Matemática do ensino fundamental · 1.º ao 9.º ano

66Álgebra e equações

As letras representam números, e calcular com letras demonstra fatos sobre todos os números de uma vez. Este capítulo treina desenvolver e fatorar — inclusive os três produtos notáveis que vão acompanhar você por toda a matemática — e resolve equações do primeiro grau, equações-produto e desigualdades simples, sempre um passo justificado de cada vez.

66.1 Desenvolver

Definição 66.1 (Desenvolvimento)

Desenvolver é transformar um produto numa soma, usando a distributividade:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Exemplo 66.2

Cada termo do primeiro parêntese multiplica cada termo do segundo:

\begin{align*} (x + 3)(2x + 5) &= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\ &= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\ &= 2x^2 + 11x + 15 . \end{align*}

Os sinais viajam junto com os termos:

\begin{align*} (3x - 2)(x - 4) &= 3x^2 - 12x - 2x + 8 = 3x^2 - 14x + 8 . \end{align*}

Teorema 66.3 (Os três produtos notáveis)

Para todos os números $a$ e $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Demonstração. Desenvolva cada lado esquerdo. No primeiro: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . No segundo, troque $b$ por $-b$ no primeiro. No terceiro: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (os termos cruzados se cancelam). ∎

O produto notável (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, visto como áreas: o quadrado grande de lado a+b é feito de dois quadrados e dois retângulos iguais. Esquecer o “2ab” é esquecer os dois retângulos! — O produto notável $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , visto como áreas: o quadrado grande de lado $a+b$ é feito de dois quadrados e dois retângulos iguais. Esquecer o “ $2ab$ ” é esquecer os dois retângulos!

Exemplo 66.4

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad (2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .

Cálculo mental: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$ , e $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$ .

66.2 Fatorar

Método 66.5 (Fatorar)

Para fatorar uma expressão, tente, nesta ordem:

fator comum: $ka + kb = k(a + b)$ , em que o próprio $k$ pode ser um parêntese;
diferença de quadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
quadrado perfeito: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (e, com $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Confira sempre desenvolvendo o resultado.

Exemplo 66.6

Fator comum: $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$ .

Parêntese comum:

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr] = (x+2)(4x+3).

Diferença de quadrados: $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$ , e

(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).

Cada fator ainda tem um fator comum: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$ .

66.3 Equações

Método 66.7 (Equações do primeiro grau)

Para resolver uma equação como $5x - 3 = 2x + 9$ :

junte os termos em $x$ de um lado e os números do outro, somando a mesma quantidade aos dois lados;
reduza cada lado;
divida os dois lados pelo coeficiente de $x$ ;
confira a solução na equação original.

Exemplo 66.8

\begin{align*} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(some $3 - 2x$ aos dois lados)}\\ 3x &= 12 \\ x &= 4 && \text{(divida por 3).} \end{align*}

Conferindo: $5 \times 4 - 3 = 17$ e $2 \times 4 + 9 = 17$ . A solução é $4$ .

Com parênteses, desenvolva primeiro: $3(x - 2) = x + 8$ vira $3x - 6 = x + 8$ , então $2x = 14$ e $x = 7$ .

Teorema 66.9 (Regra do produto nulo)

Um produto é nulo se, e somente se, pelo menos um fator é nulo:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 .

Demonstração. Se um fator é nulo, o produto claramente é. Reciprocamente, se $A B = 0$ com $A \neq 0$ , dividir os dois lados por $A$ dá $B = 0$ . ∎

Exemplo 66.10

Resolva $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : ou $x - 3 = 0$ , ou $2x + 10 = 0$ , então as soluções são $3$ e $-5$ .

Resolva $x^2 - 49 = 0$ : fatore primeiro, $(x-7)(x+7) = 0$ , soluções $7$ e $-7$ .

Resolva $x^2 = 3x$ : nunca divida por $x$ ! Passe tudo para um lado e fatore: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$ , soluções $0$ e $3$ .

66.4 Desigualdades

Proposição 66.11 (Regras das desigualdades)

Uma desigualdade se conserva quando se soma o mesmo número aos dois lados e quando se multiplicam os dois lados pelo mesmo número positivo. Multiplicar os dois lados por um número negativo inverte o sinal da desigualdade.

Demonstração. Se $a \leq b$ , então $b - a \geq 0$ . Somando $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$ , então $a + c \leq b + c$ . Multiplicando por $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$ , então $ac \leq bc$ . Multiplicando por $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$ , então $ac \geq bc$ : a ordem se inverte. ∎

Exemplo 66.12

Resolva $7 - 2x < 15$ :

\begin{align*} 7 - 2x &< 15 \\ -2x &< 8 && \text{(subtraia 7)} \\ x &> -4 && \text{(divida por $-2$: inverta o sinal).} \end{align*}

As soluções são todos os números maiores que $-4$ : numa reta numérica, uma bolinha vazada em $-4$ e o traço para a direita.

As soluções de 7 - 2x < 15: todos os x > -4 (bolinha vazada: o próprio -4 não é solução). — As soluções de $7 - 2x < 15$ : todos os $x > -4$ (bolinha vazada: o próprio $-4$ não é solução).

66.5 Exercícios

Exercício 66.1 ★

Desenvolva e reduza:

4(3x - 2), \qquad (x + 6)(x + 2), \qquad (2x - 3)(x + 5), \qquad (x - 1)(x - 9).

Solução

Solução de Exercício 66.1.

$4(3x - 2) = 12x - 8$ .

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$ .

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ .

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

Exercício 66.2 ★

Desenvolva usando os produtos notáveis:

(x + 8)^2, \qquad (3x - 4)^2, \qquad (x + 10)(x - 10), \qquad (5x + 2)(5x - 2).

Solução

Solução de Exercício 66.2.

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$ .

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ .

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$ .

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$ .

Exercício 66.3 ★

Calcule de cabeça, usando um produto notável: $101^2$ ; $59^2$ (escreva $59 = 60 - 1$ ); $53 \times 47$ .

Solução

Solução de Exercício 66.3.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$ .

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$ .

Exercício 66.4 ★

Fatore:

9x + 12, \qquad x^2 - 64, \qquad x^2 + 14x + 49, \qquad 18x^2 - 6x .

Solução

Solução de Exercício 66.4.

$9x + 12 = 3(3x + 4)$ .

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ .

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$ .

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$ .

Exercício 66.5 ★

Resolva, escrevendo cada passo:

4x + 7 = 19, \qquad 6x - 5 = 2x + 11, \qquad 5(x - 3) = 3x + 1 .

Solução

Solução de Exercício 66.5.

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$ , então $x = 3$ .

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$ , então $x = 4$ .

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$ , então $2x = 16$ e $x = 8$ .

Exercício 66.6 ★★

Resolva usando a regra do produto nulo:

(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad x^2 - 121 = 0, \qquad (2x - 1)^2 = 0, \qquad x^2 = 8x .

Solução

Solução de Exercício 66.6.

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ ou $x = 4$ .

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ ou $x = -11$ .

$(2x-1)^2 = 0$ : a solução única $x = \frac12$ .

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$ , então $x = 0$ ou $x = 8$ .

Exercício 66.7 ★★

Fatore $E = (3x + 2)^2 - 25$ e depois resolva $E = 0$ .

Solução

Solução de Exercício 66.7.

Diferença de quadrados com $a = 3x + 2$ e $b = 5$ :

E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).

Regra do produto nulo: $3x + 7 = 0$ dá $x = -\frac73$ , e $3x - 3 = 0$ dá $x = 1$ .

Exercício 66.8 ★★

Resolva as desigualdades e represente as soluções numa reta numérica:

3x - 4 \geq 8, \qquad 5 - 2x > 1, \qquad 4(x + 1) \leq x - 5 .

Solução

Solução de Exercício 66.8.

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$ , então $x \geq 4$ (bolinha cheia em $4$ , traço para a direita).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$ , e dividir por $-2$ inverte o sinal: $x < 2$ (bolinha vazada em $2$ , traço para a esquerda).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$ , então $3x \leq -9$ , logo $x \leq -3$ (bolinha cheia em $-3$ , traço para a esquerda).

Exercício 66.9 ★★

Penso num número, multiplico por $3$ , somo $7$ e obtenho o mesmo resultado que se tivesse multiplicado por $5$ e subtraído $9$ . Qual é o meu número? (Monte uma equação e resolva.)

Solução

Solução de Exercício 66.9.

Seja $x$ o número: $3x + 7 = 5x - 9$ . Então $16 = 2x$ , logo $x = 8$ . Conferindo: $3 \times 8 + 7 = 31$ e $5 \times 8 - 9 = 31$ .

Exercício 66.10 ★★★

Seja $n$ um número inteiro.

Desenvolva $(n + 1)(n - 1)$ e deduza que o produto dos dois vizinhos de $n$ é sempre $n^2 - 1$ (por exemplo, $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
Mostre que a soma de três inteiros consecutivos é sempre múltipla de $3$ .

Solução

Solução de Exercício 66.10.

1. $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (terceiro produto notável). Os vizinhos de $n$ são $n - 1$ e $n + 1$ , então o produto deles é $n^2 - 1$ : por exemplo, $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$ .

2. Três inteiros consecutivos podem ser escritos $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ . A soma deles é

(n-1) + n + (n+1) = 3n ,

múltiplo de $3$ (três vezes o do meio).

66.6 Problema: a álgebra dos algarismos

Problema 66.1

Problema de fim de semana — por que os critérios de divisibilidade funcionam, o truque do 1089 desmascarado e um cálculo mental que parece feitiçaria

A escola ensinou regras a você (um número é divisível por $9$ quando a soma dos algarismos é); os mágicos fazem truques (todo mundo termina em $1089$ ); as feiras conhecem atalhos ( $35^2 = 1225$ , na hora). Tudo isso é o mesmo segredo: um número de algarismos $a$ , $b$ , $c$ é a expressão $100a + 10b + c$ , e a álgebra deste capítulo (Teorema 66.3, desenvolver, fatorar) consegue desmontá-la. No fim deste problema, você terá demonstrado as regras, desmascarado o truque e aprendido a feitiçaria.

Parte I — Os algarismos no microscópio.

Um número de dois algarismos com dezena $a$ e unidade $b$ é $10a + b$ . Desenvolva e fatore a diferença entre o número e o invertido dele, $(10a + b) - (10b + a)$ , e enuncie a descoberta. Confira em $72 - 27$ .
Demonstre o critério do nove para números de três algarismos: verifique a identidade

$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$

e explique por que ela mostra que um número e a soma dos algarismos dele deixam o mesmo resto na divisão por $9$ — então um é divisível por $9$ exatamente quando o outro é (Proposição 64.3, agora demonstrada).
Deduza o critério do três da mesma identidade, em uma frase.
A “prova dos nove”, a conferência dos contadores: para testar $47 \times 86 = 4\,042$ , troque cada número pela soma dos algarismos da soma dos algarismos dele: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , e $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; depois $4\,042 \to 10 \to 1$ : coerente. Explique por que um produto correto tem de passar no teste (escreva $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ e desenvolva) e encontre um resultado errado que o teste não pega (por que algarismos trocados de lugar são invisíveis para ele?).
Demonstre o critério do onze para números de quatro algarismos: verifique

$1000a + 100b + 10c + d = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$

e use-o para decidir se $2\,926$ é divisível por $11$ .

Parte II — O truque do 1089. O truque: pense num número de três algarismos cujo primeiro e último algarismos difiram em pelo menos $2$ ; inverta-o; subtraia o menor do maior; inverta o resultado; some os dois últimos números. O mágico anuncia: 1089.

Execute o truque com $742$ e com um número da sua escolha.
Seja o número de algarismos $a$ , $b$ , $c$ com $a > c$ . Fatore a primeira subtração, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , e liste todos os valores que ela pode tomar quando $a - c$ vai de $2$ a $9$ .
Cada um desses múltiplos de $99$ tem um padrão de algarismos marcante. Escrevendo $m = a - c$ , verifique a identidade

$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$

e leia nela os três algarismos de $99m$ .
Some $99m$ ao invertido dele, usando os algarismos da questão 8, e demonstre que o total é $1089$ — seja qual for $m$ . O truque morreu; viva a álgebra.
Por que o mágico exigiu que o primeiro e o último algarismos diferissem em pelo menos $2$ ? Examine os casos $a = c$ e $a - c = 1$ (em que a subtração dá $99$ , que precisa ser escrito $099$ para a inversão funcionar) e enuncie as letras miúdas que mantêm o truque honesto.

Parte III — Feitiçaria de uso diário.

O truque do aniversário: “multiplique o mês de nascimento por $5$ , some $7$ , dobre, some o dia de nascimento, subtraia $14$ ”. Mostre que o resultado é sempre $10m + d$ — mês e dia, legíveis de relance. (Teste em alguém.)
Você redesenha o truque assim: “multiplique o mês por $5$ , some $9$ , dobre, some o dia”. Que número o espectador tem de subtrair no fim, agora, para a mesma leitura mês–dia?
O truque do algarismo escondido: o espectador escolhe um número qualquer, subtrai dele a soma dos algarismos (a questão 2 diz que o resultado é sempre múltiplo de $9$ — explique por quê, para um número de três algarismos), depois risca um algarismo não nulo e lê para você os algarismos restantes. Explique como você recupera o algarismo riscado e por que o $0$ teve de ser excluído.
Feitiçaria de feira: demonstre a identidade $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , enuncie a regra para elevar ao quadrado qualquer número terminado em $5$ e calcule $45^2$ , $85^2$ e $105^2$ de cabeça.
Final, estendendo o Exercício 66.10: demonstre que a soma de cinco inteiros consecutivos é sempre múltipla de $5$ , mas que a soma de quatro inteiros consecutivos nunca é múltipla de $4$ . (Duas continhas — e uma moral sobre o que a álgebra faz com as palavras “sempre” e “nunca”.)

Solução

Solução de Problema 66.1.

1. $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$ : a diferença entre um número de dois algarismos e o invertido dele é sempre múltipla de $9$ . Conferindo: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$ , e $a - b = 7 - 2 = 5$ .

2. Desenvolvendo o lado direito: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c = 100a + 10b + c$ . Então o número é igual a um múltiplo de $9$ mais a soma dos algarismos dele: dividindo por $9$ , os dois deixam o mesmo resto. Em particular, resto $0$ para um significa resto $0$ para o outro: o critério do nove, demonstrado.

3. $9(11a + b)$ também é múltiplo de $3$ , então a mesma identidade mostra que o número e a soma dos algarismos deixam o mesmo resto na divisão por $3$ : o critério do três.

4. Escreva $47 = 9k + 2$ e $86 = 9l + 5$ . Então

47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5) = 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :

o produto deixa o mesmo resto que $2 \times 5 = 10$ , ou seja, $1$ . Um resultado correto tem, portanto, de deixar também resto $1$ — o que $4\,042$ deixa. Mas o teste só enxerga restos: $4\,042$ e $4\,402$ (algarismos trocados de lugar) passam igualzinho, então passar não demonstra nada — falhar é que condena.

5. Desenvolvendo: $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d = 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d = 1000a + 100b + 10c + d$ . Então o número é divisível por $11$ exatamente quando a soma alternada $-a + b - c + d$ é. Para $2\,926$ : $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$ , divisível por $11$ : sim, $2\,926 = 11 \times 266$ .

6. $742 - 247 = 495$ ; $495 + 594 = 1\,089$ . Qualquer exemplo válido também cai em $1\,089$ .

7. $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$ . Para $a - c = 2, 3, \dots, 9$ :

198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .

8. $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10 - m = 99m$ . Então os três algarismos de $99m$ são $m - 1$ , depois $9$ , depois $10 - m$ (confira em $495$ : $m = 5$ dá $4$ , $9$ , $5$ ).

9. O invertido de $99m$ tem algarismos $10 - m$ , $9$ , $m - 1$ , então vale $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$ . Somando:

100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1) = 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,

independentemente de $m$ . Seja qual for o número de partida, o mágico está seguro.

10. Se $a = c$ , a subtração dá $0$ e o truque morre na hora. Se $a - c = 1$ , ela dá $99$ , que precisa ser tratado como a cadeia de três algarismos $099$ (invertida, $990$ ; $99 + 990 = 1\,089$ : salvo!). As letras miúdas: diferenças de $1$ só funcionam se o espectador escrever o resultado da subtração com três algarismos, zero à esquerda incluído — exigir uma diferença de pelo menos $2$ evita a discussão.

11. $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$ : as dezenas (e as centenas, de outubro a dezembro) mostram o mês; as unidades (e as dezenas), o dia.

12. $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$ : subtraia $18$ .

13. Pela questão 2, $n - (\text{soma dos algarismos de } n) = 9(11a + b)$ para um $n$ de três algarismos: sempre múltiplo de $9$ (identidades parecidas funcionam para qualquer quantidade de algarismos). Um múltiplo de $9$ tem soma dos algarismos múltipla de $9$ (questão 2 de novo), então os algarismos que o espectador lê têm de ser completados até o múltiplo de $9$ seguinte: o algarismo que falta é esse complemento. Ambiguidade: se os algarismos lidos já somam um múltiplo de $9$ , o algarismo riscado poderia ser $0$ ou $9$ — excluir o $0$ tira a dúvida.

14. $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 = 100\,t(t + 1) + 25$ : escreva $t(t+1)$ e cole o $25$ atrás. $45^2$ : $4 \times 5 = 20$ , então $2\,025$ . $85^2$ : $8 \times 9 = 72$ , então $7\,225$ . $105^2$ : $10 \times 11 = 110$ , então $11\,025$ .

15. Cinco consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$ : múltiplo de $5$ , sempre. Quatro consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ : resto $2$ na divisão por $4$ , nunca múltiplo. A álgebra converte “parece funcionar” em sempre, e “não achei exemplo nenhum” em nunca — duas palavras que quantidade nenhuma de testes alcança (Método 48.8).