Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

54Multiplicando números negativos

O Ano 7 somou e subtraiu números relativos (Capítulo 46); falta multiplicá-los e dividi-los. Uma pergunta domina o capítulo: por que “menos vezes menos” deveria ser mais? Damos uma razão, e não apenas uma regra.

54.1 As regras de sinal

Teorema 54.1 (Sinal de um produto)

O produto de dois números relativos tem distância até o zero igual ao produto das distâncias, e o sinal dele é dado por:

$\times$	$+$	$-$
$+$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$

Sinais iguais: produto positivo. Sinais opostos: produto negativo. A mesma tabela vale para os quocientes.

Por que $(-1) \times (-1) = +1$ . Primeiro, $3 \times (-4)$ quer dizer $(-4) + (-4) + (-4) = -12$ : um positivo vezes um negativo é negativo. Agora observe o padrão:

3 \times (-4) = -12, \quad 2 \times (-4) = -8, \quad 1 \times (-4) = -4, \quad 0 \times (-4) = 0 .

A cada passo, o primeiro fator cai $1$ e o resultado sobe $4$ . Continuando o padrão mais um passo:

(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .

Qualquer outra escolha quebraria a regularidade da aritmética (a distributividade). Logo menos vezes menos tem de ser mais. ∎

O argumento do padrão numa imagem: os pontos (k,\ k × (-4)) se alinham, e continuar a reta além de k = 0 obriga (-1)×(-4) = +4 e (-2)×(-4) = +8. — O argumento do padrão numa imagem: os pontos $(k,\ k \times (-4))$ se alinham, e continuar a reta além de $k = 0$ obriga $(-1)\times(-4) = +4$ e $(-2)\times(-4) = +8$ .

Exemplo 54.2

\begin{align*} (-7) \times (+6) &= -42 && \text{(sinais opostos)} \\ (-5) \times (-8) &= +40 && \text{(sinais iguais)} \\ (+2.5) \times (-4) &= -10 \\ (-36) \div (-9) &= +4 \\ (+15) \div (-2) &= -7.5 . \end{align*}

54.2 Produtos de vários fatores

Proposição 54.3 (Sinal de um produto longo)

O sinal de um produto de vários fatores não nulos depende apenas da quantidade de fatores negativos:

uma quantidade par de fatores negativos dá produto positivo;
uma quantidade ímpar dá produto negativo.

Demonstração. Os fatores negativos se emparelham, e cada par contribui com sinal positivo (Teorema 54.1); uma quantidade ímpar deixa um fator negativo sem par, o que torna o produto inteiro negativo. ∎

Exemplo 54.4

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$ : três fatores negativos (ímpar), então o produto é negativo; distâncias: $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$ . Resultado: $-30$ . Decida o sinal primeiro e depois multiplique as distâncias — duas tarefas fáceis em vez de uma cheia de armadilhas.

Exemplo 54.5 (Potências de negativos)

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$ , e $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$ : expoentes pares dão valores positivos, e expoentes ímpares mantêm o sinal. Cuidado com a notação: $(-3)^2 = 9$ , mas $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ .

54.3 Calcular com as quatro operações

Método 54.6 (Cálculo seguro com números relativos)

Respeite as prioridades do Capítulo 45: parênteses, depois $\times$ e $\div$ , depois $+$ e $-$ ;
em cada multiplicação ou divisão, descubra primeiro o sinal e depois a distância;
reescreva uma etapa por linha.

Exemplo 54.7

\begin{align*} 5 - 3 \times (-4) &= 5 - (-12) && \text{(o produto primeiro: sinais opostos)}\\ &= 5 + 12 = 17 . \end{align*}

\begin{align*} \frac{(-6) \times (-10)}{-4} &= \frac{+60}{-4} && \text{(numerador: sinais iguais)}\\ &= -15 && \text{(quociente: sinais opostos).} \end{align*}

Exemplo 54.8 (Substituir valores negativos)

Calcule $E = 3x^2 - 2x$ para $x = -5$ , com parênteses em torno do valor:

E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5) = 3 \times 25 - (-10) = 75 + 10 = 85 .

Os parênteses em $(-5)^2$ são essenciais: sem eles, o quadrado se aplicaria só ao $5$ .

54.4 Exercícios

Exercício 54.1 ★

Calcule:

(-8) \times (+7), \qquad (-9) \times (-6), \qquad (+12) \times (-0.5), \qquad (-1) \times (-1) \times (-1).

Solução

Solução de Exercício 54.1.

$(-8) \times (+7) = -56$ ; $(-9) \times (-6) = +54$ ; $(+12) \times (-0.5) = -6$ ; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (três fatores negativos: ímpar).

Exercício 54.2 ★

Calcule:

(-63) \div (+9), \qquad (-8) \div (-16), \qquad \frac{45}{-5}, \qquad \frac{-7.2}{-8} .

Solução

Solução de Exercício 54.2.

$(-63) \div (+9) = -7$ ; $(-8) \div (-16) = +0.5$ ; $\dfrac{45}{-5} = -9$ ; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$ .

Exercício 54.3 ★

Dê apenas o sinal de cada produto, sem calculá-lo:

(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad (-1)^{10}; \qquad (-2)^{7}; \qquad (-4) \times 0 \times (-6).

Solução

Solução de Exercício 54.3.

Três fatores negativos: negativo. $(-1)^{10}$ : dez fatores negativos, par: positivo (vale $1$ ). $(-2)^7$ : sete fatores, ímpar: negativo. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$ : nem positivo nem negativo.

Exercício 54.4 ★

Calcule:

(-2)^4, \qquad -2^4, \qquad (-3)^3, \qquad (-1)^{2026} .

Solução

Solução de Exercício 54.4.

$(-2)^4 = +16$ ; $-2^4 = -16$ (o menos não é elevado ao quadrado); $(-3)^3 = -27$ ; $(-1)^{2026} = +1$ (expoente par).

Exercício 54.5 ★

Calcule passo a passo, respeitando as prioridades:

7 + 2 \times (-6), \qquad (-4) \times (5 - 9), \qquad 18 \div (-3) - (-2) .

Solução

Solução de Exercício 54.5.

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$ .

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$ .

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$ .

Exercício 54.6 ★

Calcule:

\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad \frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .

Solução

Solução de Exercício 54.6.

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$ .

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$ .

Exercício 54.7 ★

Calcule o valor para $x = -3$ :

5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .

Solução

Solução de Exercício 54.7.

Para $x = -3$ : $5x = -15$ ; $x^2 = (-3)^2 = 9$ ; $-x^2 = -9$ ; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$ ; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$ .

Exercício 54.8 ★★

Complete cada igualdade:

(-6) \times \;?\; = 42, \qquad \;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad (-5) \times \;?\; = -1 .

Solução

Solução de Exercício 54.8.

$(-6) \times (-7) = 42$ ; $10 \div (-4) = -2.5$ ; $(-5) \times \frac15 = -1$ , então o número que falta é $+\frac15 = 0.2$ .

Exercício 54.9 ★★

Verdadeiro ou falso? Justifique ou dê um contraexemplo.

O produto de dois números relativos é sempre pelo menos tão grande quanto a soma deles.
O quadrado de um número relativo nunca é negativo.
Se um produto de três fatores é positivo, os três fatores são positivos.

Solução

Solução de Exercício 54.9.

1. Falso: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ é menor que $0.5 + 0.5 = 1$ (ou: $2 \times 3 = 6 > 5$ , mas a afirmação teria de valer sempre).

2. Verdadeiro: um quadrado é um produto de dois números de mesmo sinal, logo positivo ou nulo.

3. Falso: $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ é positivo com dois fatores negativos.

Exercício 54.10 ★★

Num quiz, cada resposta errada vale $-3$ pontos e cada resposta certa, $+5$ . Zoe respondeu $20$ questões e fez $36$ pontos. Quantas respostas foram certas? (Teste valores ou monte o cálculo $5r - 3(20 - r) = 36$ .)

Solução

Solução de Exercício 54.10.

Seja $r$ o número de respostas certas; então $20 - r$ são erradas, e

5r - 3(20 - r) = 36 \ \Longrightarrow\ 5r - 60 + 3r = 36 \ \Longrightarrow\ 8r = 96 \ \Longrightarrow\ r = 12 .

Doze respostas certas (e oito erradas: confere, $60 - 24 = 36$ ).

Exercício 54.11 ★★★

Usando a distributividade (como na demonstração da Teorema 54.1), desenvolva e justifique cada etapa de

0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),

e conclua que $(-1) \times (-1)$ tem de ser igual a $+1$ .

Solução

Solução de Exercício 54.11.

Zero vezes qualquer coisa é zero, então $(-1) \times 0 = 0$ . Escrevendo $0 = 1 + (-1)$ e distribuindo:

0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = -1 + (-1) \times (-1).

O número $(-1) \times (-1)$ , somado a $-1$ , dá $0$ : ele tem de ser o oposto de $-1$ , isto é, $+1$ . A distributividade não deixa outra escolha.

54.5 Problema: por que menos vezes menos é mais

Problema 54.1

Problema de fim de semana — as regras de sinal deduzidas da distributividade, e a soma alternada $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

A demonstração do Teorema 54.1 continuou um padrão e afirmou que “qualquer outra escolha quebraria a distributividade”. Este problema torna a afirmação exata: partindo apenas da distributividade (Teorema 45.6), você vai demonstrar as regras de sinal — sem desenho e sem padrão, do jeito que a álgebra faz — e depois pô-las para trabalhar nas potências de $-1$ e numa soma famosa de sinais alternados. Ao longo de tudo, $a$ e $b$ são números relativos; damos por certas as regras de adição do Capítulo 46, que $1 \times a = a$ e que um produto pode ser calculado em qualquer ordem (então a distributividade vale dos dois lados de um produto).

Parte I — As regras de sinal são teoremas.

Demonstre que $0 \times a = 0$ para todo número relativo $a$ . (Escreva $0 = 0 + 0$ , desenvolva $(0 + 0) \times a$ e pergunte que número, somado a $0 \times a$ , devolve $0 \times a$ .)
Desenvolva $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ para mostrar que $(-1) \times a + a = 0$ e conclua que

$(-1) \times a = -a :$

multiplicar por $-1$ dá o oposto. Compare com o Exercício 54.11, que é o caso $a = -1$ .
Deduza que $(-a) \times b = -(a \times b)$ : um sinal de menos sai de um produto sem alteração.
Deduza que $(-a) \times (-b) = a \times b$ : dois sinais de menos se cancelam.
Todo número relativo é a distância dele até o zero com um sinal na frente: $a = +d$ ou $a = -d$ . Explique como as questões 3 e 4 demonstram os quatro casos da tabela de sinais da Teorema 54.1, distâncias incluídas.

Parte II — Potências de $-1$ .

Calcule $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ , $(-1)^5$ e depois dê, com justificativa pela Proposição 54.3, o valor de $(-1)^n$ para todo número inteiro $n \geq 1$ .
Dê (sem calcular nenhuma distância) o sinal de

$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$

e escreva a distância desse produto como um produto de números inteiros, sem efetuá-lo.
Mostre que $(-a)^2 = a^2$ e que $(-a)^3 = -a^3$ . Para que expoentes o sinal de menos sobrevive?
Use as regras de sinal para mostrar que o quadrado de um número relativo nunca é negativo e deduza que nenhum número relativo $x$ satisfaz $x^2 = -4$ .
Zoe afirma: “ $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ e, de modo mais geral, duas potências consecutivas de $-1$ sempre se cancelam”. Ela tem razão? Justifique.

Parte III — A soma alternada. Com as regras de sinal garantidas, podemos calcular somas que misturam os dois sinais. Para um número inteiro $n \geq 1$ , seja

A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots

a soma dos números inteiros de $1$ a $n$ com sinais alternados: o último termo é $+n$ quando $n$ é ímpar e $-n$ quando $n$ é par. Assim, $A_1 = 1$ e $A_2 = 1 - 2 = -1$ .

Calcule $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ e $A_7$ . O que você conjectura?
Suponha $n$ par. Agrupe os termos dois a dois, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , conte os pares e demonstre que $A_n = -\frac{n}{2}$ .
Suponha $n$ ímpar. Explique por que $A_n = A_{n-1} + n$ e deduza da questão anterior que $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
Calcule $A_{100}$ , $A_{101}$ e $A_{2026}$ .
Alma calculou $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ e se surpreendeu ao encontrar exatamente $101$ . Ela deveria ter se surpreendido? Explique em uma frase e dê o valor de $A_{2027} - A_{2026}$ sem nenhuma conta a mais.

Solução

Solução de Problema 54.1.

1. Como $0 = 0 + 0$ , a distributividade (Teorema 45.6) dá

0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .

Então somar $0 \times a$ a si mesmo não muda nada — e o único número que se pode somar sem mudar nada é $0$ . (Diretamente: subtraia $0 \times a$ dos dois lados.) Logo $0 \times a = 0$ .

2. Desenvolvendo e depois usando $1 + (-1) = 0$ e a questão 1:

a + (-1) \times a = 1 \times a + (-1) \times a = \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a = 0 \times a = 0 .

Então $(-1) \times a$ é o número que, somado a $a$ , dá $0$ : é exatamente o oposto de $a$ , e $(-1) \times a = -a$ . O Exercício 54.11 é o caso particular $a = -1$ : ali, $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$ .

3. Escreva $-a = (-1) \times a$ (questão 2) e reagrupe os fatores:

(-a) \times b = \bigl((-1) \times a\bigr) \times b = (-1) \times (a \times b) = -(a \times b) .

4. Aplique a questão 3 duas vezes (uma em cada fator):

(-a) \times (-b) = -\bigl(a \times (-b)\bigr) = -\bigl(-(a \times b)\bigr) = a \times b ,

já que o oposto do oposto de um número é o próprio número.

5. Escreva $a = +d$ ou $a = -d$ e $b = +e$ ou $b = -e$ , em que $d$ e $e$ são as distâncias até o zero. Os quatro casos:

(+d) \times (+e) = de, \quad (+d) \times (-e) = -de, \quad (-d) \times (+e) = -de, \quad (-d) \times (-e) = +de,

os dois do meio pela questão 3 e o último pela questão 4. Em todos os casos, a distância do resultado é $d \times e$ , o produto das distâncias, e o sinal é o anunciado pela tabela da Teorema 54.1: sinais iguais, positivo; sinais opostos, negativo.

6. $(-1)^2 = +1$ , $(-1)^3 = -1$ , $(-1)^4 = +1$ , $(-1)^5 = -1$ . Em geral, $(-1)^n$ é um produto de $n$ fatores negativos, cada um de distância $1$ : pela Proposição 54.3, ele vale $+1$ quando $n$ é par e $-1$ quando $n$ é ímpar.

7. São dez fatores negativos, uma quantidade par, então o produto é positivo (Proposição 54.3). A distância dele é $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$ .

8. Pela questão 4, $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a = a^2$ . Depois, pela questão 3,

(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a) = -a^3 .

O sinal de menos desaparece nos expoentes pares e sobrevive nos ímpares, de acordo com o Exemplo 54.5.

9. Se $a = 0$ , então $a^2 = 0$ . Caso contrário, $a$ e $a$ têm o mesmo sinal, então $a^2 = a \times a$ é positivo (Teorema 54.1). Um quadrado, portanto, nunca é negativo; como $-4$ é negativo, nenhum número relativo $x$ satisfaz $x^2 = -4$ .

10. Zoe tem razão. Os expoentes $2026$ e $2027$ têm paridades opostas, então $(-1)^{2026} = +1$ e $(-1)^{2027} = -1$ , que somam $0$ . Em geral, de dois expoentes consecutivos, um é par e o outro é ímpar, então as duas potências são $+1$ e $-1$ em alguma ordem: números opostos, cuja soma é sempre $0$ .

11. $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$ , depois $A_4 = A_3 - 4 = -2$ , $A_5 = A_4 + 5 = 3$ , $A_6 = A_5 - 6 = -3$ , $A_7 = A_6 + 7 = 4$ . Conjectura: $A_n = -\frac{n}{2}$ para $n$ par e $A_n = \frac{n+1}{2}$ para $n$ ímpar.

12. Para $n$ par, os termos se emparelham completamente:

A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),

e cada par vale $-1$ . Há $\frac{n}{2}$ pares (dois termos por par, $n$ termos ao todo), então $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$ .

13. Para $n$ ímpar, a soma $A_n$ é a soma $A_{n-1}$ dos primeiros $n - 1$ termos mais o último termo, que é $+n$ porque $n$ é ímpar. Como $n - 1$ é par, a questão 12 dá

A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n = \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .

14. $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$ , $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$ , $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$ .

15. Nenhuma surpresa: passar de $A_{100}$ para $A_{101}$ acrescenta exatamente um termo, a saber, $+101$ , então a diferença tinha de ser $101$ . Pela mesma razão, $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — sem calcular $A_{2027}$ nenhuma vez.