2 A soma dos ângulos de um triângulo

Teorema 51.3 (Soma dos ângulos)

Em todo triângulo, os três ângulos somam $180^\circ$ .

Demonstração. Seja $ABC$ um triângulo. Trace a reta que passa por $A$ e é paralela a $(BC)$ . No vértice $A$ , três ângulos se alinham ao longo dessa paralela e formam um ângulo raso, $180^\circ$ : o do meio é $\widehat{A}$ , e os dois de fora são alternos internos com $\widehat B$ e $\widehat C$ (retas paralelas!), então valem $\widehat B$ e $\widehat C$ . Portanto, $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ . ∎

A demonstração numa imagem: ao longo da paralela a (BC) que passa por A, os ângulos B, A, C (alternos internos, em cores correspondentes) preenchem um ângulo raso. — A demonstração numa imagem: ao longo da paralela a $(BC)$ que passa por $A$ , os ângulos $\widehat B$ , $\widehat A$ , $\widehat C$ (alternos internos, em cores correspondentes) preenchem um ângulo raso.

Exemplo 51.4

Dois ângulos de um triângulo medem $67^\circ$ e $58^\circ$ . O terceiro mede

180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .

Casos especiais que vale a pena decorar: cada ângulo de um triângulo equilátero mede $180 \div 3 = 60^\circ$ ; num triângulo retângulo, os dois ângulos agudos são complementares (somam $180 - 90 = 90^\circ$ ); os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais, então cada um vale $\frac{180 - \text{ângulo do ápice}}{2}$ .

Exemplo 51.5 (Não existe triângulo com dois ângulos retos)

Um triângulo com dois ângulos de $90^\circ$ já gastaria $180^\circ$ , deixando $0^\circ$ para o terceiro — impossível. A soma dos ângulos proíbe muitos triângulos de uma vez.

51.3 A desigualdade triangular

Teorema 51.6 (Desigualdade triangular)

Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois: para um triângulo de lados $a$ , $b$ , $c$ ,

a < b + c .

Reciprocamente, três comprimentos em que o maior é menor que a soma dos outros dois sempre formam um triângulo. Se o maior for igual à soma dos outros, o “triângulo” fica achatado: os três vértices ficam alinhados.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 51.7

Os lados podem ser $10$ , $3$ e $2$ ? Teste o maior: será que $10 < 3 + 2 = 5$ ? Não — não existe triângulo assim. O compasso mostra por quê: arcos de raios $3$ e $2$ traçados a partir das pontas de um segmento de comprimento $10$ nunca se encontram.

Lados $7$ , $5$ e $4$ ? Maior: $7 < 5 + 4 = 9$ : sim, o triângulo existe (basta conferir o maior lado).

Tentando construir um triângulo de lados 10, 3, 2: os dois arcos de compasso ficam irremediavelmente distantes, porque 3 + 2 < 10. — Tentando construir um triângulo de lados $10$ , $3$ , $2$ : os dois arcos de compasso ficam irremediavelmente distantes, porque $3 + 2 < 10$ .

Método 51.8 (Existência e construção de um triângulo)

Dados três comprimentos:

compare o maior com a soma dos outros dois; se ele não for estritamente menor, pare: não há triângulo;
caso contrário, construa como no Método 41.2 (segmento de base, dois arcos de compasso);
depois de qualquer construção a partir de ângulos, confira de cabeça que os ângulos dados somam menos de $180^\circ$ — com o terceiro ângulo completando exatamente $180^\circ$ .

51.4 Exercícios

Exercício 51.1 ★

Dê o complemento (até $90^\circ$ ) e o suplemento (até $180^\circ$ ) de: $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$ .

Solução

Solução de Exercício 51.1.

Complementos: $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$ . Suplementos: $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$ .

Exercício 51.2 ★

Duas retas se cruzam; um dos quatro ângulos mede $35^\circ$ . Dê as medidas dos outros três, com uma razão para cada uma.

Solução

Solução de Exercício 51.2.

O ângulo oposto pelo vértice também mede $35^\circ$ (Teorema 51.2); os dois ângulos restantes são suplementares dele: $180 - 35 = 145^\circ$ cada um.

Exercício 51.3 ★

Calcule o terceiro ângulo de um triângulo cujos dois primeiros ângulos medem: (a) $40^\circ$ e $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ e $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ e $75^\circ$ .

Solução

Solução de Exercício 51.3.

(a) $180 - 100 = 80^\circ$ . (b) $180 - 118 = 62^\circ$ . (c) $180 - 150 = 30^\circ$ .

Exercício 51.4 ★

Um triângulo isósceles tem o ângulo do ápice igual a $40^\circ$ . Calcule os dois ângulos da base dele. Outro triângulo isósceles tem um ângulo da base de $70^\circ$ : calcule o ângulo do ápice.

Solução

Solução de Exercício 51.4.

Ápice $40^\circ$ : os ângulos da base repartem igualmente $180 - 40 = 140^\circ$ : $70^\circ$ cada um.

Ângulo da base $70^\circ$ : os dois ângulos da base são iguais, então o ápice é $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$ .

Exercício 51.5 ★

Que ternos podem ser os lados de um triângulo? Justifique pela desigualdade triangular (olhe o maior lado!):

(6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7).

Solução

Solução de Exercício 51.5.

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : o triângulo existe.

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : impossível.

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : “triângulo” achatado — os pontos ficam alinhados, não há triângulo de verdade.

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : triângulo equilátero.

Exercício 51.6 ★

Um triângulo tem ângulos $x$ , $2x$ e $3x$ . Encontre $x$ e os três ângulos. Que tipo de triângulo é esse?

Solução

Solução de Exercício 51.6.

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$ , então $x = 30^\circ$ : os ângulos são $30^\circ$ , $60^\circ$ e $90^\circ$ — um triângulo retângulo.

Exercício 51.7 ★

Construa um triângulo $ABC$ com $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ e $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (transferidor em $B$ e em $C$ ). Antes de construir, preveja a medida de $\widehat{BAC}$ e depois confira na sua figura.

Solução

Solução de Exercício 51.7.

Previsão: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; o transferidor sobre a figura pronta confirma.

Exercício 51.8 ★★

Duas retas paralelas são cortadas por uma terceira reta, formando um ângulo de $54^\circ$ no primeiro cruzamento (entre a reta que corta e uma das paralelas). Desenhe a situação e dê as medidas de todos os oito ângulos formados.

Solução

Solução de Exercício 51.8.

No primeiro cruzamento, os quatro ângulos são $54^\circ$ , $126^\circ$ , $54^\circ$ , $126^\circ$ (pares opostos pelo vértice e suplementos). A reta paralela reproduz as mesmas quatro medidas no segundo cruzamento (ângulos correspondentes): oito ângulos ao todo, quatro de $54^\circ$ e quatro de $126^\circ$ .

Exercício 51.9 ★★

Dois lados de um triângulo medem $8$ cm e $3$ cm. Entre que dois valores tem de ficar o terceiro lado? Dê um comprimento inteiro que sirva e um que não sirva.

Solução

Solução de Exercício 51.9.

Seja $c$ o terceiro lado. A desigualdade triangular exige $c < 8 + 3 = 11$ e também $8 < c + 3$ , isto é, $c > 5$ . Logo $5 < c < 11$ : o comprimento $7$ cm serve; o comprimento $12$ cm (ou $4$ cm) não serve.

Exercício 51.10 ★★

Num triângulo $ABC$ , $\widehat A = 2\widehat B$ e $\widehat C = 90^\circ$ . Calcule $\widehat A$ e $\widehat B$ .

Solução

Solução de Exercício 51.10.

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ , e $\widehat A = 2\widehat B$ , então $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ e $\widehat A = 60^\circ$ .

Exercício 51.11 ★★★

Os ângulos de qualquer quadrilátero $ABCD$ podem ser estudados cortando-o por uma diagonal em dois triângulos. Use isso para demonstrar que os quatro ângulos de todo quadrilátero somam $360^\circ$ e deduza a soma dos ângulos de um pentágono (cinco lados).

Solução

Solução de Exercício 51.11.

A diagonal $[AC]$ divide $ABCD$ nos triângulos $ABC$ e $ACD$ . Os quatro ângulos do quadrilátero são exatamente os seis ângulos dos dois triângulos, reagrupados (os ângulos em $A$ e em $C$ ficam cada um dividido em dois). Total: $180 + 180 = 360^\circ$ . Um pentágono se divide, a partir de um vértice, em três triângulos: $3 \times 180 = 540^\circ$ .

51.5 Problema: dando a volta no quarteirão

Problema 51.1

Problema de fim de semana — os ângulos de um polígono qualquer: $(n-2) \times 180^\circ$ por dentro, sempre $360^\circ$ de giro por fora, e por que só três formas regulares ladrilham um piso

O Exercício 51.11 cortou um quadrilátero em dois triângulos e encontrou $360^\circ$ . Este problema leva a ideia a polígonos com qualquer número de lados, depois descobre uma segunda demonstração, completamente diferente — caminhando em volta da forma e somando os giros — e termina no piso do seu banheiro: entre todos os polígonos regulares, exatamente três conseguem ladrilhar um plano sem falhas nem sobreposições, e as abelhas escolheram o delas.

Parte I — Os ângulos de dentro.

A partir de um vértice de um hexágono (seis lados), trace todas as diagonais que saem desse vértice. Em quantos triângulos o hexágono fica cortado, e qual é a soma de todos os ângulos internos dele (Teorema 51.3)?
Generalize: a partir de um vértice de um polígono de $n$ lados, quantos triângulos o leque de diagonais produz? Deduza a fórmula da soma dos ângulos internos e confira-a para $n = 3$ , $4$ , $5$ , $6$ .
Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono ( $10$ lados) e de um dodecágono ( $12$ lados).
Num polígono regular, todos os ângulos internos são iguais. Calcule o ângulo interno do triângulo equilátero, do quadrado, do pentágono, do hexágono e do octógono regulares.
Explique, sem nenhuma fórmula, por que a soma dos ângulos cresce exatamente $180^\circ$ a cada vez que o polígono ganha um vértice.

Parte II — A volta no quarteirão. Caminhe ao longo do contorno de um quarteirão poligonal, sempre para a frente. Em cada esquina você gira um certo ângulo — o ângulo externo dessa esquina; os giros continuam até você voltar ao ponto de partida, olhando na direção de partida.

Numa esquina cujo ângulo interno é $\widehat A$ , de quanto você gira? (Ângulo interno e ângulo externo são suplementares.) Calcule os três giros para um triângulo de ângulos $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
Some os três giros da questão 6. Que fato de volta completa você observa?
Explique por que os giros de uma volta completa em torno de qualquer polígono — de três lados ou de trinta — somam sempre exatamente $360^\circ$ . (O que o seu nariz fez, somados todos os giros, quando você volta?)
Deduza a fórmula dos ângulos internos uma segunda vez: em cada uma das $n$ esquinas, interno $+$ giro $= 180^\circ$ ; some sobre todas as esquinas e use a questão 8.
Num polígono regular, todos os giros são iguais, então cada ângulo externo é $\frac{360^\circ}{n}$ . Use isso para responder na hora: que polígono regular tem ângulos internos de $150^\circ$ ? E por que nenhum polígono regular tem ângulos internos de $155^\circ$ ?

Parte III — Ladrilhar o piso. Em torno de cada ponto de um piso ladrilhado, os cantos dos ladrilhos que se encontram têm de somar exatamente $360^\circ$ — sem falha e sem sobreposição (Problema 40.1).

Para cada um destes — triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular —, quantas cópias se encontram num ponto de canto do ladrilhamento? Verifique os $360^\circ$ em cada caso.
Mostre que pentágonos regulares não conseguem ladrilhar o piso: quanto somam três cantos, e quanto somariam quatro?
Mostre que nenhum polígono regular com mais de seis lados consegue ladrilhar: pelo menos três ladrilhos têm de se encontrar em cada canto (cada ângulo é menor que $180^\circ$ ), e o que acontece com três cantos de $135^\circ$ ou mais? Conclua a lista completa dos ladrilhadores regulares.
Pisos de banheiro muitas vezes misturam octógonos regulares com quadradinhos. Verifique que este canto funciona: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Outro clássico mistura um quadrado, um hexágono regular e um dodecágono regular em cada canto: verifique-o também (o ângulo interno do dodecágono sai do método da questão 10).
A escolha das abelhas: as células do favo de mel são hexágonos regulares. Verifique os cantos delas ( $3$ ângulos) e explique em uma frase — com a ajuda da descoberta de Dido (Problema 43.1) — por que, dos três ladrilhos regulares possíveis, o hexágono é o mais barato em cera para o mel que guarda.

Solução

Solução de Problema 51.1.

1. As diagonais que saem de um vértice de um hexágono o cortam em $4$ triângulos, então os ângulos internos somam $4 \times 180 = 720^\circ$ .

2. De um vértice saem diagonais para todos os vértices, exceto ele mesmo e os dois vizinhos: $n - 3$ diagonais, cortando o polígono em $n - 2$ triângulos. Cada ângulo interno do polígono se distribui entre os triângulos, então a soma é

(n - 2) \times 180^\circ .

Confere: $n = 3$ : $180^\circ$ ; $n = 4$ : $360^\circ$ (Exercício 51.11); $n = 5$ : $540^\circ$ ; $n = 6$ : $720^\circ$ .

3. Decágono: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$ . Dodecágono: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$ .

4. Dividindo por $n$ : triângulo $60^\circ$ ; quadrado $90^\circ$ ; pentágono $\frac{540}{5} = 108^\circ$ ; hexágono $\frac{720}{6} = 120^\circ$ ; octógono $\frac{1080}{8} = 135^\circ$ .

5. Acrescentar um vértice acrescenta mais um triângulo ao leque: o polígono novo precisa de $n - 1$ triângulos onde o antigo precisava de $n - 2$ . Um triângulo a mais, $180^\circ$ a mais.

6. O caminhante gira o suplemento: $180^\circ - \widehat A$ . Para o triângulo $40$ – $60$ – $80$ , os giros são $140^\circ$ , $120^\circ$ e $100^\circ$ .

7. $140 + 120 + 100 = 360^\circ$ : uma volta completa.

8. Ao longo da caminhada inteira, o seu nariz começa e termina apontando para o mesmo lado, tendo varrido exatamente uma volta: todo o giro feito nas esquinas soma uma revolução completa, $360^\circ$ — qualquer que seja o número de esquinas e o formato do quarteirão. (O fato é lindamente independente de $n$ .)

9. Em cada esquina, interno $+$ giro $= 180^\circ$ . Somando sobre as $n$ esquinas:

\text{(soma dos internos)} + 360^\circ = 180^\circ \times n, \qquad\text{logo}\qquad \text{soma dos internos} = (n - 2) \times 180^\circ

— a fórmula da questão 2, demonstrada de novo, agora a pé.

10. Interno de $150^\circ$ significa giro de $30^\circ$ , e $n = \frac{360}{30} = 12$ : o dodecágono regular. Interno de $155^\circ$ significaria giros de $25^\circ$ , e $\frac{360}{25} = 14.4$ não é um número inteiro de esquinas: não existe polígono regular assim.

11. Triângulo ( $60^\circ$ ): $6$ se encontram, $6 \times 60 = 360$ . Quadrado ( $90^\circ$ ): $4$ se encontram. Hexágono ( $120^\circ$ ): $3$ se encontram, $3 \times 120 = 360$ . Os três fecham perfeitamente.

12. Três cantos de pentágono: $3 \times 108 = 324^\circ$ — sobra uma falha de $36^\circ$ . Quatro cantos: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — sobreposição. Nenhum dos dois funciona: pentágonos regulares não ladrilham o plano.

13. Num canto de ladrilhamento, pelo menos $3$ ladrilhos se encontram. Um polígono regular com mais de seis lados tem ângulos internos maiores que $120^\circ$ (questão 4 e o crescimento do ângulo com $n$ ), então três cantos ultrapassam $3 \times 120 = 360^\circ$ : sobreposição, impossível. Com exatamente seis lados, $3 \times 120 = 360$ funciona; abaixo de seis, as questões 11 e 12 resolvem os casos. A lista completa dos ladrilhadores regulares: triângulo, quadrado, hexágono.

14. Octógonos e quadrados: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$ : o canto fecha — o clássico padrão de calçada. Quadrado, hexágono e dodecágono: o giro do dodecágono é $\frac{360}{12} = 30^\circ$ , então o ângulo interno dele é $150^\circ$ , e $90 + 120 + 150 = 360^\circ$ : também funciona.

15. Cantos do favo: $3 \times 120 = 360^\circ$ , perfeito. Entre ladrilhos de triângulo, quadrado e hexágono de mesma área, o hexágono tem o contorno mais curto — é o mais próximo dos três do círculo de Dido (Problema 43.1) —, então células hexagonais guardam o mesmo mel com o mínimo de cera: as abelhas ladrilham como geômetras.