Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

32Divisão e múltiplos

A divisão armada aprendida no Capítulo 23 ganha dois aperfeiçoamentos: divisores de dois algarismos e quocientes que continuam depois do ponto — $3 \div 4$ finalmente ganha uma resposta, $0.75$ . O capítulo termina com os múltiplos, os divisores e os primeiros critérios de divisibilidade.

32.1 Dividir por um número de dois algarismos

Método 32.1 (Divisores de dois algarismos)

O mesmo método de antes, com uma habilidade a mais: adivinhar quantas vezes o divisor cabe. Escreva antes uma pequena tabela de múltiplos do divisor. Para $986 \div 23$ (múltiplos de 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

$98$ dezenas: $23 \times 4 = 92$ cabe, $23 \times 5 = 115$ não: algarismo $4$ , resto $6$ ;
baixe o $6$ : $66$ : $23 \times 2 = 46$ cabe: algarismo $2$ , resto $20$ ;
quociente $42$ , resto $20$ . Conferência: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

32.2 Quocientes decimais

Exemplo 32.2 (A divisão que se recusa a parar no resto)

Repartir $3$ pizzas entre $4$ crianças: $3 \div 4$ tem quociente $0$ e resto $3$ — não serve de nada! Continue a divisão depois do ponto:

$3$ unidades $= 30$ décimos; $30 \div 4$ : $7$ décimos, resto $2$ décimos;
$2$ décimos $= 20$ centésimos; $20 \div 4 = 5$ centésimos, resto $0$ .

Logo $3 \div 4 = 0.75$ : cada criança fica com $0.75$ pizza — três quartos, como a linguagem das frações já sabia (Proposição 31.3).

Método 32.3 (Continuar uma divisão depois do ponto)

Quando as unidades acabam e ainda há resto:

escreva o ponto decimal no quociente;
acrescente um zero ao resto (as unidades viram décimos, os décimos viram centésimos …) e continue dividindo;
pare quando o resto for $0$ — ou quando os algarismos começarem a se repetir para sempre, como em $1 \div 3 = 0.333\dots$ : aí dê um valor arredondado.

Exemplo 32.4

$27 \div 6$ : quociente $4$ , resto $3$ ; ponto; $30$ décimos $\div\ 6 = 5$ : logo $27 \div 6 = 4.5$ . $22 \div 8$ : $2$ , resto $6$ ; depois $60 \div 8 = 7$ e resto $4$ ; depois $40 \div 8 = 5$ : logo $22 \div 8 = 2.75$ .

32.3 Múltiplos e divisores

Definição 32.5 (Múltiplo, divisor)

Os múltiplos de $6$ são a tabuada dele continuada para sempre: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Quando $24$ é múltiplo de $6$ , também se diz que $6$ é divisor de $24$ , ou que $24$ é divisível por $6$ : a divisão $24 \div 6$ não deixa resto.

Proposição 32.6 (Critérios de divisibilidade)

Sem dividir, um número é divisível:

por $2$ quando o último algarismo é $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ (os números pares);
por $5$ quando o último algarismo é $0$ ou $5$ ;
por $10$ quando o último algarismo é $0$ ;
por $3$ quando a soma dos algarismos é divisível por $3$ (por exemplo $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , divisível — e de fato $741 = 3 \times 247$ ).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Os números de 1 a 30: os múltiplos de 2 e de 3 formam padrões — e os números que carregam as duas marcas (6, 12, 18, 24, 30) são exatamente os múltiplos de 6. — Os números de $1$ a $30$ : os múltiplos de $2$ e de $3$ formam padrões — e os números que carregam as duas marcas ( $6$ , $12$ , $18$ , $24$ , $30$ ) são exatamente os múltiplos de $6$ .

Exemplo 32.7

$534$ é divisível por $2$ ? Termina em $4$ : sim. Por $5$ ? Não. Por $3$ ? $5 + 3 + 4 = 12$ : sim. Então $534$ também é divisível por $6$ (por $2$ e por $3$ ) — confira: $534 = 6 \times 89$ .

32.4 Exercícios

Exercício 32.1 ★

Faça as divisões armadas (tabela de múltiplos primeiro): $851 \div 23$ ; $704 \div 32$ .

Solução

Solução de Exercício 32.1.

$851 \div 23$ : múltiplos de $23$ : $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207$ . Então $85 \div 23$ : $3$ vezes ( $69$ ), resto $16$ ; baixe o $1$ : $161 \div 23 = 7$ exatamente. Quociente $37$ , resto $0$ ( $23 \times 37 = 851$ ).

$704 \div 32$ : $70 \div 32$ : $2$ vezes ( $64$ ), resto $6$ ; baixe o $4$ : $64 \div 32 = 2$ . Quociente $22$ , resto $0$ .

Exercício 32.2 ★

Calcule os quocientes decimais exatos: $9 \div 2$ ; $27 \div 4$ ; $33 \div 5$ ; $21 \div 8$ .

Solução

Solução de Exercício 32.2.

$9 \div 2 = 4.5$ ; $27 \div 4 = 6.75$ ; $33 \div 5 = 6.6$ ; $21 \div 8 = 2.625$ .

Exercício 32.3 ★

Quatro amigos dividem igualmente uma conta de restaurante de $54$ . Quanto cada um paga? (Continue depois do ponto.)

Solução

Solução de Exercício 32.3.

$54 \div 4 = 13.5$ : cada um paga $13.50$ .

Exercício 32.4 ★

Calcule $10 \div 3$ , continuando três algarismos depois do ponto. O que você observa? Dê o valor arredondado ao centésimo.

Solução

Solução de Exercício 32.4.

$10 \div 3 = 3.333\dots$ : o algarismo $3$ se repete para sempre — a divisão nunca acaba. Arredondado ao centésimo: $3.33$ .

Exercício 32.5 ★

Liste: os múltiplos de $7$ até $70$ ; os divisores de $18$ ; os divisores de $24$ .

Solução

Solução de Exercício 32.5.

Múltiplos de $7$ até $70$ : $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$ . Divisores de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Divisores de $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ .

Exercício 32.6 ★

Divisível por $2$ ? por $5$ ? por $10$ ? por $3$ ? Teste cada critério em: $470$ ; $735$ ; $8\,001$ ; $1\,314$ .

Solução

Solução de Exercício 32.6.

$470$ : por $2$ (termina em $0$ ), por $5$ e por $10$ ; soma dos algarismos $11$ : não por $3$ .

$735$ : termina em $5$ : por $5$ , nem por $2$ nem por $10$ ; soma dos algarismos $15$ : por $3$ .

$8\,001$ : ímpar; soma dos algarismos $9$ : só por $3$ .

$1\,314$ : par; soma dos algarismos $9$ : por $2$ e por $3$ (logo por $6$ ), não por $5$ .

Exercício 32.7 ★

Encontre todos os números entre $60$ e $80$ que são divisíveis por $3$ e por $5$ . (Que divisibilidade única isso combina?)

Solução

Solução de Exercício 32.7.

Divisível por $3$ e por $5$ significa divisível por $15$ : entre $60$ e $80$ , os números $60$ e $75$ .

Exercício 32.8 ★

Uma fita de $7.2$ m é cortada em $6$ pedaços iguais. Qual o comprimento de cada pedaço? (Divida um decimal por um inteiro: reparta os metros e depois os décimos.)

Solução

Solução de Exercício 32.8.

$7.2 \div 6 = 1.2$ : cada pedaço mede $1.2$ m (confere: $1.2 \times 6 = 7.2$ ).

Exercício 32.9 ★

$1\,000$ bolinhas são embaladas em saquinhos de $24$ . Quantos saquinhos cheios, e quantas bolinhas sobram? (Divisor de dois algarismos.)

Solução

Solução de Exercício 32.9.

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$ : quarenta e um saquinhos cheios e sobram $16$ bolinhas.

Exercício 32.10 ★★

$5$ amigos conseguem repartir $7$ barras de chocolate igualmente, sem sobra? Dê a parte de cada um como decimal. A mesma pergunta para $7$ amigos repartindo $5$ barras — o que muda?

Solução

Solução de Exercício 32.10.

$7 \div 5 = 1.4$ : cada um dos $5$ amigos fica com $1.4$ barra — possível cortando as barras em décimos. Para $5 \div 7$ : a divisão dá $0.714285\dots$ , que nunca acaba — não existe partilha decimal exata; só a fração $\frac57$ a nomeia com exatidão.

Exercício 32.11 ★★

Usando o critério da soma dos algarismos, encontre o menor algarismo $d$ que torna $52d$ (um número de três algarismos terminado em $d$ ) divisível por $3$ . Depois encontre todos esses algarismos $d$ .

Solução

Solução de Exercício 32.11.

Soma dos algarismos: $5 + 2 + d = 7 + d$ . É divisível por $3$ quando $7 + d$ vale $9$ , $12$ ou $15$ : $d = 2$ , $5$ ou $8$ . O menor é $d = 2$ (dando $522 = 3 \times 174$ ).