Mathematics · Livro 1 · Grades 1–9

Matemática do ensino fundamental

Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

31Frações como números

Uma fração não é só o desenho de uma torta: é um número de verdade, com um lugar na reta numérica — às vezes exatamente o mesmo lugar de um número decimal. Este capítulo liga os dois mundos. (As regras completas da aritmética das frações vêm no Capítulo 39 e mais adiante.)

31.1 Frações na reta, de novo

Exemplo 31.1 (Marcar e ler)

Numa reta cortada em quintos, 75\frac{7}{5} fica a 77 passos do 00: depois do 11 (que é 55\frac55), em 1+251 + \frac25. Toda fração mora em algum lugar da reta; numerador maior (com o mesmo denominador) significa mais à direita.

Proposição 31.2 (O mesmo ponto, vários nomes)

Cortar cada parte em duas (ou em três …) não move o ponto:

12=24=36=510,23=46=2030.\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}, \qquad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.

Multiplicar (ou dividir) o numerador e o denominador pelo mesmo número dá outro nome da mesma fração.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Três barras, três nomes, uma só quantidade: 1/2 = 2/4 = 5/10.
Três barras, três nomes, uma só quantidade: 12=24=510\frac12 = \frac24 = \frac{5}{10}.

31.2 Frações e decimais

Proposição 31.3 (Frações com nome decimal)

As frações de décimos, centésimos e milésimos são números decimais:

310=0.3,27100=0.27.\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .

Algumas outras frações também têm nome decimal, encontrado passando para décimos ou centésimos:

12=510=0.5,14=25100=0.25,34=0.75,15=210=0.2.\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad \frac{3}{4} = 0.75, \qquad \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .

Mas não todas: 13=0.333…\frac13 = 0.333\dots nunca termina — a fração é o único nome exato dele.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Uma reta, duas línguas: cada ponto pode carregar um nome de fração e um nome decimal.
Uma reta, duas línguas: cada ponto pode carregar um nome de fração e um nome decimal.

Exemplo 31.4 (Escolher o nome mais prático)

Para pagar três quartos de 1212, o nome de fração é mais prático: 34\frac34 de 1212 é 99. Para comparar 34\frac34 e 0.80.8, o nome decimal é mais prático: 0.75<0.80.75 < 0.8. Ser bilíngue compensa.

31.3 Comparar frações

Método 31.5 (Três ferramentas de comparação)

  1. Mesmo denominador: ganha quem tem mais partes, 57>37\frac57 > \frac37;
  2. mesmo numerador: ganham as partes maiores, ou seja, ganha o denominador menor: 35>38\frac35 > \frac38 (os quintos são maiores que os oitavos);
  3. pontos de referência: compare cada uma com 12\frac12 ou com 11: 38<12<59\frac38 < \frac12 < \frac59, logo 38<59\frac38 < \frac59.

Exemplo 31.6

Quem comeu mais pizza: Ali com 58\frac58 ou Bia com 54\frac54? A fração de Bia é maior que 11 (cinco quartos é mais que uma pizza inteira) e a de Ali é menor que 11: Bia comeu mais — mais que uma pizza inteira, aliás.

31.4 Exercícios

Exercício 31.1 ★

Trace uma reta numérica cortada em quintos de 00 a 22 e marque: 25\frac25; 55\frac55; 85\frac85; 105\frac{10}{5}.

Solução

Solução de Exercício 31.1.

25\frac25: dois passos a partir do 00; 55\frac55: em cima do 11; 85\frac85: três passos depois do 11; 105\frac{10}{5}: em cima do 22.

Exercício 31.2 ★

Complete os nomes equivalentes: 12=?8\frac12 = \frac{?}{8}; 34=?8\frac34 = \frac{?}{8}; 25=4?\frac{2}{5} = \frac{4}{?}; 69=2?\frac{6}{9} = \frac{2}{?}.

Solução

Solução de Exercício 31.2.

12=48\frac12 = \frac48; 34=68\frac34 = \frac68; 25=410\frac25 = \frac{4}{10}; 69=23\frac69 = \frac23.

Exercício 31.3 ★

Que frações nomeiam números inteiros? Dê o número inteiro quando for o caso: 82\frac82; 94\frac{9}{4}; 153\frac{15}{3}; 205\frac{20}{5}.

Solução

Solução de Exercício 31.3.

82=4\frac82 = 4; 94\frac94 não é inteiro (99 não é múltiplo de 44); 153=5\frac{15}{3} = 5; 205=4\frac{20}{5} = 4.

Exercício 31.4 ★

Escreva como decimais: 710\frac{7}{10}; 41100\frac{41}{100}; 12\frac12; 34\frac34; 15\frac15.

Solução

Solução de Exercício 31.4.

0.70.7; 0.410.41; 0.50.5; 0.750.75; 0.20.2.

Exercício 31.5 ★

Escreva como frações (décimos ou centésimos): 0.90.9; 0.130.13; 2.52.5; 0.750.75 (e depois dê o nome em quartos).

Solução

Solução de Exercício 31.5.

0.9=9100.9 = \frac{9}{10}; 0.13=131000.13 = \frac{13}{100}; 2.5=25102.5 = \frac{25}{10}; 0.75=75100=340.75 = \frac{75}{100} = \frac34.

Exercício 31.6 ★

Compare, dizendo qual ferramenta usou (Método 31.5):

47  ?  67,35  ?  37,25  ?  712,98  ?  1112.\frac47 \;?\; \frac67, \qquad \frac35 \;?\; \frac37, \qquad \frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad \frac98 \;?\; \frac{11}{12} .
Solução

Solução de Exercício 31.6.

47<67\frac47 < \frac67 (mesmo denominador). 35>37\frac35 > \frac37 (mesmo numerador: os quintos são maiores). 25<12<712\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}, logo 25<712\frac25 < \frac{7}{12} (referência 12\frac12). 98>1>1112\frac98 > 1 > \frac{11}{12} (referência 11).

Exercício 31.7 ★

Ordene usando os nomes decimais: 12\frac12; 0.40.4; 34\frac34; 0.60.6; 15\frac15.

Solução

Solução de Exercício 31.7.

Decimais: 0.50.5; 0.40.4; 0.750.75; 0.60.6; 0.20.2. Ordem:

15<0.4<12<0.6<34.\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .

Exercício 31.8 ★

Um quarto dos alunos de uma turma de 2828 toca um instrumento, e metade pratica um esporte. Quantos alunos são em cada caso? Qual grupo é maior?

Solução

Solução de Exercício 31.8.

Instrumento: 14\frac14 de 28=728 = 7. Esporte: 12\frac12 de 28=1428 = 14. O grupo do esporte é maior.

Exercício 31.9 ★

Ligue cada fração a um tempo: 14\frac14 h, 12\frac12 h, 34\frac34 h, 160\frac{1}{60} h — a 3030 min, 4545 min, 11 min, 1515 min.

Solução

Solução de Exercício 31.9.

14\frac14 h =15= 15 min; 12\frac12 h =30= 30 min; 34\frac34 h =45= 45 min; 160\frac{1}{60} h =1= 1 min.

Exercício 31.10 ★★

Tomás bebeu 35\frac35 da garrafa dele, de 5050 cL; Ana bebeu 12\frac12 da garrafa dela, de 6060 cL. Quem bebeu mais? (Calcule as duas quantidades em cL — comparar as frações puras não basta aqui, e diga por quê.)

Solução

Solução de Exercício 31.10.

Tomás: 35\frac35 de 50=3050 = 30 cL. Ana: 12\frac12 de 60=3060 = 30 cL. Os dois beberam a mesma quantidade! As frações puras (35>12\frac35 > \frac12) comparam partes de garrafas diferentes — só as quantidades de fato podem ser comparadas.

Exercício 31.11 ★★

Dê uma fração estritamente entre 12\frac12 e 11; depois uma estritamente entre 12\frac12 e 34\frac34. (Os nomes decimais podem ajudar.)

Solução

Solução de Exercício 31.11.

Entre 12\frac12 e 11: por exemplo 34\frac34 (ou seja, 0.750.75). Entre 12=0.5\frac12 = 0.5 e 34=0.75\frac34 = 0.75: por exemplo 0.6=350.6 = \frac35.