Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

53Áreas e volumes

O Ano 6 mediu retângulos, triângulos retângulos e blocos (Capítulo 43). Com uma tesoura — corte um pedaço aqui, cole ali — as mesmas ideias dão agora as áreas dos paralelogramos, de todos os triângulos e do disco, e os volumes dos prismas e dos cilindros.

53.1 Área de um paralelogramo

Teorema 53.1 (Paralelogramo)

Um paralelogramo com um lado de comprimento $b$ (a base dele) e distância $h$ entre esse lado e o oposto (a altura dele) tem área

A = b \times h .

Demonstração com a tesoura. Corte o triângulo retângulo que sobra de um lado e cole-o do outro: o paralelogramo vira um retângulo $b \times h$ de mesma área. ∎

A demonstração com a tesoura: deslizar o triângulo vermelho da ponta esquerda para a direita transforma o paralelogramo num retângulo — mesma área, b × h. — A demonstração com a tesoura: deslizar o triângulo vermelho da ponta esquerda para a direita transforma o paralelogramo num retângulo — mesma área, $b \times h$ .

Observação 53.2

A altura é a distância perpendicular entre as duas bases, e não o comprimento do lado inclinado! Um paralelogramo bem inclinado pode ter lados compridos e área pequena.

53.2 Área de um triângulo

Teorema 53.3 (Triângulo)

Um triângulo de base $b$ e altura correspondente $h$ (a distância perpendicular do vértice oposto até a reta da base) tem área

A = \frac{b \times h}{2} .

Demonstração. Duas cópias do triângulo, uma delas girada de meia volta em torno do ponto médio de um lado, se encaixam num paralelogramo de base $b$ e altura $h$ (é a simetria central em ação, Proposição 52.4). O triângulo é a metade dele: $\frac{bh}{2}$ . ∎

Um triângulo e a cópia dele girada de meia volta (tracejada) formam um paralelogramo: a área do triângulo é b× h/2. Qualquer um dos três lados pode servir de base — com a altura correspondente a ele. — Um triângulo e a cópia dele girada de meia volta (tracejada) formam um paralelogramo: a área do triângulo é $\frac{b\times h}{2}$ . Qualquer um dos três lados pode servir de base — com a *altura correspondente a ele*.

Exemplo 53.4

Um triângulo tem base de $9$ cm e a altura correspondente mede $4$ cm:

A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .

Num triângulo retângulo, os dois catetos são uma base e a altura dela: recuperamos a fórmula da Proposição 43.6.

53.3 Área de um disco

Teorema 53.5 (Disco)

Um disco de raio $r$ tem área

A = \pi r^2 .

Ideia da demonstração. Corte o disco em muitas fatias finas e iguais e disponha-as ponta com ponta: elas quase formam um paralelogramo de altura $r$ cuja base é a metade do comprimento da circunferência, $\pi r$ (Proposição 43.3). A área dele fica perto de $\pi r \times r = \pi r^2$ , e a aproximação vira exata à medida que as fatias ficam mais finas. Uma demonstração completa precisa do cálculo integral, do volume do ensino médio. ∎

Fatiar o disco e desenrolar as fatias: quase um paralelogramo de base π r (metade do contorno) e altura r. — Fatiar o disco e desenrolar as fatias: quase um paralelogramo de base $\pi r$ (metade do contorno) e altura $r$ .

Exemplo 53.6

O tampo redondo de uma mesa tem raio $60$ cm. A área dele é $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm $^2$ , um pouco mais que $1.1$ m $^2$ . Repare na diferença: o perímetro $2\pi r$ usa $r$ , e a área $\pi r^2$ usa $r^2$ .

53.4 Prismas e cilindros

Definição 53.7 (Prisma, cilindro)

Um prisma é um sólido com duas faces poligonais paralelas e idênticas (as bases), ligadas por retângulos; um cilindro é a mesma coisa com discos como bases. A altura é a distância entre as duas bases.

Teorema 53.8 (Volumes)

Para um prisma ou um cilindro de área da base $B$ e altura $h$ :

V = B \times h .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 53.9

Uma barraca é um prisma deitado de lado: as bases dela são triângulos de base $2$ m e altura $1.5$ m, e a barraca tem $3$ m de comprimento.

Área da base: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
Volume: $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Uma lata de raio $4$ cm e altura $11$ cm: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm $^3$ , mais ou menos meio litro.

53.5 Exercícios

Exercício 53.1 ★

Calcule a área de um paralelogramo de base $8$ cm e altura $5$ cm; e a de outro de base $6.5$ m e altura $4$ m.

Solução

Solução de Exercício 53.1.

$8 \times 5 = 40$ cm $^2$ ; $6.5 \times 4 = 26$ m $^2$ .

Exercício 53.2 ★

Um paralelogramo tem lados de $10$ cm e $6$ cm, e a altura relativa à base de $10$ cm mede $4$ cm. Calcule a área dele. Por que a resposta não é $60$ cm $^2$ ?

Solução

Solução de Exercício 53.2.

$A = 10 \times 4 = 40$ cm $^2$ . A resposta não é $10 \times 6 = 60$ porque o lado de $6$ cm é inclinado: a fórmula usa a altura (distância perpendicular), que é $4$ cm.

Exercício 53.3 ★

Calcule a área de um triângulo de base $12$ cm e altura $7$ cm; de um triângulo retângulo de catetos $9$ e $6$ ; e de um triângulo de base $5.5$ m e altura $2$ m.

Solução

Solução de Exercício 53.3.

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm $^2$ ; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m $^2$ .

Exercício 53.4 ★

Calcule a área de um disco de raio $5$ cm e depois a de um semidisco de raio $10$ cm (valores exatos com $\pi$ e depois arredondados à unidade).

Solução

Solução de Exercício 53.4.

Disco: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm $^2$ . Semidisco de raio $10$ : $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm $^2$ .

Exercício 53.5 ★

Calcule o perímetro e a área de um disco de raio $3$ cm. Qual das duas respostas vem em cm e qual em cm $^2$ ?

Solução

Solução de Exercício 53.5.

Perímetro: $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (um comprimento, em cm). Área: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm $^2$ (uma superfície, em cm $^2$ ).

Exercício 53.6 ★

Calcule o volume de um prisma de área da base $24$ cm $^2$ e altura $10$ cm; e o de um cilindro de raio $3$ cm e altura $8$ cm (exato e depois arredondado).

Solução

Solução de Exercício 53.6.

Prisma: $24 \times 10 = 240$ cm $^3$ . Cilindro: $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm $^3$ .

Exercício 53.7 ★

Um triângulo tem área $28$ cm $^2$ e base $8$ cm. Encontre a altura correspondente, escrevendo antes a equação.

Solução

Solução de Exercício 53.7.

$\frac{8 \times h}{2} = 28$ , então $4h = 28$ e $h = 7$ cm.

Exercício 53.8 ★★

Trace um triângulo qualquer e meça com cuidado os três pares base–altura. Calcule $\frac{b \times h}{2}$ para cada par: os três resultados devem coincidir (a menos do erro de medição). Por quê?

Solução

Solução de Exercício 53.8.

Os três produtos coincidem porque cada um calcula a mesma grandeza — a área do triângulo. Isso dá uma conferência prática das construções e uma maneira de calcular uma altura a partir de outro par base–altura (usada no Exercício 53.12).

Exercício 53.9 ★★

Um jardim em forma de trapézio pode ser dividido, por uma diagonal, em dois triângulos que compartilham a mesma altura $h = 20$ m, com bases $30$ m e $18$ m. Calcule a área total dele. Você consegue adivinhar uma fórmula geral para o trapézio?

Solução

Solução de Exercício 53.9.

Os dois triângulos têm áreas $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m $^2$ e $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m $^2$ : total $480$ m $^2$ . Fórmula geral sugerida: para lados paralelos $a$ e $b$ à distância $h$ ,

A = \frac{(a + b) \times h}{2}

— a fórmula do trapézio (aqui, $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$ ).

Exercício 53.10 ★★

Um vaso cilíndrico de raio $6$ cm contém água até a altura de $15$ cm. Toda a água é despejada numa caixa vazia de base $18$ cm $\times$ $12$ cm. Que altura de água é atingida na caixa? (Mesmo volume, base diferente.)

Solução

Solução de Exercício 53.10.

Volume de água: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm $^3$ . Base da caixa: $18 \times 12 = 216$ cm $^2$ . Altura atingida: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

Exercício 53.11 ★★

Uma pizza de diâmetro $30$ cm custa $9$ reais; uma de diâmetro $40$ cm custa $14$ reais. Calcule as duas áreas e o preço por $100$ cm $^2$ . Que pizza vale mais a pena?

Solução

Solução de Exercício 53.11.

Raios $15$ e $20$ cm. Áreas: $225\pi \approx 707$ cm $^2$ e $400\pi \approx 1257$ cm $^2$ . Preço por $100$ cm $^2$ : $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ reais e $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ reais. A pizza grande vale mais a pena — as áreas crescem com o quadrado do diâmetro.

Exercício 53.12 ★★★

Os dois catetos de um triângulo retângulo medem $6$ cm e $8$ cm, e a hipotenusa mede $10$ cm. Calcule a área dele com os catetos e depois use essa área para encontrar a altura relativa à hipotenusa.

Solução

Solução de Exercício 53.12.

Com os catetos: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm $^2$ . Com a hipotenusa como base: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$ , então $h = 4.8$ cm.

53.6 Problema: o quadradinho que sumiu

Problema 53.1

Problema de fim de semana — uma “demonstração” famosa de que $64 = 65$ , desmascarada por áreas e inclinações, com pizzas e anéis de sobremesa

Um mágico corta um quadrado $8 \times 8$ em quatro peças, desliza-as e as remonta num retângulo $5 \times 13$ . A plateia conta: $8 \times 8 = 64$ , mas $5 \times 13 = 65$ — uma unidade de área apareceu do nada! As fórmulas de área deste capítulo são exatamente as ferramentas que pegam o truque. Depois, o problema põe o raciocínio honesto de áreas para trabalhar: em trapézios, em pilhas inclinadas, na economia da pizza — e, por fim, volta ao mágico para um segundo número, ainda mais estranho.

Parte I — O truque, executado e desmascarado. As quatro peças do quadrado $8 \times 8$ são: dois triângulos retângulos de catetos $8$ e $3$ e dois trapézios retângulos de lados paralelos $5$ e $3$ e altura $5$ .

Calcule a área do quadrado original e a área do retângulo alegado. Enuncie o escândalo em uma linha.
Calcule a área de cada uma das quatro peças (Teorema 53.3; para os trapézios, corte-os ou use o Exercício 53.9).
Some as quatro áreas. Qual das duas figuras — quadrado ou retângulo — as peças conseguem de fato preencher?
No arranjo do retângulo, a hipotenusa de um triângulo (que sobe $3$ ao longo de $8$ ) deveria continuar a borda inclinada de um trapézio (que sobe $2$ ao longo de $5$ ) numa única “diagonal” reta. Teste o alinhamento: $3$ ao longo de $8$ e $2$ ao longo de $5$ têm a mesma inclinação (Teorema 49.3)?
Explique onde se esconde o sexagésimo quinto quadradinho: que forma tem a falha ao longo da falsa diagonal, qual é a área exata dela, e por que o olho não a percebe? (Qual é a largura média de uma lasca dessa área esticada ao longo da diagonal do retângulo, de cerca de $13$ unidades?)

Parte II — Raciocínio honesto de áreas.

Trace duas retas paralelas a $4$ cm de distância, uma base de $6$ cm sobre uma delas e três triângulos diferentes sobre essa base, com ápices em vários pontos da outra reta. Calcule as três áreas. Por que elas são todas iguais, deslize o ápice onde deslizar sobre a reta dele?
Demonstre a fórmula do trapézio em geral: um trapézio de lados paralelos $B$ e $b$ e altura $h$ , cortado por uma diagonal, dá dois triângulos de mesma altura $h$ . Conclua:

$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$
Aplique-a a um trapézio com $B = 9$ cm, $b = 5$ cm e $h = 4$ cm.
Os marceneiros usam a mesma fórmula disfarçada: área $=$ (média dos dois lados paralelos) $\times$ altura. Explique por que essa é a mesma regra e refaça a questão 8 desse jeito.
Incline uma pilha arrumada de cartas de baralho, deixando-a torta. Explique por que o volume não mudou e o que isso diz sobre a altura na fórmula do prisma $V = B \times h$ (Teorema 53.8): que altura se deve tomar para uma pilha inclinada — o comprimento inclinado ou o vertical? (Compare com o Exercício 53.2, uma dimensão acima.)

Parte III — Anéis, pizzas e a volta do mágico.

Um lago circular de raio $3$ m fica no centro de um gramado circular de raio $5$ m. Calcule a área do anel de grama (exata com $\pi$ e depois arredondada ao m $^2$ ).
Encontre o raio do único disco cuja área é exatamente igual à desse anel. (Os três raios que você tem agora formam um terno famoso, cuja história é contada no Capítulo 58.)
O que é mais pizza: uma pizza de diâmetro $40$ cm ou duas pizzas de diâmetro $28$ cm? Calcule e compare.
Para dobrar a área de uma pizza, por que fator, mais ou menos, o raio dela tem de crescer? Teste o candidato $1.4$ (lembre que as áreas seguem o quadrado do fator de escala, Problema 44.1) e diga onde o fator exato — o número cujo quadrado é $2$ — faz a entrada oficial dele (Exemplo 58.9).
O mágico volta: ele corta um quadrado $13 \times 13$ com os números $5$ , $8$ , $13$ fazendo os papéis que $3$ , $5$ , $8$ faziam antes, e remonta um retângulo $8 \times 21$ . Calcule as duas áreas: o que some desta vez? Os números $3, 5, 8, 13, 21$ são termos consecutivos da sequência do Problema 47.1 — enuncie o padrão dos ganhos e perdas do mágico e a moral: por que as áreas nunca mentem?

Solução

Solução de Problema 53.1.

1. Quadrado: $8 \times 8 = 64$ . Retângulo: $5 \times 13 = 65$ . As mesmas quatro peças parecem cobrir $64$ unidades de área numa figura e $65$ na outra: uma unidade de área foi criada do nada — supostamente.

2. Cada triângulo: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$ . Cada trapézio: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$ .

3. $12 + 12 + 20 + 20 = 64$ : as peças somam $64$ , então elas podem preencher exatamente o quadrado — e não podem preencher o retângulo de $65$ unidades. A imagem do retângulo tem de conter um buraco.

4. Mesma inclinação significaria $3$ ao longo de $8$ proporcional a $2$ ao longo de $5$ ; produtos cruzados: $3 \times 5 = 15$ e $2 \times 8 = 16$ . Não são iguais: a hipotenusa e a borda inclinada não se alinham. A “diagonal” do retângulo é uma mentira — duas inclinações ligeiramente diferentes se encontrando num ângulo raso.

5. Ao longo da falsa diagonal, as quatro peças deixam uma falha comprida e extremamente fina — uma lasca em forma de paralelogramo bem achatado — cuja área é exatamente a unidade que falta, $65 - 64 = 1$ . Esticada ao longo de uma diagonal de cerca de $13$ unidades, a largura média dela é de uns $1 \div 13 \approx 0.08$ unidades: num desenho de verdade, mais fina que o traço de lápis que a esconde.

6. Cada triângulo tem base $6$ cm e altura $4$ cm — a distância entre as paralelas, esteja o ápice onde estiver —, então cada área é $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ (Teorema 53.3). Deslizar o ápice ao longo da paralela muda a forma, nunca a base nem a altura: áreas iguais para sempre.

7. A diagonal corta o trapézio num triângulo de base $B$ e noutro de base $b$ , ambos de altura $h$ (a distância entre os lados paralelos):

A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2} = \frac{(B + b) \times h}{2} .

8. $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ cm $^2$ .

9. A média dos lados paralelos é $\frac{B + b}{2}$ , então (média) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$ : a mesma fórmula, fatorada de outro jeito. Confere: média $= \frac{9+5}{2} = 7$ , e $7 \times 4 = 28$ cm $^2$ .

10. A pilha inclinada contém exatamente as mesmas cartas — as mesmas camadas, cada uma de mesma área —, logo o mesmo volume. Em $V = B \times h$ , a altura tem de ser medida perpendicularmente à base (a altura vertical da pilha), e não ao longo da inclinação: exatamente como a área do paralelogramo quer a altura perpendicular, e não o lado inclinado (Exercício 53.2), uma dimensão acima.

11. Anel $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi \approx 50$ m $^2$ (Teorema 53.5).

12. Um disco de área $16\pi$ tem raio $4$ , já que $\pi \times 4^2 = 16\pi$ . Os raios $3$ , $4$ , $5$ : o terno mais famoso da matemática, protagonista do Capítulo 58.

13. Uma pizza de $40$ cm: raio $20$ , área $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm $^2$ . Duas pizzas de $28$ cm: raio $14$ , juntas $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm $^2$ . A pizza grande sozinha é mais pizza que as duas médias.

14. Multiplicar o raio por $1.4$ multiplica a área por $1.4^2 = 1.96$ — quase o dobro. O fator exato é o número cujo quadrado é $2$ , cerca de $1.414$ : o número da diagonal do Exemplo 58.9. (Regra de bolso: metade mais larga é quase o dobro de pizza.)

15. $13 \times 13 = 169$ , mas $8 \times 21 = 168$ : desta vez uma unidade de área desaparece — as peças se sobrepõem numa lasca fina, em vez de deixarem uma falha. Com termos consecutivos $3, 5, 8, 13, 21$ da sequência de Hemachandra e Fibonacci, os produtos alternam entre uma unidade a mais e uma a menos que o quadrado ( $5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$ , e depois $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$ ): o mágico alternadamente “ganha” e “perde” uma unidade. As áreas nunca mentem: peças que somam $64$ cobrem $64$ , deslizem para onde deslizarem — toda unidade que falta ou sobra está escondida numa lasca, esperando uma conferência de inclinação para ser exposta.