Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

23Divisão

O Ano 3 dividiu com as tabuadas e restos pequenos (Capítulo 17); este capítulo instala a conta completa — a divisão armada — que dá conta de qualquer número, grupo de algarismos por grupo de algarismos.

23.1 O algoritmo da divisão armada

Método 23.1 (Divisão armada por um número de um algarismo)

Para dividir $749$ por $6$ :

tome o algarismo mais à esquerda, $7$ (centenas): o $6$ cabe $1$ vez em $7$ ; escreva $1$ no quociente, subtraia $6$ , resta $1$ ;
baixe o algarismo seguinte, $4$ : agora divida $14$ (dezenas): $6 \times 2 = 12$ ; escreva $2$ , resta $2$ ;
baixe o $9$ : divida $29$ : $6 \times 4 = 24$ ; escreva $4$ , resta $5$ ;
não sobrou algarismo: o quociente é $124$ e o resto é $5$ .

Conferência: $6 \times 124 + 5 = 744 + 5 = 749$ , e $5 < 6$ .

A divisão armada de 749 por 6, escrita por inteiro: cada subtração aparece, cada algarismo fica na sua coluna, e as setas cinzentas mostram os algarismos sendo baixados. — A divisão armada de $749$ por $6$ , escrita por inteiro: cada subtração aparece, cada algarismo fica na sua coluna, e as setas cinzentas mostram os algarismos sendo baixados.

Exemplo 23.2 (Um zero no quociente)

Divida $618$ por $3$ : centenas, $6 \div 3 = 2$ ; dezenas, baixe o $1$ : o $3$ cabe $0$ vez em $1$ — escreva o $0$ ! — resta $1$ ; unidades, baixe o $8$ : $18 \div 3 = 6$ . Quociente $206$ , resto $0$ . Esquecer o zero do meio (escrever $26$ ) é o erro clássico; a conferência $3 \times 26 = 78 \neq 618$ o denuncia na hora.

Exemplo 23.3 (Estimar o tamanho do quociente)

Antes de dividir $749$ por $6$ , enquadre a resposta: $6 \times 100 = 600$ e $6 \times 200 = 1\,200$ , então o quociente está entre $100$ e $200$ — vai ter três algarismos. Essa estimativa de uma linha evita quase todos os erros de algarismo fora de lugar.

23.2 Escolher o que a pergunta pede

Método 23.4 (Quociente, resto ou quociente mais um)

Como no Método 17.5, a história decide:

“quantos … completos” ou “quantos para cada um”: o quociente;
“quantos sobram”: o resto;
“quantos recipientes para tudo”: o quociente, mais um se o resto não for zero.

Exemplo 23.5

$530$ livros têm de ser embalados em caixas de $8$ .

530 = 8 \times 66 + 2 .

Quantas caixas cheias? $66$ . Quantos livros não estão numa caixa cheia? $2$ . Quantas caixas para embalar todos os livros? $67$ . Três perguntas, uma divisão.

Exemplo 23.6 (Divisão justa de uma despesa)

Quatro amigos dividem igualmente o custo de um presente de $92$ : $92 \div 4 = 23$ exatamente (resto $0$ ). Cada um paga $23$ . Quando o resto é zero, a divisão é “exata” e a partilha fica perfeitamente justa.

23.3 Exercícios

Exercício 23.1 ★

Enquadre cada quociente como no Exemplo 23.3 (entre quais dois números “redondos”?) e depois faça a divisão armada: $96 \div 4$ ; $87 \div 5$ .

Solução

Solução de Exercício 23.1.

$96 \div 4$ : entre $4 \times 20 = 80$ e $4 \times 30 = 120$ , então o quociente tem dois algarismos; a divisão armada dá $24$ , resto $0$ .

$87 \div 5$ : entre $5 \times 10 = 50$ e $5 \times 20 = 100$ ; quociente $17$ , resto $2$ ( $87 = 5 \times 17 + 2$ ).

Exercício 23.2 ★

Faça as divisões armadas e confira cada uma: $672 \div 4$ ; $925 \div 7$ ; $804 \div 6$ .

Solução

Solução de Exercício 23.2.

$672 \div 4 = 168$ , resto $0$ (confere: $4 \times 168 = 672$ ).

$925 \div 7 = 132$ , resto $1$ (confere: $7 \times 132 + 1 = 925$ ).

$804 \div 6 = 134$ , resto $0$ (confere: $6 \times 134 = 804$ ).

Exercício 23.3 ★

Cuidado com o zero (veja o Exemplo 23.2): $816 \div 4$ ; $420 \div 7$ ; $2\,512 \div 5$ .

Solução

Solução de Exercício 23.3.

$816 \div 4 = 204$ (a etapa das dezenas é $1 \div 4$ : zero vezes — escreva o $0$ ).

$420 \div 7 = 60$ .

$2\,512 \div 5 = 502$ , resto $2$ (confere: $5 \times 502 + 2 = 2\,512$ ).

Exercício 23.4 ★

Escreva a igualdade de conferência ( $a = b \times q + r$ ) para: $85 \div 9$ ; $1\,000 \div 3$ .

Solução

Solução de Exercício 23.4.

$85 = 9 \times 9 + 4$ (quociente $9$ , resto $4$ ).

$1\,000 = 3 \times 333 + 1$ .

Exercício 23.5 ★

$156$ ovos são postos em caixas de $6$ . Quantas caixas ficam cheias?

Solução

Solução de Exercício 23.5.

$156 \div 6 = 26$ : vinte e seis caixas ficam cheias, sem sobra.

Exercício 23.6 ★

Uma fita de $250$ cm é cortada em pedaços de $8$ cm. Quantos pedaços, e que comprimento sobra?

Solução

Solução de Exercício 23.6.

$250 = 8 \times 31 + 2$ : trinta e um pedaços, e sobram $2$ cm de fita.

Exercício 23.7 ★

$375$ alunos vão a um espetáculo em ônibus de $52$ lugares. Quantos ônibus são necessários? (Qual caso do Método 23.4 é este? Divida por $52$ usando múltiplos: $52 \times 7 = 364$ .)

Solução

Solução de Exercício 23.7.

$375 = 52 \times 7 + 11$ : sete ônibus levam $364$ alunos e sobram $11$ — é o caso do “mais um”: são necessários $8$ ônibus.

Exercício 23.8 ★

Três amigos repartem $234$ bolinhas igualmente. Quantas bolinhas para cada um? Confira com uma multiplicação.

Solução

Solução de Exercício 23.8.

$234 \div 3 = 78$ : cada um fica com $78$ bolinhas. Confere: $3 \times 78 = 234$ .

Exercício 23.9 ★

Descubra o dividendo: a divisão por $7$ dá quociente $58$ e resto $3$ .

Solução

Solução de Exercício 23.9.

Dividendo $= 7 \times 58 + 3 = 406 + 3 = 409$ .

Exercício 23.10 ★★

Um bibliotecário arruma $438$ livros, $9$ por prateleira. As prateleiras vêm em estantes de $6$ prateleiras. Quantas prateleiras são necessárias? Quantas estantes é preciso comprar? (Duas divisões, as duas com uma pergunta do tipo “mais um”.)

Solução

Solução de Exercício 23.10.

Prateleiras: $438 = 9 \times 48 + 6$ : $48$ prateleiras cheias e mais $6$ livros — são necessárias $49$ prateleiras. Estantes: $49 = 6 \times 8 + 1$ : oito estantes cheias e uma prateleira a mais — é preciso comprar $9$ estantes.

Exercício 23.11 ★★

Numa divisão por $8$ , o quociente é igual ao resto. Quais são os dividendos possíveis? Liste todos. (O resto tem de ficar abaixo de $8$ .)

Solução

Solução de Exercício 23.11.

Quociente $=$ resto $= r$ com $r < 8$ , então $r$ vale $0, 1, \dots, 7$ e o dividendo é $8r + r = 9r$ : os dividendos possíveis são $0$ , $9$ , $18$ , $27$ , $36$ , $45$ , $54$ , $63$ .