Matemática do ensino fundamental · कक्षा 1–9

67Funções lineares e afins

“Três quilogramas custam três vezes o que custa um”: isso é proporcionalidade, o jeito mais simples de duas grandezas se relacionarem. As funções lineares são a proporcionalidade na linguagem das funções; as funções afins acrescentam uma quantia inicial fixa. Os gráficos delas são retas, e ler essas retas é a habilidade que este capítulo constrói.

67.1 Proporcionalidade e funções lineares

Definição 67.1 (Função linear)

Uma função linear multiplica todo número por um número fixo $a$ :

f(x) = a x .

O número $a$ é o coeficiente de $f$ . Duas grandezas são proporcionais exatamente quando uma é função linear da outra.

Exemplo 67.2

Se as maçãs custam $3$ por quilograma, o preço de $x$ quilogramas é $f(x) = 3x$ : comprar o dobro custa o dobro, e o preço de $2.5$ kg é $f(2.5) = 7.5$ .

Reciprocamente, se uma função linear satisfaz $f(4) = 10$ , então $a = \frac{10}{4} = 2.5$ e $f(x) = 2.5x$ : um único valor determina uma função linear por completo.

Proposição 67.3 (Gráfico de uma função linear)

O gráfico de $f(x) = ax$ é uma reta que passa pela origem. Reciprocamente, toda reta não vertical que passa pela origem é o gráfico de uma função linear.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Duas funções lineares: os dois gráficos passam pela origem; o coeficiente a é a altura alcançada em x = 1. — Duas funções lineares: os dois gráficos passam pela origem; o coeficiente $a$ é a altura alcançada em $x = 1$ .

67.2 Funções afins

Definição 67.4 (Função afim)

Uma função afim tem a forma

f(x) = a x + b ,

em que $a$ e $b$ são números fixos. As funções lineares são o caso particular $b = 0$ ; as funções constantes, o caso $a = 0$ .

Exemplo 67.5

Uma academia cobra uma taxa de matrícula de $20$ e depois $5$ por visita: o custo total de $x$ visitas é $f(x) = 5x + 20$ . O custo não é proporcional ao número de visitas ( $10$ visitas não custam o dobro de $5$ ), mas cada visita a mais acrescenta a mesma quantia, $5$ .

Proposição 67.6 (Gráfico de uma função afim)

O gráfico de $f(x) = ax + b$ é uma reta:

$b = f(0)$ é o coeficiente linear: a reta cruza o eixo vertical em $(0, b)$ ;
$a$ é o coeficiente angular: andar uma unidade para a direita sobe $a$ unidades (desce, se $a < 0$ ); a função é crescente quando $a > 0$ e decrescente quando $a < 0$ ;
para quaisquer duas entradas $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

Demonstração do último ponto. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; divida por $v - u$ . O resto é admitido neste nível (o volume do ensino médio dá um tratamento completo das retas e das equações delas). ∎

Ler y = ax + b no gráfico: a reta cruza o eixo vertical na altura b e sobe a a cada passo de uma unidade para a direita (aqui, a = 1, b = 1). — Ler $y = ax + b$ no gráfico: a reta cruza o eixo vertical na altura $b$ e sobe $a$ a cada passo de uma unidade para a direita (aqui, $a = 1$ , $b = 1$ ).

Método 67.7 (Achar uma função afim a partir de dois valores)

Dados $f(u)$ e $f(v)$ com $u \neq v$ :

calcule o coeficiente angular $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
substitua um dos dois valores conhecidos em $f(x) = ax + b$ para achar $b$ ;
confira com o outro valor.

Exemplo 67.8

Ache a função afim com $f(2) = 7$ e $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

e depois $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ dá $b = 1$ : $f(x) = 3x + 1$ . Conferindo: $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 Porcentagens

Proposição 67.9 (Variação percentual)

Aumentar uma grandeza em $t\,\%$ a multiplica por $1 + \dfrac{t}{100}$ ; diminuí-la em $t\,\%$ a multiplica por $1 - \dfrac{t}{100}$ . As variações percentuais são funções lineares.

Demonstração. Aumentar $x$ em $t\,\%$ significa somar $\frac{t}{100}\,x$ :

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

Mesma conta, com sinal de menos, para uma diminuição. ∎

Exemplo 67.10

Um preço de $80$ aumenta $15\%$ : preço novo $80 \times 1.15 = 92$ . Um preço de $60$ diminui $30\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

Encadear variações multiplica os fatores. Um aumento de $20\%$ seguido de uma redução de $20\%$ dá $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : uma queda de $4\%$ no total, e não uma volta ao ponto de partida!

67.4 Exercícios

Exercício 67.1 ★

Entre estas funções, quais são lineares? Quais são afins? Quais não são nem uma coisa nem outra?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

Solução

Solução de Exercício 67.1.

Lineares: $f$ e $k$ (da forma $ax$ ). Afins, mas não lineares: $g$ (coeficiente angular $3$ , coeficiente linear $-5$ ) e $m$ (constante, coeficiente angular $0$ ). Nem uma coisa nem outra: $h$ , por causa do quadrado.

Exercício 67.2 ★

Seja $f(x) = 2x - 3$ . Calcule $f(0)$ , $f(4)$ , $f(-1)$ e ache o número $x$ tal que $f(x) = 9$ .

Solução

Solução de Exercício 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ . E $f(x) = 9$ significa $2x - 3 = 9$ , então $2x = 12$ e $x = 6$ .

Exercício 67.3 ★

Uma função linear satisfaz $f(6) = 15$ . Ache o coeficiente dela e depois calcule $f(10)$ e $f(-2)$ .

Solução

Solução de Exercício 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , então $f(x) = 2.5x$ . Daí, $f(10) = 25$ e $f(-2) = -5$ .

Exercício 67.4 ★

Trace no mesmo sistema de eixos os gráficos de $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ e $h(x) = -x + 4$ . O que se pode dizer dos gráficos de $f$ e de $g$ ?

Solução

Solução de Exercício 67.4.

$f$ passa pela origem com coeficiente angular $2$ ; $g$ tem o mesmo coeficiente angular, mas cruza o eixo vertical em $3$ ; $h$ desce a partir de $(0, 4)$ com coeficiente angular $-1$ . Os gráficos de $f$ e de $g$ são retas paralelas (mesmo coeficiente angular, coeficientes lineares diferentes).

Exercício 67.5 ★

Ache a função afim tal que $f(1) = 5$ e $f(3) = 11$ ; e depois a função tal que $g(0) = 4$ e $g(2) = 0$ .

Solução

Solução de Exercício 67.5.

Para $f$ : coeficiente angular $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , e depois $5 = 3 \times 1 + b$ dá $b = 2$ : $f(x) = 3x + 2$ .

Para $g$ : coeficiente angular $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ , e $g(0) = 4$ já é o coeficiente linear: $g(x) = -2x + 4$ .

Exercício 67.6 ★★

Calcule: o preço depois de um aumento de $25\%$ sobre $120$ ; o preço depois de um desconto de $40\%$ sobre $65$ ; o preço original se um artigo custa $69$ depois de um desconto de $25\%$ .

Solução

Solução de Exercício 67.6.

Aumento de $25\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

Desconto de $40\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

Preço original $p$ com $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

Exercício 67.7 ★★

Um plano de celular A custa $10$ por mês mais $0.05$ por minuto de ligação; o plano B custa $25$ por mês com ligações ilimitadas.

Expresse o custo mensal do plano A como função do número $x$ de minutos.
A partir de quantos minutos por mês o plano B fica mais barato?

Solução

Solução de Exercício 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. O plano B fica mais barato quando $25 < 0.05x + 10$ , isto é, $15 < 0.05x$ , isto é, $x > 300$ . A partir de $301$ minutos ( $5$ horas) por mês, o plano B ganha.

Exercício 67.8 ★★

Uma população de $2000$ bactérias aumenta $10\%$ a cada hora.

Quantas bactérias há depois de uma hora? E depois de duas horas?
Explique por que a resposta depois de duas horas não é $2400$ .

Solução

Solução de Exercício 67.8.

1. Depois de uma hora: $2000 \times 1.1 = 2200$ . Depois de duas horas: $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. O segundo aumento se aplica a $2200$ , e não a $2000$ : crescer $10\%$ duas vezes multiplica por $1.1^2 = 1.21$ , um aumento de $21\%$ , e não de $20\%$ .

Exercício 67.9 ★★

O gráfico de uma função afim passa pelos pontos $(2, 3)$ e $(6, 1)$ .

Calcule o coeficiente angular dela. A função é crescente ou decrescente?
Dê a expressão dela e calcule a entrada para a qual a saída é $0$ .

Solução

Solução de Exercício 67.9.

1. Coeficiente angular: $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : a função é decrescente.

2. $f(x) = -0.5x + b$ com $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ , então $b = 4$ e $f(x) = -0.5x + 4$ . Saída $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ dá $x = 8$ .

Exercício 67.10 ★★★

Uma loja primeiro aumenta um preço em $t\,\%$ e depois reduz o preço novo em $t\,\%$ .

Mostre que o preço final é igual ao original multiplicado por $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
Deduza que o preço final é sempre menor que o original (para $0 < t \leq 100$ ) e ache a variação percentual total para $t = 10$ .

Solução

Solução de Exercício 67.10.

1. As duas variações multiplicam o preço por

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(terceiro produto notável com $a = 1$ , $b = \frac{t}{100}$ ).

2. Para $0 < t \leq 100$ , $\frac{t^2}{10000} > 0$ , então o fator é menor que $1$ : o preço final fica abaixo do original. Para $t = 10$ : fator $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , ou seja, uma queda total de $1\%$ .

67.5 Problema: os dois termômetros

Problema 67.1

Problema de fim de semana — Celsius, Fahrenheit e as funções afins do dia a dia: uma temperatura marca o mesmo número nas duas escalas, e o coeficiente angular constante é a assinatura da retidão

Em algumas partes do mundo, ouve-se “ $68$ graus” e se veste roupa leve; em outras, ouve-se o mesmo e se pega um casaco. Os dois termômetros do planeta estão ligados por uma função afim — e construí-la a partir de dois fatos é exatamente a habilidade do Método 67.7. Este problema constrói a conversão, encontra a temperatura misteriosa em que as duas escalas concordam, depois lê táxis, grilos e velas com os mesmos óculos e termina com o teste que reconhece a própria retidão.

Parte I — Construir a conversão. Dois fatos fixam a escala Fahrenheit: a água congela a $32\,^\circ$ F e ferve a $212\,^\circ$ F (a $0\,^\circ$ C e $100\,^\circ$ C).

Ache a função afim $F = f(C)$ que converte Celsius em Fahrenheit (Método 67.7 com os valores $f(0) = 32$ e $f(100) = 212$ ).
Converta para Fahrenheit: um dia ameno de $20\,^\circ$ C; os $37\,^\circ$ C do corpo; um gélido $-10\,^\circ$ C.
Isole $C$ para construir a conversão de volta e use-a em $50\,^\circ$ F e em $98.6\,^\circ$ F.
$f$ é uma função linear (Definição 67.1)? Teste os sinais reveladores: quanto vale $f(0)$ , e dobrar a leitura em Celsius dobra a em Fahrenheit? Conclua com a palavra certa (Definição 67.4).
A adivinhação clássica: existe uma temperatura que marca o mesmo número nas duas escalas? Resolva $f(x) = x$ e descreva o que a sua solução significa no gráfico de $f$ (que reta o gráfico cruza ali?).

Parte II — Funções afins soltas na natureza.

O táxi A cobra $3$ euros mais $1.50$ por km; o táxi B cobra $2$ euros por km, sem taxa fixa. Escreva as duas funções de preço e compare-as para uma corrida de $4$ km e uma de $8$ km.
Ache a distância de equilíbrio em que os dois táxis custam o mesmo e descreva a situação num gráfico (duas retas — o que acontece no ponto de cruzamento, antes dele e depois dele?).
Regra prática dos naturalistas: um grilo cricrila cerca de $N = 7T - 30$ vezes por minuto à temperatura $T\,^\circ$ C. Quantos cricrilos numa noite de $20\,^\circ$ C? Você conta $82$ cricrilos num minuto: que temperatura o grilo anuncia?
Um celular comprado por $600$ euros perde $15$ euros de valor por mês: escreva a função de valor $v(t)$ , ache quando o celular vale $240$ euros e quando o modelo diz que ele não vale mais nada. A fórmula ainda significa alguma coisa depois dessa data?
As variações percentuais são funções lineares: $+25\,\%$ é multiplicar por $1.25$ , e $-20\,\%$ , por $0.8$ (Proposição 67.9). Componha as duas: o que um aumento de $+25\,\%$ seguido de um corte de $-20\,\%$ faz com um preço? Explique o milagrezinho e compare com o Exercício 67.10.

Parte III — O coeficiente angular é tudo.

Uma vela mede $20$ cm quando acesa e $17$ cm meia hora depois. Supondo derretimento afim, ache $h(t)$ (altura em cm, $t$ em minutos) e preveja quando a vela se apaga.
Dois ciclistas percorrem a mesma estrada: a distância do primeiro é $d_1(t) = 24t$ (km depois de $t$ horas), a do segundo é $d_2(t) = 10 + 18t$ . Quem partiu com vantagem, quem pedala mais rápido e em que instante e em que quilômetro o primeiro alcança o segundo?
Sejam $f(x) = 2x + 3$ e $g(x) = -0.5x + 7$ . Calcule $f(x) + g(x)$ e verifique que ela é afim de novo. Em geral, quais são o coeficiente angular e o coeficiente linear de uma soma?
Discuta completamente a equação $mx + p = 0$ : quantas soluções quando $m \neq 0$ (e qual)? Quando $m = 0$ e $p \neq 0$ ? Quando $m = 0$ e $p = 0$ ? (Cada caso tem uma história gráfica: onde uma reta de coeficiente angular $m$ cruza o eixo horizontal?)
O teste do alinhamento: os pontos $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ estão sobre uma mesma reta? E $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? Calcule as taxas de variação entre os pares e decida. Enuncie a moral: uma taxa de variação constante é a assinatura das funções afins — os gráficos curvos mudam de taxa, e medir isso é assunto do volume do ensino médio.

Solução

Solução de Problema 67.1.

1. Coeficiente angular: $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$ ; coeficiente linear $f(0) = 32$ . Logo,

f(C) = 1.8\,C + 32 .

2. $f(20) = 68\,^\circ$ F (o famoso dia ameno); $f(37) = 98.6\,^\circ$ F; $f(-10) = 14\,^\circ$ F.

3. De $F = 1.8C + 32$ : $C = \frac{F - 32}{1.8}$ . Então $50\,^\circ$ F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$ C, e $98.6\,^\circ$ F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$ C.

4. $f(0) = 32 \neq 0$ , e $f(20) = 68$ não é o dobro de $f(10) = 50$ : não é linear. O gráfico é uma reta que não passa pela origem: $f$ é afim, e não linear.

5. $1.8x + 32 = x$ dá $0.8x = -32$ , então $x = -40$ : a quarenta abaixo de zero, os dois termômetros marcam $-40$ . No gráfico, a reta de $f$ cruza a reta diagonal $y = x$ exatamente ali.

6. $p_A(k) = 1.5k + 3$ e $p_B(k) = 2k$ . Para $4$ km: $9$ euros contra $8$ : B mais barato. Para $8$ km: $15$ contra $16$ : A mais barato.

7. $1.5k + 3 = 2k$ dá $k = 6$ : em seis quilômetros, os dois custam $12$ euros. Graficamente, a reta de B (pela origem, mais inclinada) começa abaixo da de A e a cruza em $(6, 12)$ : B ganha nas corridas curtas, A ganha nas longas.

8. $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ cricrilos por minuto. De $82 = 7T - 30$ : $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$ C.

9. $v(t) = 600 - 15t$ . Valendo $240$ : $600 - 15t = 240$ , $t = 24$ meses. Valendo $0$ : $t = 40$ meses. Depois de $40$ meses, a fórmula fica negativa — mas o valor de um celular para em zero: todo modelo afim tem um domínio em que faz sentido.

10. Compondo: $\times 1.25$ e depois $\times 0.8$ multiplica por $1.25 \times 0.8 = 1$ : o preço volta exatamente ao ponto de partida. Nada de milagre: as porcentagens agem sobre referências diferentes (o corte se aplica ao preço já aumentado) e, aqui, os multiplicadores por acaso se cancelam — a história geral, com a perda embutida $1 - \frac{t^2}{10\,000}$ , é o Exercício 67.10.

11. Coeficiente angular: $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm por minuto; $h(t) = 20 - 0.1t$ . Ela se apaga em $h(t) = 0$ : $t = 200$ minutos — três horas e vinte minutos de luz.

12. O segundo partiu $10$ km à frente (coeficiente linear); o primeiro é mais rápido ( $24 > 18$ km/h). Alcance: $24t = 10 + 18t$ dá $6t = 10$ , $t = \frac53$ h $= 1$ h $40$ min, no quilômetro $24 \times \frac53 = 40$ .

13. $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$ : afim, com coeficiente angular igual à soma dos coeficientes angulares e coeficiente linear igual à soma dos coeficientes lineares — fica claro ao juntar os termos semelhantes em $(mx + p) + (m'x + p')$ .

14. Se $m \neq 0$ : exatamente uma solução, $x = -\frac pm$ — uma reta não horizontal cruza o eixo uma vez. Se $m = 0$ e $p \neq 0$ : nenhuma solução — uma reta horizontal acima ou abaixo do eixo nunca o toca. Se $m = 0$ e $p = 0$ : todo $x$ é solução — a reta é o eixo.

15. Primeiro trio: taxas $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ e $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$ : iguais, os pontos estão alinhados (sobre $y = 2x + 3$ ). Segundo trio: $\frac{9-5}{2} = 2$ , mas $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$ : não estão alinhados. As funções afins são exatamente aquelas de taxa de variação constante — um único número, o coeficiente angular, conta a história inteira; nas curvas, a própria taxa muda de ponto para ponto, e persegui-la leva à derivada, no volume do ensino médio.