Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

17Partilha e divisão

Vinte bolinhas repartidas igualmente entre quatro crianças: quantas para cada uma? A divisão responde a todas as perguntas de partilha — e também às de agrupamento — e é a gêmea da multiplicação: uma desfaz a outra.

17.1 As duas caras da divisão

Definição 17.1 (Divisão)

A divisão $20 \div 4$ responde a dois tipos de pergunta:

repartir: $20$ bolinhas repartidas entre $4$ crianças — quantas bolinhas para cada uma? ( $5$ para cada);
agrupar: $20$ bolinhas colocadas em saquinhos de $4$ — quantos saquinhos? ( $5$ saquinhos).

As duas perguntas têm a mesma resposta, porque as duas desfazem a mesma multiplicação: $4 \times 5 = 20$ .

Repartir 20 em 4 grupos iguais. Agrupar de 4 em 4 daria 5 grupos — é a mesma divisão. — Repartir $20$ em $4$ grupos iguais. Agrupar de $4$ em $4$ daria $5$ grupos — é a mesma divisão.

Método 17.2 (Dividir com as tabuadas)

Para calcular $42 \div 6$ , pergunte: “ $6$ vezes quanto dá $42$ ?” A tabuada do $6$ responde: $6 \times 7 = 42$ , logo $42 \div 6 = 7$ . Toda pergunta de divisão é uma pergunta de multiplicação lida ao contrário.

17.2 Quando a conta não é exata

Definição 17.3 (Resto)

Repartir $23$ bolinhas entre $4$ crianças dá $5$ bolinhas para cada uma — e $3$ bolinhas que sobram, poucas demais para mais uma rodada. Escrevemos

23 = 4 \times 5 + 3 ,

e dizemos: o quociente é $5$ e o resto é $3$ . O resto é sempre menor que o número de crianças — senão, seria possível fazer mais uma rodada de partilha.

Repartir 23 entre 4: depois de 5 rodadas, sobram 3 bolinhas — poucas para uma 6 a rodada. — Repartir $23$ entre $4$ : depois de $5$ rodadas, sobram $3$ bolinhas — poucas para uma $6^{\text{a}}$ rodada.

Exemplo 17.4

Divida $58$ por $7$ . Percorra a tabuada do $7$ : $7 \times 8 = 56$ é o maior produto que cabe abaixo de $58$ ( $7 \times 9 = 63$ passa). Então

58 = 7 \times 8 + 2 :

quociente $8$ , resto $2$ . Conferência: $56 + 2 = 58$ , e $2 < 7$ .

Método 17.5 (Interpretar o resto)

Depois de dividir, volte à história:

“quantos para cada um / quantos grupos completos?” — o quociente;
“quantos sobram?” — o resto;
“quantas caixas para guardar tudo?” — o quociente mais um, se o resto não for zero.

Exemplo 17.6

$58$ alunos vão andar de canoa, $7$ por canoa. $58 = 7 \times 8 + 2$ : oito canoas ficam cheias e sobram $2$ alunos — que também precisam de canoa. Logo, é preciso reservar $9$ canoas.

17.3 Metades, terças e quartas partes

Definição 17.7 (Metade, terça parte, quarta parte)

A metade de um número é o resultado de dividi-lo por $2$ ; a terça parte, por $3$ ; a quarta parte, por $4$ . Por exemplo, a metade de $18$ é $9$ , a terça parte de $18$ é $6$ e a quarta parte de $36$ é $9$ .

Exemplo 17.8 (Dobros e metades andam juntos)

A metade de $46$ : como $46 = 40 + 6$ , a metade de cada parte dá $20 + 3 = 23$ . Confira com o dobro: $23 + 23 = 46$ . Saber os dobros de cor ( $25 \to 50$ , $45 \to 90$ , $150 \to 300$ ) torna as metades instantâneas.

17.4 Exercícios

Exercício 17.1 ★

Calcule usando as tabuadas ao contrário: $36 \div 4$ ; $63 \div 9$ ; $40 \div 5$ ; $56 \div 8$ .

Solução

Solução de Exercício 17.1.

$36 \div 4 = 9$ (pois $4 \times 9 = 36$ ); $63 \div 9 = 7$ ; $40 \div 5 = 8$ ; $56 \div 8 = 7$ .

Exercício 17.2 ★

Para cada divisão, escreva a igualdade $a = b \times q + r$ e dê o quociente e o resto: $17 \div 5$ ; $30 \div 4$ ; $50 \div 6$ .

Solução

Solução de Exercício 17.2.

$17 = 5 \times 3 + 2$ : quociente $3$ , resto $2$ .

$30 = 4 \times 7 + 2$ : quociente $7$ , resto $2$ .

$50 = 6 \times 8 + 2$ : quociente $8$ , resto $2$ .

Exercício 17.3 ★

$28$ bolinhas são repartidas entre $6$ crianças. Quantas bolinhas para cada uma, e quantas sobram? Desenhe a partilha se isso ajudar.

Solução

Solução de Exercício 17.3.

$28 = 6 \times 4 + 4$ : cada criança recebe $4$ bolinhas e sobram $4$ bolinhas.

Exercício 17.4 ★

Calcule: a metade de $68$ ; a terça parte de $27$ ; a quarta parte de $48$ ; a metade de $150$ .

Solução

Solução de Exercício 17.4.

Metade de $68$ : $34$ . Terça parte de $27$ : $9$ . Quarta parte de $48$ : $12$ . Metade de $150$ : $75$ .

Exercício 17.5 ★

Verdadeiro ou falso? Confira com uma multiplicação. “ $45 \div 5 = 9$ ”; “ $52 \div 6 = 8$ e resto $4$ ”; “ $70 \div 8 = 9$ e resto $2$ ”.

Solução

Solução de Exercício 17.5.

“ $45 \div 5 = 9$ ”: verdadeiro, $5 \times 9 = 45$ .

“ $52 \div 6 = 8$ e resto $4$ ”: verdadeiro, $6 \times 8 + 4 = 52$ e $4 < 6$ .

“ $70 \div 8 = 9$ e resto $2$ ”: falso — $8 \times 9 + 2 = 74$ , e não $70$ . O certo é $70 = 8 \times 8 + 6$ .

Exercício 17.6 ★

$32$ fotos são coladas num álbum, $4$ por página. Quantas páginas são usadas? De que cara da divisão se trata (repartir ou agrupar)?

Solução

Solução de Exercício 17.6.

$32 \div 4 = 8$ páginas. É um agrupamento: as fotos são postas em grupos de $4$ e contamos os grupos.

Exercício 17.7 ★

Uma corda de $75$ cm é cortada em pedaços de $9$ cm. Quantos pedaços completos, e qual o comprimento do pedacinho que sobra?

Solução

Solução de Exercício 17.7.

$75 = 9 \times 8 + 3$ : oito pedaços completos e um pedacinho de $3$ cm que sobra.

Exercício 17.8 ★

$50$ crianças vão a um passeio em carros de $4$ lugares. Quantos carros são necessários? (Cuidado: todo mundo tem de ir!)

Solução

Solução de Exercício 17.8.

$50 = 4 \times 12 + 2$ : doze carros levam $48$ crianças e ainda faltam $2$ crianças para acomodar. São necessários $13$ carros.

Exercício 17.9 ★

Descubra os números que faltam: $? \div 7 = 6$ ; $54 \div ? = 6$ ; a metade de $?$ é $35$ .

Solução

Solução de Exercício 17.9.

$? = 7 \times 6 = 42$ . $54 \div 9 = 6$ , então o divisor que falta é $9$ . O número cuja metade é $35$ é $70$ .

Exercício 17.10 ★★

Amina reparte os seus $47$ adesivos entre os $5$ amigos, o mais igualmente possível, e fica com o que sobrar. Quantos adesivos cada amigo recebe, e quantos Amina guarda?

Solução

Solução de Exercício 17.10.

$47 = 5 \times 9 + 2$ : cada amigo recebe $9$ adesivos, e Amina fica com o resto, $2$ adesivos.

Exercício 17.11 ★★

Quando um número é dividido por $6$ , quais são todos os restos possíveis? Qual é o maior número cuja divisão por $6$ tem quociente $7$ ?

Solução

Solução de Exercício 17.11.

Na divisão por $6$ , o resto é sempre menor que $6$ : pode ser $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ ou $5$ . O maior número com quociente $7$ usa o maior resto: $6 \times 7 + 5 = 47$ .