Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

45Prioridades das operações

Quanto é $3 + 4 \times 5$ ? Se você calcular da esquerda para a direita, dá $35$ ; se multiplicar primeiro, dá $23$ . A matemática precisa de uma resposta única, então existem regras de trânsito para os cálculos — as prioridades. Este capítulo as enuncia e apresenta uma primeira identidade algébrica, a distributividade.

45.1 As regras de prioridade

Teorema 45.1 (Regras de prioridade)

Num cálculo sem parênteses:

as multiplicações e as divisões são feitas antes das adições e das subtrações;
as operações do mesmo nível são feitas da esquerda para a direita.

Os parênteses passam na frente de tudo: o que está dentro deles é calculado primeiro, começando pelos mais internos.

Exemplo 45.2

Uma etapa por linha, sublinhando (mentalmente) o que está sendo calculado:

\begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(a multiplicação primeiro)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(mesmo nível: da esquerda para a direita)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(mesmo nível: da esquerda para a direita)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(os parênteses primeiro).} \end{align*}

Repare nas armadilhas: $20 - 8 + 2$ não é $20 - 10$ , e $18 \div 3 \times 2$ não é $18 \div 6$ .

Exemplo 45.3 (Parênteses encaixados)

\begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(parêntese mais interno)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(parêntese restante)}\\ &= 50 - 18 && \text{(multiplicação)}\\ &= 32 . \end{align*}

Observação 45.4 (A barra de fração esconde parênteses)

A barra de fração agrupa o numerador e o denominador dela, como se cada um tivesse parênteses invisíveis:

\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{e não}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .

Método 45.5 (Calcular com segurança)

Identifique a operação a fazer primeiro (parênteses mais internos, depois $\times$ e $\div$ , depois $+$ e $-$ );
calcule só ela e reescreva a expressão inteira com o resultado no lugar;
repita até sobrar um único número — uma operação por linha, sem atalhos.

45.2 Distributividade

Teorema 45.6 (Distributividade)

Para quaisquer números $k$ , $a$ , $b$ :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b .

Demonstração por um desenho. Conte a área de um retângulo de largura $k$ dividido em dois retângulos menores de comprimentos $a$ e $b$ : inteiro, ele é $k \times (a+b)$ ; em duas partes, ele é $k \times a + k \times b$ . O mesmo retângulo, a mesma área. ∎

A distributividade em áreas: o retângulo grande k × (a + b) é a soma dos dois menores. — A distributividade em áreas: o retângulo grande $k \times (a + b)$ é a soma dos dois menores.

Exemplo 45.7 (Nos dois sentidos)

Desenvolver (da esquerda para a direita) facilita o cálculo mental:

7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .

Fatorar (da direita para a esquerda) recolhe um fator comum:

23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .

Exemplo 45.8 (Traduzir palavras em cálculo)

“A soma de $8$ com o produto de $5$ por $3$ ” é $8 + 5 \times 3 = 23$ . “O produto de $5$ pela soma de $8$ com $3$ ” é $5 \times (8 + 3) = 55$ : as palavras “o produto de … pela soma de…” põem parênteses em torno da soma.

45.3 Exercícios

Exercício 45.1 ★

Calcule, uma operação por linha:

5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 .

Solução

Solução de Exercício 45.1.

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$ .

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$ .

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$ .

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$ .

Exercício 45.2 ★

Calcule:

24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2).

Solução

Solução de Exercício 45.2.

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (da esquerda para a direita).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (da esquerda para a direita).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (a multiplicação primeiro).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$ .

Exercício 45.3 ★

Calcule passo a passo:

7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).

Solução

Solução de Exercício 45.3.

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$ .

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ .

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$ .

Exercício 45.4 ★

Calcule as frações (parênteses invisíveis!):

\frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} .

Solução

Solução de Exercício 45.4.

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$ .

Exercício 45.5 ★

Use a distributividade para calcular de cabeça:

8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 .

Solução

Solução de Exercício 45.5.

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$ .

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$ .

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$ .

Exercício 45.6 ★

Escreva o cálculo numa linha só, com parênteses onde for preciso, e depois calcule: “a diferença entre $50$ e o produto de $6$ por $7$ ”; “o produto da soma de $4$ com $5$ pela diferença entre $10$ e $8$ ”.

Solução

Solução de Exercício 45.6.

“A diferença entre $50$ e o produto de $6$ por $7$ ”: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (sem parênteses, a prioridade faz o trabalho).

“O produto da soma de $4$ com $5$ pela diferença entre $10$ e $8$ ”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$ .

Exercício 45.7 ★

Amir comprou $3$ cadernos a $2.50$ cada um e $2$ canetas a $1.20$ cada uma. Escreva o total dele numa única expressão e depois calcule.

Solução

Solução de Exercício 45.7.

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ reais.

Exercício 45.8 ★★

Coloque parênteses em $4 + 2 \times 5 - 1$ para que o resultado seja: (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$ . (Um dos três não precisa de parêntese nenhum — qual?)

Solução

Solução de Exercício 45.8.

(a) sem parênteses: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$ .

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$ .

Exercício 45.9 ★★

$12 + 4 \times k$ e $16 \times k$ são a mesma coisa para todo número $k$ ? Teste com $k = 1$ e $k = 2$ , e conclua. Que erro de prioridade levaria de um ao outro?

Solução

Solução de Exercício 45.9.

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ e $16 \times 1 = 16$ — coincidem (é por isso que $k = 1$ é um teste ruim!). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ , mas $16 \times 2 = 32$ : diferentes. Logo as duas expressões não são iguais em geral. O erro $12 + 4 \times k = 16 \times k$ vem de somar $12 + 4$ primeiro, ignorando a prioridade do $\times$ .

Exercício 45.10 ★★

Um ingresso de cinema custa $9$ reais, mas um grupo de $n$ pessoas paga $12$ reais fixos mais $6$ reais por pessoa.

Escreva uma expressão para o preço do grupo e calcule-a para $n = 5$ .
A partir de quantas pessoas a tarifa de grupo fica mais barata que $n$ ingressos individuais? (Teste alguns valores de $n$ .)

Solução

Solução de Exercício 45.10.

1. Preço do grupo: $12 + 6 \times n$ . Para $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ reais.

2. Preço individual: $9n$ . Comparando: $n = 3$ : $30$ contra $27$ (individual mais barato); $n = 4$ : $36$ contra $36$ (igual); $n = 5$ : $42$ contra $45$ (grupo mais barato). A partir de $5$ pessoas, a tarifa de grupo ganha (cada pessoa a mais custa $6$ em vez de $9$ , então a diferença só aumenta).

Exercício 45.11 ★★★

Usando cada um dos algarismos $1$ , $2$ , $3$ , $4$ exatamente uma vez, as quatro operações e parênteses à vontade, escreva expressões iguais a $24$ , a $10$ e a $1$ .

Solução

Solução de Exercício 45.11.

Respostas possíveis (há muitas):

24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1).

45.4 Problema: multiplicar como um escriba egípcio

Problema 45.1

Problema de fim de semana — truques de cálculo mental vindos da distributividade, e a multiplicação por dobros e metades usada há quatro mil anos

Muito antes das calculadoras — e antes de as tabuadas serem decoradas na escola —, escribas egípcios e camponeses russos multiplicavam dois números quaisquer usando apenas dobrar, dividir ao meio e somar. O método deles parece mágica; na verdade é a distributividade (Teorema 45.6) trabalhando a todo vapor. Este problema afia o seu cálculo mental, depois ensina o método antigo e, por fim, abre o capô para mostrar exatamente por que ele funciona.

Parte I — A arte de não calcular.

Calcule de cabeça, desenvolvendo como no Exemplo 45.7: $7 \times 102$ e $9 \times 98$ .
Calcule de cabeça, fatorando: $17 \times 13 + 17 \times 7$ e $45 \times 101 - 45$ .
O truque do “vezes $5$ ”: para multiplicar por $5$ , multiplique por $10$ e divida ao meio. Calcule $5 \times 87$ assim e explique por que o truque é legítimo.
Mais dois truques para justificar e usar: multiplicar por $25$ multiplicando por $100$ e dividindo por $4$ (calcule $25 \times 32$ ); multiplicar por $99$ multiplicando por $100$ e subtraindo uma vez (calcule $99 \times 47$ ).
Um tiro de alerta: a distributividade espalha um fator sobre uma soma, nunca sobre um produto. Compare $8 \times (5 + 3)$ com $8 \times 5 + 8 \times 3$ e depois $8 \times (5 \times 3)$ com $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : qual par bate, e qual não bate?

Parte II — O método de dobrar e dividir ao meio. Eis a receita para $13 \times 24$ . Escreva duas colunas. Coluna da esquerda: comece em $13$ e vá dividindo ao meio, jogando fora qualquer resto, até chegar a $1$ : $13,\ 6,\ 3,\ 1$ . Coluna da direita: comece em $24$ e vá dobrando a mesma quantidade de vezes: $24,\ 48,\ 96,\ 192$ . Risque toda linha cuja número da esquerda for par e some os números da direita que sobraram.

Execute a receita para $13 \times 24$ : que linha é riscada, que soma resta, e ela é igual a $13 \times 24$ ?
Multiplique $21 \times 17$ pelo método (divida $21$ ao meio, dobre $17$ ) e confira a resposta com a multiplicação comum.
Multiplique $16 \times 25$ pelo método. Quantas linhas sobrevivem, e o que há de especial numa coluna da esquerda que começa em $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
Agora, por que funciona, um passo de cada vez. Justifique cada igualdade com a distributividade:

$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$

Moral: dividir a esquerda ao meio e dobrar a direita mantém o produto — mas, quando o número da esquerda é ímpar, uma cópia do número da direita se destaca e tem de ir para o cofre. Que número a primeira linha da tabela põe no cofre?
Continue a escrituração tabela abaixo: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , depois $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , depois $1 \times 192 = 192$ . Junte tudo o que foi para o cofre pelo caminho e explique por que os números guardados são exatamente os números da coluna da direita das linhas de esquerda ímpar — as linhas que a receita mantém.

Parte III — Sob o capô: somas de dobros.

Na questão 6, as linhas sobreviventes valiam $1$ , $4$ e $8$ dobros de $24$ : o método escreveu, sem dizer, $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Confira que $1 + 4 + 8 = 13$ e descubra que dobros ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) o método guardou para o $21$ da questão 7.
Escreva $25$ e $42$ como somas de números da lista de dobros $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , usando cada um no máximo uma vez.
Explique por que todo número inteiro pode ser escrito assim: tome o maior número de dobro que couber, subtraia, repita — por que isso tem de parar? Escreva $100$ como uma soma dessas.
Os escribas do Egito faziam exatamente isso, quatro mil anos atrás: para multiplicar $19 \times 35$ , montavam uma tabela de dobros de $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), escolhiam as linhas que somavam $19$ e somavam. Faça a conta do jeito deles.
Final: os computadores modernos, que contam com $0$ e $1$ , multiplicam essencialmente como os escribas — por dobros e adições. Que três adições um computador faria para $13 \times 24$ ? (Por que todo número se reparte em dobros, e o que os $0$ e os $1$ têm a ver com isso, é o problema de fim de semana do capítulo de potências: Problema 56.1.)

Solução

Solução de Problema 45.1.

1. $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$ ; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$ .

2. $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) = 17 \times 20 = 340$ ; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101 - 1) = 45 \times 100 = 4\,500$ .

3. $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$ . Legitimidade: $5 = 10 \div 2$ , então multiplicar por $5$ é multiplicar por $10$ e depois dividir por $2$ (a ordem de $\times$ e $\div$ , no mesmo nível e da esquerda para a direita, faz o resto).

4. $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$ , porque $25 = 100 \div 4$ . E $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$ : distributividade sobre a diferença (Teorema 45.6).

5. $8 \times (5 + 3) = 64$ e $8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64$ : batem — é a distributividade. Mas $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$ , enquanto $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$ : não batem. O fator se espalha pelos termos de uma soma, e não pelos fatores de um produto.

$13$	$24$	mantida ( $13$ ímpar)
$6$	$48$	riscada ( $6$ par)
$3$	$96$	mantida
$1$	$192$	mantida

Soma dos números da direita que sobraram: $24 + 96 + 192 = 312$ , e de fato $13 \times 24 = 312$ .

7. Dividindo $21$ ao meio: $21, 10, 5, 2, 1$ ; dobrando $17$ : $17, 34, 68, 136, 272$ . As esquerdas pares $10$ e $2$ são riscadas; os sobreviventes dão $17 + 68 + 272 = 357$ . Confere: $21 \times 17 = 357$ .

8. Dividindo $16$ ao meio: $16, 8, 4, 2, 1$ ; dobrando $25$ : $25, 50, 100, 200, 400$ . Todos os números da esquerda, exceto o $1$ final, são pares: sobrevive uma única linha, e a resposta é $400$ . Uma coluna da esquerda feita só de dobros mantém apenas a última linha — o método se reduz a dobrar.

9. $13 = 12 + 1$ , então, pela distributividade, $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$ ; e $12 \times 24 = 6 \times 48$ , pois dividir um fator ao meio dobrando o outro deixa o produto inalterado ( $12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$ ). O número ímpar $13$ destacou uma cópia do número da direita: a primeira linha põe $24$ no cofre.

10. $6 \times 48 = 3 \times 96$ (metade e dobro, sem nada para o cofre: $6$ é par). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 = 1 \times 192 + 96$ : o ímpar $3$ guarda $96$ . Por fim, $1 \times 192 = 192$ : o ímpar $1$ guarda $192$ e a tabela acaba. Total guardado: $24 + 96 + 192 = 312$ . Uma linha guarda o número da direita exatamente quando o número da esquerda é ímpar — então a receita “mantenha as linhas de esquerda ímpar e some” é precisamente a escrituração da distributividade.

11. $1 + 4 + 8 = 13$ . Para o $21$ , as linhas sobreviventes foram as de $17$ , $68 = 4 \times 17$ e $272 = 16 \times 17$ : os dobros $1 + 4 + 16 = 21$ .

12. $25 = 16 + 8 + 1$ e $42 = 32 + 8 + 2$ .

13. Tome o maior número de dobro que não ultrapasse o alvo e subtraia-o; o que sobra é menor e é menor também que o número de dobro recém-usado (senão um maior teria cabido). Repetindo, o resto encolhe estritamente e tem de chegar a $0$ : o processo para, e os dobros usados são todos diferentes. Para $100$ : $64$ cabe (sobram $36$ ), $32$ cabe (sobram $4$ ), $4$ cabe (sobra $0$ ): $100 = 64 + 32 + 4$ .

14. Tabela de dobros de $35$ : $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ . Como $19 = 16 + 2 + 1$ , escolhemos essas linhas: $560 + 70 + 35 = 665$ . Confere: $19 \times 35 = 665$ .

15. As mesmas três do escriba e do camponês: $24 + 96 + 192$ — os dobros de $24$ selecionados por $13 = 1 + 4 + 8$ . Escrever números como somas de dobros é exatamente escrevê-los com $0$ e $1$ ; a história completa está no Problema 56.1.