59Pontos médios e paralelas

Solução de Problema 59.1.

1. Qualquer que seja o triângulo traçado, as três medianas parecem passar por um único ponto, situado dentro do triângulo, visivelmente mais perto do ponto médio de cada lado do que do vértice oposto. O resto do problema demonstra isso.

2. Tome a mediana $[AK]$ do triângulo $ABC$: os triângulos $ABK$ e $AKC$ têm bases $BK$ e $KC$ de mesmo comprimento ($K$ é o ponto médio de $[BC]$) apoiadas na mesma reta $(BC)$, e a mesma altura: a distância de $A$ até $(BC)$. Pela fórmula da área, cada um tem área base $\times$ altura $\div\ 2$, com bases iguais e alturas iguais: as áreas são iguais. Para um triângulo de área $36$ cm$^2$: duas peças de $18$ cm$^2$ cada.

3. $I$ e $J$ são os pontos médios dos lados $[AB]$ e $[AC]$ do triângulo $ABC$, então, pelo Teorema 59.1: $(IJ) \parallel (BC)$ e $IJ = \frac{BC}{2}$.

4. $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados $[GB]$ e $[GC]$ do triângulo $GBC$, então, pelo mesmo teorema: $(MN) \parallel (BC)$ e $MN = \frac{BC}{2}$.

5. Tanto $(IJ)$ quanto $(MN)$ são paralelas a $(BC)$, logo paralelas entre si; e $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. O quadrilátero $IJNM$ tem, assim, dois lados opostos, $[IJ]$ e $[NM]$, paralelos e de mesmo comprimento: pelo critério 3 do Teorema 52.9, $IJNM$ é um paralelogramo.

6. $G$ está sobre a mediana $[CI]$, e $N$ é o ponto médio de $[GC]$, um segmento apoiado nessa mesma reta mediana: então $I$, $N$ (e $G$, $C$) estão todos sobre $(CI)$. Do mesmo modo, $J$, $M$ e $G$ estão sobre a reta mediana $(BJ)$. No paralelogramo $IJNM$, as diagonais são $[IN]$ e $[JM]$; elas estão apoiadas nas duas retas medianas, que se cruzam em $G$ — então as diagonais se cruzam em $G$. Pela definição de paralelogramo (critério 1 da Teorema 52.9: as diagonais têm o mesmo ponto médio), $G$ é o ponto médio de $[IN]$ e de $[JM]$: $GI = GN$ e $GJ = GM$.

7. $M$ é o ponto médio de $[GB]$, então $BM = MG$; e $MG = GJ$ pela questão 6. Logo $BM = MG = GJ$: a mediana $[BJ]$ é cortada em três partes iguais, das quais $BG$ toma duas:

Simetricamente, $N$ é o ponto médio de $[GC]$ e $GN = GI$, então $CN = NG = GI$ e $CG = 2 \times GI$: na mediana $[CI]$ também, o ponto de cruzamento fica a dois terços do caminho a partir do vértice.

8. O argumento não usou nada de especial do par $[BJ]$, $[CI]$: aplicado ao par $[BJ]$, $[AK]$, ele mostra que o ponto de cruzamento deles também fica sobre $[BJ]$ a dois terços do caminho a partir de $B$. Mas existe apenas um ponto do segmento $[BJ]$ à distância $\frac23 BJ$ de $B$ — então o ponto de cruzamento de $[BJ]$ com $[AK]$ é o próprio $G$. As três medianas, portanto, passam por $G$: elas são concorrentes.

9. $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm e $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

10. Pela questão 8, a mesma conta dos dois terços vale na mediana $[AK]$ (repita o argumento das questões 4 a 7 com o par $[AK]$, $[BJ]$): $AG = 2 \times GK$.

11. No triângulo $GBC$, o ponto $K$ é o ponto médio do lado $[BC]$, então $[GK]$ é uma mediana de $GBC$; pela questão 2, os triângulos $GBK$ e $GKC$ têm áreas iguais.

12. A mediana $[AK]$ corta $ABC$ em $ABK$ e $AKC$, de áreas iguais (questão 2). Retirando de cada um o triângulo pequeno da questão 11:

e as áreas retiradas são iguais, então $\text{área}(ABG) = \text{área}(ACG)$. A mesma conta ao longo da mediana $[BJ]$ — que divide $ABC$ ao meio em $ABJ$ e $CBJ$, enquanto $[GJ]$, mediana do triângulo $GAC$, o divide ao meio em $GAJ$ e $GCJ$ — dá $\text{área}(ABG) = \text{área}(CBG)$. Assim, os três triângulos $ABG$, $BCG$, $CAG$ têm áreas iguais e, como juntos ladrilham $ABC$, cada um tem área igual a um terço do todo.

13. No triângulo $ABG$, o ponto $I$ é o ponto médio do lado $[AB]$, então $[GI]$ é uma mediana de $ABG$ a partir do vértice $G$: ela corta $ABG$ em dois triângulos de áreas iguais (questão 2), a saber, $AIG$ e $IBG$. O mesmo acontece em $BCG$ (mediana $[GK]$) e em $CAG$ (mediana $[GJ]$). Cada terço de $ABC$ é cortado ao meio: as seis fatias em torno de $G$ têm cada uma área $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ do triângulo.

14. Na mediana $[AK]$, de $A(0,0)$ até $K(3,3)$: $G$ fica a dois terços do caminho, então as coordenadas dele são $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. Na mediana $[BJ]$, de $B(6, 0)$ até $J(0, 3)$: dois terços do caminho significa somar dois terços do deslocamento ($-6$ na horizontal, $+3$ na vertical):

O mesmo ponto — como a questão 8 prometia. E $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$ e $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: as coordenadas do centro de gravidade são as médias das coordenadas dos três vértices.

15. Pela questão 2, um fio de faca apoiado ao longo de uma mediana tem a mesma quantidade de papelão de cada lado (áreas iguais), então o triângulo se equilibra ao longo de cada uma das três retas medianas. Um ponto de equilíbrio tem de estar sobre as três retas de equilíbrio ao mesmo tempo, e, pela questão 8, as três medianas compartilham exatamente um ponto: $G$. É ali que vai a ponta do lápis. (Áreas iguais dos dois lados é a versão crível do argumento; a versão honesta, que pesa onde o papelão está e não só quanto há dele, precisa do cálculo integral dos volumes de graduação — que confirma $G$.)